Theorem gsumcom3 19891

Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcom3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcom3.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumcom3.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumcom3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsumcom3.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcom3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcom3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumcom3.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		gsumcom3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
8		gsumcom3.n	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	gsumcom 19890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
10	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
11	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8	gsum2d2 19887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
12	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	6	ancom2s 650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		cnvfi 9085	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ◡𝑈 ∈ Fin)
15	7, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 ∈ Fin)
16		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
17		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘◡𝑈𝑗 ↔ 𝑗𝑈𝑘)
20	19	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑘◡𝑈𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑈𝑘)
21	16, 20	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘))
22	21, 8	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗)) → 𝑋 = 0 )
23	1, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22	gsum2d2 19887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))
24	9, 11, 23	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  Fincfn 8869  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  CMndccmn 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695

This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  19892  gsumxp2  19893  fldextrspunlsplem  33684