Theorem evth2 25010

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		bndth.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		bndth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cmptop 23443	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	1	toptopon 22965	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	5, 6	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bndth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9		uniretop 24810	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	2	unieqi 4874	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	9, 10	eqtr4i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
12	1, 11	cnf 23294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	14, 8	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16		retopon 24811	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
17	2, 16	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20	19	cnfldtopon 24830	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22		0cnd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	cnmptc 23710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24		tgioo4 24853	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
25	2, 24	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26		ax-resscn 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	21	cnmptid 23709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 23724	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	19	subcn 24915	. . . . . . . 8 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 23714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33		df-neg 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑦 = (0 − 𝑦)
34		renegcl 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
35	33, 34	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fmpttd 7091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
38	37	frnd 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39		cnrest2 23334	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	21, 38, 27, 39	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
41	32, 40	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
42	25	oveq2i 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
43	41, 42	eleqtrrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44		negeq 11416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑧))
45	33, 44	eqtr3id 2810	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹‘𝑧))
46	7, 15, 18, 43, 45	cnmpt11 23711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47		evth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
48	1, 2, 3, 46, 47	evth 25009	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥))
49		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
50	49	negeqd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑦))
51		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))
52		negex 11422	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑦) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
54	53	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
55		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
56	55	negeqd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑥))
57		negex 11422	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
58	56, 51, 57	fvmpt 6970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
59	58	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
60	54, 59	breq12d 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
61	13	ffvelcdmda 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63	13	ffvelcdmda 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	62, 64	lenegd 11760	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
66	60, 65	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
67	66	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
68	67	rexbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
69	48, 68	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067   ≤ cle 11211   − cmin 11408  -cneg 11409  (,)cioo 13343   ↾_t crest 17440  TopOpenctopn 17441  topGenctg 17457  ℂ_fldccnfld 21412  Topctop 22941  TopOnctopon 22958   Cn ccn 23272  Compccmp 23434   ×_t ctx 23608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-cmp 23435  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  25013  evthicc  25509  ftalem3  27127  evth2f  45556  stoweidlem28  46563