Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxpconn 32493
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxpconn (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxpconn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
2 cvxpconn.3 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 23395 . . . 4 𝐽 ∈ Top
4 cvxpconn.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 10621 . . . . 5 ℂ ∈ V
6 ssexg 5230 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 588 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 21771 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 589 . . 3 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
101, 9eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Top)
112dfii3 23494 . . . . . . . 8 II = (𝐽t (0[,]1))
122cnfldtopon 23394 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 unitssre 12888 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 10597 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3979 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
1813cnmptid 22272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
194adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥𝑆)
2119, 20sseldd 3971 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2213, 13, 21cnmptc 22273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232mulcn 23478 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 22277 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26 1cnd 10639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 1 ∈ ℂ)
2713, 13, 26cnmptc 22273 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
282subcn 23477 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3013, 27, 18, 29cnmpt12f 22277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦𝑆)
3219, 31sseldd 3971 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3313, 13, 32cnmptc 22273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3413, 30, 33, 24cnmpt12f 22277 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
352addcn 23476 . . . . . . . . . 10 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3713, 25, 34, 36cnmpt12f 22277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3811, 13, 17, 37cnmpt1res 22287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽))
39 cvxpconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
40393exp2 1350 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4241imp42 429 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
4342fmpttd 6882 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆)
4443frnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
45 cnrest2 21897 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4613, 44, 19, 45syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4738, 46mpbid 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
481oveq2i 7170 . . . . . 6 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
4947, 48eleqtrrdi 2927 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾))
50 0elunit 12858 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
51 oveq1 7166 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑡 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
52 oveq2 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
53 1m0e1 11761 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
5452, 53syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
5554oveq1d 7174 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
5651, 55oveq12d 7177 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
57 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
58 ovex 7192 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) ∈ V
5956, 57, 58fvmpt 6771 . . . . . . 7 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
6050, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦))
6121mul02d 10841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑥) = 0)
6232mulid2d 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
6361, 62oveq12d 7177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = (0 + 𝑦))
6432addid2d 10844 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
6563, 64eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = 𝑦)
6660, 65syl5eq 2871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦)
67 1elunit 12859 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
68 oveq1 7166 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑡 · 𝑥) = (1 · 𝑥))
69 oveq2 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
70 1m1e0 11712 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7169, 70syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
7271oveq1d 7174 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (0 · 𝑦))
7368, 72oveq12d 7177 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
74 ovex 7192 . . . . . . . 8 ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ∈ V
7573, 57, 74fvmpt 6771 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
7667, 75ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
7721mulid2d 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7832mul02d 10841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑦) = 0)
7977, 78oveq12d 7177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = (𝑥 + 0))
8021addid1d 10843 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
8179, 80eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = 𝑥)
8276, 81syl5eq 2871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)
83 fveq1 6672 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘0) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0))
8483eqeq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘0) = 𝑦 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦))
85 fveq1 6672 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘1) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1))
8685eqeq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥))
8784, 86anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)))
8887rspcev 3626 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
8949, 66, 82, 88syl12anc 834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9089ralrimivva 3194 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
91 resttopon 21772 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
9212, 4, 91sylancr 589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
931, 92eqeltrid 2920 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
94 toponuni 21525 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 = 𝐾)
9695raleqdv 3418 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9795, 96raleqbidv 3404 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9890, 97mpbid 234 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
99 eqid 2824 . . 3 𝐾 = 𝐾
10099ispconn 32474 . 2 (𝐾 ∈ PConn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
10110, 98, 100sylanbrc 585 1 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wral 3141  wrex 3142  Vcvv 3497  wss 3939   cuni 4841  cmpt 5149  ran crn 5559  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  cr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545  cmin 10873  [,]cicc 12744  t crest 16697  TopOpenctopn 16698  fldccnfld 20548  Topctop 21504  TopOnctopon 21521   Cn ccn 21835   ×t ctx 22171  IIcii 23486  PConncpconn 32470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-ii 23488  df-pconn 32472
This theorem is referenced by:  cvxsconn  32494
  Copyright terms: Public domain W3C validator