MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem7 30690
Description: Lemma for ipassi 30695. Show that ((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)) is continuous on ℝ. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b 𝐡 ∈ 𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
ipasslem7.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
ipasslem7.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ipasslem7 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐡   𝑀,𝐾   𝑀,𝑃   𝑀,𝑆   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝑋   𝑀,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑀)   𝐺(𝑀)   𝐽(𝑀)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
2 ipasslem7.j . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
3 ipasslem7.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43tgioo2 24737 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐾 β†Ύt ℝ)
52, 4eqtri 2753 . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt ℝ)
63cnfldtopon 24717 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
76a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
8 ax-resscn 11195 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
98a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
107cnmptid 23583 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
1211phnvi 30670 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
14 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
1513, 14imsxmet 30546 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (IndMetβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (IndMetβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
17 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))
1817mopntopon 24363 . . . . . . . . 9 ((IndMetβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ 𝑋
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
227, 19, 21cnmptc 23584 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))))
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
2414, 17, 23, 3smcn 30552 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))))
2512, 24mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))))
267, 10, 22, 25cnmpt12f 23588 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝑀𝑆𝐴)) ∈ (𝐾 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))))
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8 𝐡 ∈ 𝑋
2827a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
297, 19, 28cnmptc 23584 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))))
30 ip1i.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
3130, 14, 17, 3dipcn 30574 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ (((MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) Γ—t (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))) Cn 𝐾))
3212, 31mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝑃 ∈ (((MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ)) Γ—t (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘ˆ))) Cn 𝐾))
337, 26, 29, 32cnmpt12f 23588 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
3413, 30dipcl 30566 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
3512, 20, 27, 34mp3an 1457 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
3635a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
377, 7, 36cnmptc 23584 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴𝑃𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
383mulcn 24801 . . . . . . 7 Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
3938a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
407, 10, 37, 39cnmpt12f 23588 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
413subcn 24800 . . . . . 6 βˆ’ ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
4241a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ βˆ’ ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
437, 33, 40, 42cnmpt12f 23588 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
445, 7, 9, 43cnmpt1res 23598 . . 3 (⊀ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4544mptru 1540 . 2 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
461, 45eqeltri 2821 1 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  (,)cioo 13356   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  βˆžMetcxmet 21268  MetOpencmopn 21273  β„‚fldccnfld 21283  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146   Γ—t ctx 23482  NrmCVeccnv 30438   +𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·𝑠OLD cns 30441  IndMetcims 30445  Β·π‘–OLDcdip 30554  CPreHilOLDccphlo 30666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ph 30667
This theorem is referenced by:  ipasslem8  30691
  Copyright terms: Public domain W3C validator