MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 23535
Description: Lemma for iirevcn 23538 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
cnmptre.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (𝑅t 𝐴) = (𝑅t 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 23391 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 10592 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstrdi 3965 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 22284 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2824 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
112, 10rerest 23412 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
1412, 13syl6eqr 2877 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 7164 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2918 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
1817fmpttd 6870 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹):𝐴𝐵)
1918frnd 6510 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵)
20 cnmptre.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2120, 6sstrdi 3965 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
22 cnrest2 21894 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
233, 19, 21, 22mp3an2i 1463 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
2416, 23mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)))
252, 10rerest 23412 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
2620, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
2826, 27syl6eqr 2877 . . 3 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = 𝐾)
2928oveq2d 7165 . 2 (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3024, 29eleqtrd 2918 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  cmpt 5132  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  (,)cioo 12735  t crest 16694  TopOpenctopn 16695  topGenctg 16711  fldccnfld 20545  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-xms 22930  df-ms 22931
This theorem is referenced by:  iirevcn  23538  iihalf1cn  23540  iihalf2cn  23542  pcoass  23632
  Copyright terms: Public domain W3C validator