Theorem cnmptre 24916

Description: Lemma for iirevcn 24919 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptre.1	⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmptre.2	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
cnmptre.3	⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
cnmptre.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
cnmptre.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
cnmptre.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
cnmptre.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
cnmptre	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cnmptre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴)
2		cnmptre.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24769	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnmptre.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 11090	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstrdi 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		cnmptre.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐹) ∈ (𝑅 Cn 𝑅))
9	1, 4, 7, 8	cnmpt1res 23663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅))
10		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11	2, 10	rerest 24791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
12	5, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
13		cnmptre.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
14	12, 13	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐴) = 𝐽)
15	14	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾t 𝐴) Cn 𝑅) = (𝐽 Cn 𝑅))
16	9, 15	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅))
17		cnmptre.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
18	17	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
19	18	frnd 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵)
20		cnmptre.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20, 6	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
22		cnrest2 23273	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
23	3, 19, 21, 22	mp3an2i 1475	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵))))
24	16, 23	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)))
25	2, 10	rerest 24791	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
26	20, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵))
27		cnmptre.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐵)
28	26, 27	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾t 𝐵) = 𝐾)
29	28	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn (𝑅 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn 𝐾))
30	24, 29	eleqtrd 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  (,)cioo 13293   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  topGenctg 17395  ℂ_fldccnfld 21351  TopOnctopon 22897   Cn ccn 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cn 23214  df-xms 24307  df-ms 24308

This theorem is referenced by:  iirevcn  24919  iihalf1cn  24921  iihalf2cn  24923  pcoass  25013