MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evth2 24323
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
evth2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 bndth.2 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 bndth.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 cmptop 22746 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
61toptopon 22266 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75, 6sylib 217 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 bndth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9 uniretop 24126 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
102unieqi 4878 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
119, 10eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐾
121, 11cnf 22597 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1413feqmptd 6910 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)))
1514, 8eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 retopon 24127 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
172, 16eqeltri 2834 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnfldtopon 24146 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22 0cnd 11148 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2318, 21, 22cnmptc 23013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2419tgioo2 24166 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
252, 24eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26 ax-resscn 11108 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2821cnmptid 23012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 23027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3019subcn 24229 . . . . . . . 8 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 23017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33 df-neg 11388 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 = (0 − 𝑦)
34 renegcl 11464 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3533, 34eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
3736fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
3837frnd 6676 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39 cnrest2 22637 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4021, 38, 27, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4132, 40mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4225oveq2i 7368 . . . . 5 (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4341, 42eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44 negeq 11393 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → -𝑦 = -(𝐹𝑧))
4533, 44eqtr3id 2790 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹𝑧))
467, 15, 18, 43, 45cnmpt11 23014 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47 evth.5 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
481, 2, 3, 46, 47evth 24322 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥))
49 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
5049negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑦))
51 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))
52 negex 11399 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑦) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
5453adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
55 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5655negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑥))
57 negex 11399 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑥) ∈ V
5856, 51, 57fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
5958ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
6054, 59breq12d 5118 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6113ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6313ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6463adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6562, 64lenegd 11734 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6660, 65bitr4d 281 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
6766ralbidva 3172 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
6867rexbidva 3173 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
6948, 68mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  (,)cioo 13264  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  Compccmp 22737   ×t ctx 22911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24326  evthicc  24823  ftalem3  26424  evth2f  43210  stoweidlem28  44259
  Copyright terms: Public domain W3C validator