Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfodd6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfodd6 47562
Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfodd6 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfodd6
StepHypRef Expression
1 dfodd2 47561 . 2 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · ((𝑧 − 1) / 2)))
4 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
54zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℂ)
6 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
95, 6, 83jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11 divcan2 11928 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
133, 12sylan9eqr 2797 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (2 · 𝑖) = (𝑧 − 1))
1413oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = ((𝑧 − 1) + 1))
15 zcn 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
16 npcan1 11686 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
2014, 19eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
2120eqeq2d 2746 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝑧 = 𝑧))
22 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = 𝑧)
232, 21, 22rspcedvd 3624 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1))
2423ex 412 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
25 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝑧 − 1) = (((2 · 𝑖) + 1) − 1))
26 zcn 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27 mulcl 11237 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
286, 26, 27syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
29 pncan1 11685 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑖) ∈ ℂ → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
3125, 30sylan9eqr 2797 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝑧 − 1) = (2 · 𝑖))
3231oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
3326adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
34 2cnd 12342 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
357a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3633, 34, 35divcan3d 12046 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
3736adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
3832, 37eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = 𝑖)
39 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
4039adantr 480 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4138, 40eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
4241rexlimdva2 3155 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
4324, 42impbid 212 . . 3 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
4443rabbiia 3437 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
451, 44eqtri 2763 1 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611   Odd codd 47550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-odd 47552
This theorem is referenced by:  dfodd3  47575  odd2np1ALTV  47599  opoeALTV  47608  opeoALTV  47609
  Copyright terms: Public domain W3C validator