Theorem evth2 24123

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		bndth.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		bndth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cmptop 22546	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	1	toptopon 22066	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bndth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9		uniretop 23926	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	2	unieqi 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	9, 10	eqtr4i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
12	1, 11	cnf 22397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	14, 8	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16		retopon 23927	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
17	2, 16	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20	19	cnfldtopon 23946	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22		0cnd 10968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	cnmptc 22813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	19	tgioo2 23966	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
25	2, 24	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26		ax-resscn 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	21	cnmptid 22812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 22827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	19	subcn 24029	. . . . . . . 8 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 22817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33		df-neg 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑦 = (0 − 𝑦)
34		renegcl 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
35	33, 34	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fmpttd 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
38	37	frnd 6608	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39		cnrest2 22437	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	21, 38, 27, 39	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
41	32, 40	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
42	25	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
43	41, 42	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44		negeq 11213	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑧))
45	33, 44	eqtr3id 2792	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹‘𝑧))
46	7, 15, 18, 43, 45	cnmpt11 22814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47		evth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
48	1, 2, 3, 46, 47	evth 24122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥))
49		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
50	49	negeqd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑦))
51		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))
52		negex 11219	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑦) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
54	53	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
55		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
56	55	negeqd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑥))
57		negex 11219	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
58	56, 51, 57	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
59	58	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
60	54, 59	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
61	13	ffvelrnda 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63	13	ffvelrnda 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	62, 64	lenegd 11554	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
66	60, 65	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
67	66	ralbidva 3111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
68	67	rexbidva 3225	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
69	48, 68	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  (,)cioo 13079   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375  Compccmp 22537   ×_t ctx 22711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24126  evthicc  24623  ftalem3  26224  evth2f  42558  stoweidlem28  43569