Theorem dfeven4 48463

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven4	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfeven4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-even 48451	. 2 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · (𝑧 / 2)))
4	3	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = (𝑧 / 2)) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
6		zcn 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8		2cnd 12336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan2d 12010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 / 2)) = 𝑧)
12	11	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2)))
13	2, 5, 12	rspcedvd 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖))
14	13	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
15		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
16		zcn 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
18		2cnd 12336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan3d 12013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
21	15, 20	sylan9eqr 2822	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) = 𝑖)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
24	21, 23	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
25	24	rexlimdva2 3170	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ))
26	14, 25	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
27	26	rabbiia 3422	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
28	1, 27	eqtri 2788	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117   · cmul 11122   / cdiv 11888  2c2 12312  ℤcz 12608   Even ceven 48449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-z 12609  df-even 48451

This theorem is used by:  m1expevenALTV  48472  dfeven2  48474  opoeALTV  48508  opeoALTV  48509