Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem7 28528
 Description: Lemma for ipassi 28533. Show that ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) is continuous on ℝ. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
ipasslem7.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
ipasslem7.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ipasslem7 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐽(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
2 ipasslem7.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 ipasslem7.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43tgioo2 23326 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
52, 4eqtri 2848 . . . 4 𝐽 = (𝐾t ℝ)
63cnfldtopon 23306 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8 ax-resscn 10586 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
107cnmptid 22185 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1211phnvi 28508 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
1513, 14imsxmet 28384 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋)
17 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
1817mopntopon 22964 . . . . . . . . 9 ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9 𝐴𝑋
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐴𝑋)
227, 19, 21cnmptc 22186 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
2414, 17, 23, 3smcn 28390 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
2512, 24mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
267, 10, 22, 25cnmpt12f 22190 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤𝑆𝐴)) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
2827a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵𝑋)
297, 19, 28cnmptc 22186 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
30 ip1i.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
3130, 14, 17, 3dipcn 28412 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
3212, 31mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
337, 26, 29, 32cnmpt12f 22190 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
3413, 30dipcl 28404 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3512, 20, 27, 34mp3an 1454 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
377, 7, 36cnmptc 22186 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
383mulcn 23390 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
3938a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
407, 10, 37, 39cnmpt12f 22190 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
413subcn 23389 . . . . . 6 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4241a1i 11 . . . . 5 (⊤ → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
437, 33, 40, 42cnmpt12f 22190 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
445, 7, 9, 43cnmpt1res 22200 . . 3 (⊤ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4544mptru 1537 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
461, 45eqeltri 2913 1 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530  ⊤wtru 1531   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3939   ↦ cmpt 5142  ran crn 5554  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  ℂcc 10527  ℝcr 10528   · cmul 10534   − cmin 10862  (,)cioo 12731   ↾t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ∞Metcxmet 20446  MetOpencmopn 20451  ℂfldccnfld 20461  TopOnctopon 21434   Cn ccn 21748   ×t ctx 22084  NrmCVeccnv 28276   +𝑣 cpv 28277  BaseSetcba 28278   ·𝑠OLD cns 28279  IndMetcims 28283  ·𝑖OLDcdip 28392  CPreHilOLDccphlo 28504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-grpo 28185  df-gid 28186  df-ginv 28187  df-gdiv 28188  df-ablo 28237  df-vc 28251  df-nv 28284  df-va 28287  df-ba 28288  df-sm 28289  df-0v 28290  df-vs 28291  df-nmcv 28292  df-ims 28293  df-dip 28393  df-ph 28505 This theorem is referenced by:  ipasslem8  28529
 Copyright terms: Public domain W3C validator