Theorem evth2 24915

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		bndth.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		bndth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cmptop 23339	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6	1	toptopon 22861	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bndth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9		uniretop 24706	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
10	2	unieqi 4875	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	9, 10	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
12	1, 11	cnf 23190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
14	13	feqmptd 6902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	14, 8	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16		retopon 24707	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
17	2, 16	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20	19	cnfldtopon 24726	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22		0cnd 11125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
23	18, 21, 22	cnmptc 23606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24		tgioo4 24749	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
25	2, 24	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26		ax-resscn 11083	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28	21	cnmptid 23605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 23620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	19	subcn 24811	. . . . . . . 8 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 23610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33		df-neg 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑦 = (0 − 𝑦)
34		renegcl 11444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
35	33, 34	eqeltrrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fmpttd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
38	37	frnd 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
39		cnrest2 23230	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	21, 38, 27, 39	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
41	32, 40	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
42	25	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
43	41, 42	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
44		negeq 11372	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑧))
45	33, 44	eqtr3id 2785	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹‘𝑧))
46	7, 15, 18, 43, 45	cnmpt11 23607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
47		evth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
48	1, 2, 3, 46, 47	evth 24914	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥))
49		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
50	49	negeqd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑦))
51		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))
52		negex 11378	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑦) ∈ V
53	50, 51, 52	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
54	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
55		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
56	55	negeqd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑧) = -(𝐹‘𝑥))
57		negex 11378	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
58	56, 51, 57	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
59	58	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
60	54, 59	breq12d 5111	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
61	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
62	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	62, 64	lenegd 11716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ -(𝐹‘𝑦) ≤ -(𝐹‘𝑥)))
66	60, 65	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
67	66	ralbidva 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
68	67	rexbidva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ -(𝐹‘𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
69	48, 68	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365  (,)cioo 13261   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  topGenctg 17357  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  TopOnctopon 22854   Cn ccn 23168  Compccmp 23330   ×_t ctx 23504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  24918  evthicc  25416  ftalem3  27041  evth2f  45260  stoweidlem28  46272