MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 24868
Description: Lemma for iirevcn 24871 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡)
cnmptre.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
cnmptre.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
cnmptre.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
cnmptre.7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (𝑅 β†Ύt 𝐴) = (𝑅 β†Ύt 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24719 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11203 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstrdi 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 23600 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2728 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
112, 10rerest 24740 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
1412, 13eqtr4di 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 7441 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1817fmpttd 7130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
1918frnd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) βŠ† 𝐡)
20 cnmptre.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2120, 6sstrdi 3994 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
22 cnrest2 23210 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡))))
233, 19, 21, 22mp3an2i 1462 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡))))
2416, 23mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡)))
252, 10rerest 24740 . . . . 5 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡))
2620, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡))
27 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡)
2826, 27eqtr4di 2786 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = 𝐾)
2928oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3024, 29eleqtrd 2831 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  (,)cioo 13364   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-xms 24246  df-ms 24247
This theorem is referenced by:  iirevcn  24871  iihalf1cn  24873  iihalf1cnOLD  24874  iihalf2cn  24876  iihalf2cnOLD  24877  pcoass  24971
  Copyright terms: Public domain W3C validator