Theorem dfodd6 47629

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd6	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfodd6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 47628	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · ((𝑧 − 1) / 2)))
4		peano2zm 12662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℂ)
6		2cnd 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divcan2 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
13	3, 12	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (2 · 𝑖) = (𝑧 − 1))
14	13	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = ((𝑧 − 1) + 1))
15		zcn 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
16		npcan1 11689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
20	14, 19	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝑧 = 𝑧))
22		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = 𝑧)
23	2, 21, 22	rspcedvd 3623	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
25		oveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝑧 − 1) = (((2 · 𝑖) + 1) − 1))
26		zcn 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		mulcl 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
28	6, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
29		pncan1 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑖) ∈ ℂ → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
31	25, 30	sylan9eqr 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝑧 − 1) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
33	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
34		2cnd 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
35	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
36	33, 34, 35	divcan3d 12049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
38	32, 37	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = 𝑖)
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
42	41	rexlimdva2 3156	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
43	24, 42	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
44	43	rabbiia 3439	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
45	1, 44	eqtri 2764	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  {crab 3435  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  ℤcz 12615   Odd codd 47617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-odd 47619

This theorem is referenced by:  dfodd3  47642  odd2np1ALTV  47666  opoeALTV  47675  opeoALTV  47676