Theorem dfodd6 47799

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd6	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfodd6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 47798	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · ((𝑧 − 1) / 2)))
4		peano2zm 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℂ)
6		2cnd 12214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divcan2 11795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
13	3, 12	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (2 · 𝑖) = (𝑧 − 1))
14	13	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = ((𝑧 − 1) + 1))
15		zcn 12484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
16		npcan1 11553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
20	14, 19	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
21	20	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝑧 = 𝑧))
22		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = 𝑧)
23	2, 21, 22	rspcedvd 3575	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
25		oveq1 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝑧 − 1) = (((2 · 𝑖) + 1) − 1))
26		zcn 12484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		mulcl 11101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
28	6, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
29		pncan1 11552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑖) ∈ ℂ → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
31	25, 30	sylan9eqr 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝑧 − 1) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
33	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
34		2cnd 12214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
35	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
36	33, 34, 35	divcan3d 11913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
38	32, 37	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = 𝑖)
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
42	41	rexlimdva2 3136	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
43	24, 42	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
44	43	rabbiia 3400	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
45	1, 44	eqtri 2756	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {crab 3396  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355   / cdiv 11785  2c2 12191  ℤcz 12479   Odd codd 47787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-odd 47789

This theorem is referenced by:  dfodd3  47812  odd2np1ALTV  47836  opoeALTV  47845  opeoALTV  47846