MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem7 30855
Description: Lemma for ipassi 30860. Show that ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) is continuous on . (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
ipasslem7.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
ipasslem7.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ipasslem7 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐽(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
2 ipasslem7.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 ipasslem7.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43tgioo2 24824 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
52, 4eqtri 2765 . . . 4 𝐽 = (𝐾t ℝ)
63cnfldtopon 24803 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
107cnmptid 23669 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1211phnvi 30835 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
1513, 14imsxmet 30711 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
1817mopntopon 24449 . . . . . . . . 9 ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘𝑋))
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9 𝐴𝑋
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐴𝑋)
227, 19, 21cnmptc 23670 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
2414, 17, 23, 3smcn 30717 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
2512, 24mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
267, 10, 22, 25cnmpt12f 23674 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤𝑆𝐴)) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
2827a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵𝑋)
297, 19, 28cnmptc 23670 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
30 ip1i.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
3130, 14, 17, 3dipcn 30739 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
3212, 31mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 𝑃 ∈ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ×t (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) Cn 𝐾))
337, 26, 29, 32cnmpt12f 23674 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
3413, 30dipcl 30731 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3512, 20, 27, 34mp3an 1463 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
377, 7, 36cnmptc 23670 . . . . . 6 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑃𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
383mulcn 24889 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
3938a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
407, 10, 37, 39cnmpt12f 23674 . . . . 5 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
413subcn 24888 . . . . . 6 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4241a1i 11 . . . . 5 (⊤ → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
437, 33, 40, 42cnmpt12f 23674 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
445, 7, 9, 43cnmpt1res 23684 . . 3 (⊤ → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4544mptru 1547 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
461, 45eqeltri 2837 1 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   · cmul 11160  cmin 11492  (,)cioo 13387  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  IndMetcims 30610  ·𝑖OLDcdip 30719  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  ipasslem8  30856
  Copyright terms: Public domain W3C validator