MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptre 23145
Description: Lemma for iirevcn 23148 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
cnmptre.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
Assertion
Ref Expression
cnmptre (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (𝑅t 𝐴) = (𝑅t 𝐴)
2 cnmptre.1 . . . . . . 7 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 23005 . . . . . 6 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnmptre.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 10331 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3833 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 cnmptre.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
91, 4, 7, 8cnmpt1res 21899 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅))
10 eqid 2778 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
112, 10rerest 23026 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
125, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13 cnmptre.2 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
1412, 13syl6eqr 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐴) = 𝐽)
1514oveq1d 6939 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
169, 15eleqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17 cnmptre.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
1817fmpttd 6651 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹):𝐴𝐵)
1918frnd 6300 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵)
20 cnmptre.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2120, 6syl6ss 3833 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
22 cnrest2 21509 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐴𝐹) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
233, 19, 21, 22mp3an2i 1539 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵))))
2416, 23mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)))
252, 10rerest 23026 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
2620, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27 cnmptre.3 . . . 4 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
2826, 27syl6eqr 2832 . . 3 (𝜑 → (𝑅t 𝐵) = 𝐾)
2928oveq2d 6940 . 2 (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
3024, 29eleqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  cmpt 4967  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  (,)cioo 12492  t crest 16478  TopOpenctopn 16479  topGenctg 16495  fldccnfld 20153  TopOnctopon 21133   Cn ccn 21447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cn 21450  df-xms 22544  df-ms 22545
This theorem is referenced by:  iirevcn  23148  iihalf1cn  23150  iihalf2cn  23152  pcoass  23242
  Copyright terms: Public domain W3C validator