Theorem cnmptre 23145

Description: Lemma for iirevcn 23148 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptre.1	⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3	⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
cnmptre.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
cnmptre	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴)
2		cnmptre.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 23005	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnmptre.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 10331	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	syl6ss 3833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		cnmptre.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
9	1, 4, 7, 8	cnmpt1res 21899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅))
10		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11	2, 10	rerest 23026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
12	5, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13		cnmptre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
14	12, 13	syl6eqr 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = 𝐽)
15	14	oveq1d 6939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
16	9, 15	eleqtrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17		cnmptre.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
18	17	fmpttd 6651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
19	18	frnd 6300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵)
20		cnmptre.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20, 6	syl6ss 3833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
22		cnrest2 21509	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
23	3, 19, 21, 22	mp3an2i 1539	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
24	16, 23	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)))
25	2, 10	rerest 23026	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
26	20, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27		cnmptre.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
28	26, 27	syl6eqr 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = 𝐾)
29	28	oveq2d 6940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
30	24, 29	eleqtrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4967  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  (,)cioo 12492   ↾_t crest 16478  TopOpenctopn 16479  topGenctg 16495  ℂ_fldccnfld 20153  TopOnctopon 21133   Cn ccn 21447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cn 21450  df-xms 22544  df-ms 22545

This theorem is referenced by:  iirevcn  23148  iihalf1cn  23150  iihalf2cn  23152  pcoass  23242