Theorem cnmptre 25275

Description: Lemma for iirevcn 25278 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptre.1	⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3	⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
cnmptre.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
cnmptre	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴)
2		cnmptre.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 25128	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnmptre.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 11281	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstrdi 3925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		cnmptre.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
9	1, 4, 7, 8	cnmpt1res 24022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅))
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11	2, 10	rerest 25150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
12	5, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13		cnmptre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
14	12, 13	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = 𝐽)
15	14	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
16	9, 15	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17		cnmptre.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
18	17	fmpttd 7136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
19	18	frnd 6737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵)
20		cnmptre.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20, 6	sstrdi 3925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
22		cnrest2 23631	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
23	3, 19, 21, 22	mp3an2i 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
24	16, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)))
25	2, 10	rerest 25150	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
26	20, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27		cnmptre.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
28	26, 27	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = 𝐾)
29	28	oveq2d 7456	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
30	24, 29	eleqtrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  (,)cioo 13500   ↾_t crest 17617  TopOpenctopn 17618  topGenctg 17634  ℂ_fldccnfld 21705  TopOnctopon 23255   Cn ccn 23569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-rest 17619  df-topn 17620  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cn 23572  df-xms 24666  df-ms 24667

This theorem is used by:  iirevcn  25278  iihalf1cn  25280  iihalf2cn  25282  pcoass  25372