Theorem evth2 24906

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		bndth.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		bndth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cmptop 23330	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	1	toptopon 22852	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bndth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9		uniretop 24697	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	2	unieqi 4872	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	9, 10	eqtr4i 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
12	1, 11	cnf 23181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	14, 8	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16		retopon 24698	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
17	2, 16	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20	19	cnfldtopon 24717	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22		0cnd 11116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	cnmptc 23597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24		tgioo4 24740	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
25	2, 24	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26		ax-resscn 11074	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	21	cnmptid 23596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 23611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	19	subcn 24802	. . . . . . . 8 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 23601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33		df-neg 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑦 = (0 − 𝑦)
34		renegcl 11435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
35	33, 34	eqeltrrid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fmpttd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
38	37	frnd 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39		cnrest2 23221	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	21, 38, 27, 39	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
41	32, 40	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
42	25	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
43	41, 42	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44		negeq 11363	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑧))
45	33, 44	eqtr3id 2782	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹‘𝑧))
46	7, 15, 18, 43, 45	cnmpt11 23598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47		evth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
48	1, 2, 3, 46, 47	evth 24905	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥))
49		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
50	49	negeqd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑦))
51		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))
52		negex 11369	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑦) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
54	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
55		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
56	55	negeqd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑥))
57		negex 11369	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
58	56, 51, 57	fvmpt 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
59	58	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
60	54, 59	breq12d 5108	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
61	13	ffvelcdmda 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63	13	ffvelcdmda 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	62, 64	lenegd 11707	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
66	60, 65	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
67	66	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
68	67	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
69	48, 68	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017   ≤ cle 11158   − cmin 11355  -cneg 11356  (,)cioo 13252   ↾_t crest 17331  TopOpenctopn 17332  topGenctg 17348  ℂ_fldccnfld 21300  Topctop 22828  TopOnctopon 22845   Cn ccn 23159  Compccmp 23321   ×_t ctx 23495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-cmp 23322  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24909  evthicc  25407  ftalem3  27032  evth2f  45176  stoweidlem28  46188