Theorem dfeven4 47512

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven4	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfeven4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-even 47500	. 2 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · (𝑧 / 2)))
4	3	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = (𝑧 / 2)) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
6		zcn 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8		2cnd 12371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan2d 12072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 / 2)) = 𝑧)
12	11	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2)))
13	2, 5, 12	rspcedvd 3637	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
15		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
16		zcn 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
18		2cnd 12371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan3d 12075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
21	15, 20	sylan9eqr 2802	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) = 𝑖)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
24	21, 23	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
25	24	rexlimdva2 3163	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ))
26	14, 25	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
27	26	rabbiia 3447	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
28	1, 27	eqtri 2768	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947  2c2 12348  ℤcz 12639   Even ceven 47498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-z 12640  df-even 47500

This theorem is referenced by:  m1expevenALTV  47521  dfeven2  47523  opoeALTV  47557  opeoALTV  47558