Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeven4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeven4 43169
Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfeven4 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfeven4
StepHypRef Expression
1 df-even 43157 . 2 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ}
2 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
3 oveq2 6984 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑧 / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · (𝑧 / 2)))
43eqeq2d 2789 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑧 / 2) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
54adantl 474 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = (𝑧 / 2)) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
6 zcn 11798 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
76adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8 2cnd 11518 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9 2ne0 11551 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
117, 8, 10divcan2d 11219 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 / 2)) = 𝑧)
1211eqcomd 2785 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2)))
132, 5, 12rspcedvd 3543 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖))
1413ex 405 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
15 oveq1 6983 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
16 zcn 11798 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
1716adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
18 2cnd 11518 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
199a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2017, 18, 19divcan3d 11222 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
2115, 20sylan9eqr 2837 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) = 𝑖)
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2322adantr 473 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
2421, 23eqeltrd 2867 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
2524rexlimdva2 3233 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ))
2614, 25impbid 204 . . 3 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
2726rabbiia 3399 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
281, 27eqtri 2803 1 Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090  {crab 3093  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340   / cdiv 11098  2c2 11495  cz 11793   Even ceven 43155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-2 11503  df-z 11794  df-even 43157
This theorem is referenced by:  m1expevenALTV  43178  dfeven2  43180  opoeALTV  43214  opeoALTV  43215
  Copyright terms: Public domain W3C validator