Theorem gsumcom3 20008

Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcom3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcom3.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumcom3.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumcom3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsumcom3.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcom3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcom3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumcom3.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		gsumcom3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
8		gsumcom3.n	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	gsumcom 20007	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
10	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
11	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8	gsum2d2 20004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
12	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	6	ancom2s 660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		cnvfi 9137	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ◡𝑈 ∈ Fin)
15	7, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 ∈ Fin)
16		ancom 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
17		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘◡𝑈𝑗 ↔ 𝑗𝑈𝑘)
20	19	notbii 322	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑘◡𝑈𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑈𝑘)
21	16, 20	anbi12i 637	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘))
22	21, 8	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗)) → 𝑋 = 0 )
23	1, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22	gsum2d2 20004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))
24	9, 11, 23	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5642  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Fincfn 8920  Basecbs 17235  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  CMndccmn 19810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812

This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  20009  gsumxp2  20010  fldextrspunlsplem  33930