MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 24798
Description: Lemma for iirevcn 24801 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡)
cnmptre.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
cnmptre.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
cnmptre.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
cnmptre.7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (𝑅 β†Ύt 𝐴) = (𝑅 β†Ύt 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24649 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11166 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstrdi 3989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 23530 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
112, 10rerest 24670 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
1412, 13eqtr4di 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 7419 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1817fmpttd 7109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
1918frnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) βŠ† 𝐡)
20 cnmptre.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2120, 6sstrdi 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
22 cnrest2 23140 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡))))
233, 19, 21, 22mp3an2i 1462 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡))))
2416, 23mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡)))
252, 10rerest 24670 . . . . 5 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡))
2620, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡))
27 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐡)
2826, 27eqtr4di 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐡) = 𝐾)
2928oveq2d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 Cn (𝑅 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3024, 29eleqtrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  (,)cioo 13327   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  β„‚fldccnfld 21235  TopOnctopon 22762   Cn ccn 23078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-xms 24176  df-ms 24177
This theorem is referenced by:  iirevcn  24801  iihalf1cn  24803  iihalf1cnOLD  24804  iihalf2cn  24806  iihalf2cnOLD  24807  pcoass  24901
  Copyright terms: Public domain W3C validator