Theorem gsumcom3 20036

Description: A commutative law for finitely supported iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcom3.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumcom3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcom3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcom3.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumcom3.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumcom3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsumcom3.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom3	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcom3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumcom3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumcom3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumcom3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumcom3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumcom3.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		gsumcom3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
8		gsumcom3.n	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	gsumcom 20035	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
10	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
11	1, 2, 3, 4, 10, 6, 7, 8	gsum2d2 20032	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
12	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	6	ancom2s 662	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		cnvfi 9148	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ◡𝑈 ∈ Fin)
15	7, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 ∈ Fin)
16		ancom 465	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
17		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	brcnv 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑘◡𝑈𝑗 ↔ 𝑗𝑈𝑘)
20	19	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑘◡𝑈𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑈𝑘)
21	16, 20	anbi12i 639	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗) ↔ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘))
22	21, 8	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑘◡𝑈𝑗)) → 𝑋 = 0 )
23	1, 2, 3, 5, 12, 13, 15, 22	gsum2d2 20032	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))
24	9, 11, 23	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Fincfn 8931  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  CMndccmn 19838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840

This theorem is referenced by:  gsumcom3fi  20037  gsumxp2  20038  fldextrspunlsplem  33975