Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeven4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeven4 44763
Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfeven4 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfeven4
StepHypRef Expression
1 df-even 44751 . 2 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ}
2 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
3 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑧 / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · (𝑧 / 2)))
43eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑧 / 2) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
54adantl 485 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = (𝑧 / 2)) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
6 zcn 12181 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8 2cnd 11908 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9 2ne0 11934 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
117, 8, 10divcan2d 11610 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 / 2)) = 𝑧)
1211eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2)))
132, 5, 12rspcedvd 3540 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖))
1413ex 416 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
15 oveq1 7220 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
16 zcn 12181 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
1716adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
18 2cnd 11908 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
199a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2017, 18, 19divcan3d 11613 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
2115, 20sylan9eqr 2800 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) = 𝑖)
22 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2322adantr 484 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
2421, 23eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
2524rexlimdva2 3206 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ))
2614, 25impbid 215 . . 3 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
2726rabbiia 3382 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
281, 27eqtri 2765 1 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  {crab 3065  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734   / cdiv 11489  2c2 11885  cz 12176   Even ceven 44749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-z 12177  df-even 44751
This theorem is referenced by:  m1expevenALTV  44772  dfeven2  44774  opoeALTV  44808  opeoALTV  44809
  Copyright terms: Public domain W3C validator