Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxpconn 31604
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxpconn (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxpconn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
2 cvxpconn.3 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22866 . . . 4 𝐽 ∈ Top
4 cvxpconn.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 10270 . . . . 5 ℂ ∈ V
6 ssexg 4965 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 580 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 21244 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 581 . . 3 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
101, 9syl5eqel 2848 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Top)
112dfii3 22965 . . . . . . . 8 II = (𝐽t (0[,]1))
122cnfldtopon 22865 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 unitssre 12526 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3770 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
1813cnmptid 21744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
194adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
20 simprr 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥𝑆)
2119, 20sseldd 3762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2213, 13, 21cnmptc 21745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232mulcn 22949 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 21749 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 1 ∈ ℂ)
2713, 13, 26cnmptc 21745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
282subcn 22948 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3013, 27, 18, 29cnmpt12f 21749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
31 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦𝑆)
3219, 31sseldd 3762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3313, 13, 32cnmptc 21745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3413, 30, 33, 24cnmpt12f 21749 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
352addcn 22947 . . . . . . . . . 10 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3713, 25, 34, 36cnmpt12f 21749 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3811, 13, 17, 37cnmpt1res 21759 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽))
39 cvxpconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
40393exp2 1463 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4241imp42 417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
4342fmpttd 6575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆)
4443frnd 6230 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
45 cnrest2 21370 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4613, 44, 19, 45syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4738, 46mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
481oveq2i 6853 . . . . . 6 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
4947, 48syl6eleqr 2855 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾))
50 0elunit 12495 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
51 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑡 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
52 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
53 1m0e1 11400 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
5452, 53syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
5554oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
5651, 55oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
57 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
58 ovex 6874 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) ∈ V
5956, 57, 58fvmpt 6471 . . . . . . 7 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
6050, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦))
6121mul02d 10488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑥) = 0)
6232mulid2d 10312 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
6361, 62oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = (0 + 𝑦))
6432addid2d 10491 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
6563, 64eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = 𝑦)
6660, 65syl5eq 2811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦)
67 1elunit 12496 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
68 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑡 · 𝑥) = (1 · 𝑥))
69 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
70 1m1e0 11344 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7169, 70syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
7271oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (0 · 𝑦))
7368, 72oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
74 ovex 6874 . . . . . . . 8 ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ∈ V
7573, 57, 74fvmpt 6471 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
7667, 75ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
7721mulid2d 10312 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7832mul02d 10488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑦) = 0)
7977, 78oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = (𝑥 + 0))
8021addid1d 10490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
8179, 80eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = 𝑥)
8276, 81syl5eq 2811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)
83 fveq1 6374 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘0) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0))
8483eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘0) = 𝑦 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦))
85 fveq1 6374 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘1) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1))
8685eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥))
8784, 86anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)))
8887rspcev 3461 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
8949, 66, 82, 88syl12anc 865 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9089ralrimivva 3118 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
91 resttopon 21245 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
9212, 4, 91sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
931, 92syl5eqel 2848 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
94 toponuni 20998 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 = 𝐾)
9695raleqdv 3292 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9795, 96raleqbidv 3300 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9890, 97mpbid 223 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
99 eqid 2765 . . 3 𝐾 = 𝐾
10099ispconn 31585 . 2 (𝐾 ∈ PConn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
10110, 98, 100sylanbrc 578 1 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732   cuni 4594  cmpt 4888  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  [,]cicc 12380  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   ×t ctx 21643  IIcii 22957  PConncpconn 31581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959  df-pconn 31583
This theorem is referenced by:  cvxsconn  31605
  Copyright terms: Public domain W3C validator