MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 22946
Description: Lemma for iirevcn 22949 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
cnmptre.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (𝑅t 𝐴) = (𝑅t 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22806 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 10199 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3764 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 21700 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2771 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
112, 10rerest 22827 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
1412, 13syl6eqr 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
1817fmpttd 6530 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹):𝐴𝐵)
1918frnd 6191 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵)
20 cnmptre.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2120, 6syl6ss 3764 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
22 cnrest2 21311 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
234, 19, 21, 22syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
2416, 23mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)))
252, 10rerest 22827 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
2620, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
2826, 27syl6eqr 2823 . . 3 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = 𝐾)
2928oveq2d 6812 . 2 (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3024, 29eleqtrd 2852 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cmpt 4864  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  (,)cioo 12380  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-xms 22345  df-ms 22346
This theorem is referenced by:  iirevcn  22949  iihalf1cn  22951  iihalf2cn  22953  pcoass  23043
  Copyright terms: Public domain W3C validator