Theorem cnmptre 24196

Description: Lemma for iirevcn 24199 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptre.1	⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3	⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
cnmptre.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
cnmptre	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴)
2		cnmptre.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24052	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnmptre.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 11034	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstrdi 3948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		cnmptre.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
9	1, 4, 7, 8	cnmpt1res 22933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅))
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11	2, 10	rerest 24073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
12	5, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13		cnmptre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
14	12, 13	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = 𝐽)
15	14	oveq1d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
16	9, 15	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17		cnmptre.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
18	17	fmpttd 7050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
19	18	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵)
20		cnmptre.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20, 6	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
22		cnrest2 22543	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
23	3, 19, 21, 22	mp3an2i 1466	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
24	16, 23	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)))
25	2, 10	rerest 24073	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
26	20, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27		cnmptre.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
28	26, 27	eqtr4di 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = 𝐾)
29	28	oveq2d 7358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
30	24, 29	eleqtrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℂcc 10975  ℝcr 10976  (,)cioo 13185   ↾_t crest 17229  TopOpenctopn 17230  topGenctg 17246  ℂ_fldccnfld 20703  TopOnctopon 22165   Cn ccn 22481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-fz 13346  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-rest 17231  df-topn 17232  df-topgen 17252  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-xms 23579  df-ms 23580

This theorem is referenced by:  iirevcn  24199  iihalf1cn  24201  iihalf2cn  24203  pcoass  24293