Theorem evth2 24323

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		bndth.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		bndth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cmptop 22746	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	1	toptopon 22266	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bndth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9		uniretop 24126	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	2	unieqi 4878	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	9, 10	eqtr4i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
12	1, 11	cnf 22597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	14, 8	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16		retopon 24127	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
17	2, 16	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20	19	cnfldtopon 24146	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22		0cnd 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	cnmptc 23013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	19	tgioo2 24166	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
25	2, 24	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26		ax-resscn 11108	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	21	cnmptid 23012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 23027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	19	subcn 24229	. . . . . . . 8 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 23017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33		df-neg 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑦 = (0 − 𝑦)
34		renegcl 11464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
35	33, 34	eqeltrrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fmpttd 7063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
38	37	frnd 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39		cnrest2 22637	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	21, 38, 27, 39	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
41	32, 40	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
42	25	oveq2i 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
43	41, 42	eleqtrrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44		negeq 11393	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑧))
45	33, 44	eqtr3id 2790	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹‘𝑧))
46	7, 15, 18, 43, 45	cnmpt11 23014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47		evth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
48	1, 2, 3, 46, 47	evth 24322	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥))
49		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
50	49	negeqd 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑦))
51		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))
52		negex 11399	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑦) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
54	53	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
55		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
56	55	negeqd 11395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑥))
57		negex 11399	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
58	56, 51, 57	fvmpt 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
59	58	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
60	54, 59	breq12d 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
61	13	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63	13	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	62, 64	lenegd 11734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
66	60, 65	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
67	66	ralbidva 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
68	67	rexbidva 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
69	48, 68	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386  (,)cioo 13264   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  Compccmp 22737   ×_t ctx 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24326  evthicc  24823  ftalem3  26424  evth2f  43210  stoweidlem28  44259