Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxpconn 34302
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
cvxpconn.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxpconn (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ PConn)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐽   π‘₯,𝑑,𝑦,𝐾   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑆,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cvxpconn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2 cvxpconn.3 . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtop 24307 . . . 4 𝐽 ∈ Top
4 cvxpconn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
5 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
6 ssexg 5323 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
8 resttop 22671 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
101, 9eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
112dfii3 24406 . . . . . . . 8 II = (𝐽 β†Ύt (0[,]1))
122cnfldtopon 24306 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
14 unitssre 13478 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) βŠ† ℝ
15 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstri 3991 . . . . . . . . 9 (0[,]1) βŠ† β„‚
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
1813cnmptid 23172 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑑) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
194adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
2119, 20sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2213, 13, 21cnmptc 23173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232mulcn 24390 . . . . . . . . . . 11 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 23177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 1 ∈ β„‚)
2713, 13, 26cnmptc 23173 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
282subcn 24389 . . . . . . . . . . . 12 βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3013, 27, 18, 29cnmpt12f 23177 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 𝑑)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3219, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3313, 13, 32cnmptc 23173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3413, 30, 33, 24cnmpt12f 23177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
352addcn 24388 . . . . . . . . . 10 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3713, 25, 34, 36cnmpt12f 23177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3811, 13, 17, 37cnmpt1res 23187 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽))
39 cvxpconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝑆)
40393exp2 1354 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4241imp42 427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝑆)
4342fmpttd 7116 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))):(0[,]1)βŸΆπ‘†)
4443frnd 6725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ran (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) βŠ† 𝑆)
45 cnrest2 22797 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt 𝑆))))
4613, 44, 19, 45syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt 𝑆))))
4738, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt 𝑆)))
481oveq2i 7422 . . . . . 6 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽 β†Ύt 𝑆))
4947, 48eleqtrrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾))
50 0elunit 13448 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
51 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 0 β†’ (𝑑 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
52 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 0 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ 0))
53 1m0e1 12335 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 0) = 1
5452, 53eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 0 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = 1)
5554oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 0 β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) = (1 Β· 𝑦))
5651, 55oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑑 = 0 β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦)))
57 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
58 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦)) ∈ V
5956, 57, 58fvmpt 6998 . . . . . . 7 (0 ∈ (0[,]1) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦)))
6050, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦))
6121mul02d 11414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
6232mullidd 11234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
6361, 62oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦)) = (0 + 𝑦))
6432addlidd 11417 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (0 + 𝑦) = 𝑦)
6563, 64eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((0 Β· π‘₯) + (1 Β· 𝑦)) = 𝑦)
6660, 65eqtrid 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = 𝑦)
67 1elunit 13449 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
68 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 1 β†’ (𝑑 Β· π‘₯) = (1 Β· π‘₯))
69 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ 1))
70 1m1e0 12286 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 1) = 0
7169, 70eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = 0)
7271oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 1 β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) = (0 Β· 𝑦))
7368, 72oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑑 = 1 β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦)))
74 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦)) ∈ V
7573, 57, 74fvmpt 6998 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦)))
7667, 75ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦))
7721mullidd 11234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
7832mul02d 11414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (0 Β· 𝑦) = 0)
7977, 78oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦)) = (π‘₯ + 0))
8021addridd 11416 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
8179, 80eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((1 Β· π‘₯) + (0 Β· 𝑦)) = π‘₯)
8276, 81eqtrid 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = π‘₯)
83 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) β†’ (π‘“β€˜0) = ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0))
8483eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) β†’ ((π‘“β€˜0) = 𝑦 ↔ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = 𝑦))
85 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) β†’ (π‘“β€˜1) = ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1))
8685eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) β†’ ((π‘“β€˜1) = π‘₯ ↔ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = π‘₯))
8784, 86anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) β†’ (((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯) ↔ (((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = 𝑦 ∧ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = π‘₯)))
8887rspcev 3612 . . . . 5 (((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜0) = 𝑦 ∧ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))β€˜1) = π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯))
8949, 66, 82, 88syl12anc 835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯))
9089ralrimivva 3200 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯))
91 resttopon 22672 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
9212, 4, 91sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
931, 92eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
94 toponuni 22423 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐾)
9593, 94syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐾)
9695raleqdv 3325 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΎβˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯)))
9795, 96raleqbidv 3342 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ πΎβˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΎβˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯)))
9890, 97mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ πΎβˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΎβˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯))
99 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
10099ispconn 34283 . 2 (𝐾 ∈ PConn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ πΎβˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ πΎβˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑦 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯)))
10110, 98, 100sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  IIcii 24398  PConncpconn 34279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-pconn 34281
This theorem is referenced by:  cvxsconn  34303
  Copyright terms: Public domain W3C validator