Theorem dfeven4 47612

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven4	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfeven4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-even 47600	. 2 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · (𝑧 / 2)))
4	3	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑧 / 2) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = (𝑧 / 2)) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2))))
6		zcn 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8		2cnd 12240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan2d 11936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 / 2)) = 𝑧)
12	11	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = (2 · (𝑧 / 2)))
13	2, 5, 12	rspcedvd 3587	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
15		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
16		zcn 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
18		2cnd 12240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan3d 11939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
21	15, 20	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) = 𝑖)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
24	21, 23	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (2 · 𝑖)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
25	24	rexlimdva2 3136	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ))
26	14, 25	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)))
27	26	rabbiia 3406	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
28	1, 27	eqtri 2752	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   · cmul 11049   / cdiv 11811  2c2 12217  ℤcz 12505   Even ceven 47598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-z 12506  df-even 47600

This theorem is referenced by:  m1expevenALTV  47621  dfeven2  47623  opoeALTV  47657  opeoALTV  47658