Theorem ipasslem7 30690

Description: Lemma for ipassi 30695. Show that ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) is continuous on ℝ. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
ipasslem7.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
ipasslem7.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ipasslem7	⊢ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐽(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipasslem7.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
2		ipasslem7.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		ipasslem7.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	tgioo2 24737	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
5	2, 4	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t ℝ)
6	3	cnfldtopon 24717	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8		ax-resscn 11195	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
10	7	cnmptid 23583	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
11		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
12	11	phnvi 30670	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
15	13, 14	imsxmet 30546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋)
17		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
18	17	mopntopon 24363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
19	16, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
20		ipasslem7.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	7, 19, 21	cnmptc 23584	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
23		ip1i.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
24	14, 17, 23, 3	smcn 30552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
25	12, 24	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
26	7, 10, 22, 25	cnmpt12f 23588	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤𝑆𝐴)) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
27		ipasslem7.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ 𝑋)
29	7, 19, 28	cnmptc 23584	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
30		ip1i.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
31	30, 14, 17, 3	dipcn 30574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
32	12, 31	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
33	7, 26, 29, 32	cnmpt12f 23588	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
34	13, 30	dipcl 30566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
35	12, 20, 27, 34	mp3an 1457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
37	7, 7, 36	cnmptc 23584	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
38	3	mulcn 24801	. . . . . . 7 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
40	7, 10, 37, 39	cnmpt12f 23588	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
41	3	subcn 24800	. . . . . 6 ⊢ − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
43	7, 33, 40, 42	cnmpt12f 23588	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44	5, 7, 9, 43	cnmpt1res 23598	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
45	44	mptru 1540	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
46	1, 45	eqeltri 2821	1 ⊢ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  ℝcr 11137   · cmul 11143   − cmin 11474  (,)cioo 13356   ↾_t crest 17401  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  ∞Metcxmet 21268  MetOpencmopn 21273  ℂ_fldccnfld 21283  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146   ×_t ctx 23482  NrmCVeccnv 30438   +_𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·_𝑠OLD cns 30441  IndMetcims 30445  ·_𝑖OLDcdip 30554  CPreHil_OLDccphlo 30666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ph 30667

This theorem is referenced by:  ipasslem8  30691