Theorem dfodd6 45089

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd6	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfodd6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 45088	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · ((𝑧 − 1) / 2)))
4		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℂ)
6		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divcan2 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
13	3, 12	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (2 · 𝑖) = (𝑧 − 1))
14	13	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = ((𝑧 − 1) + 1))
15		zcn 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
16		npcan1 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
20	14, 19	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
21	20	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝑧 = 𝑧))
22		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = 𝑧)
23	2, 21, 22	rspcedvd 3563	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1))
24	23	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
25		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝑧 − 1) = (((2 · 𝑖) + 1) − 1))
26		zcn 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		mulcl 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
28	6, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
29		pncan1 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑖) ∈ ℂ → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
31	25, 30	sylan9eqr 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝑧 − 1) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
33	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
34		2cnd 12051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
35	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
36	33, 34, 35	divcan3d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
38	32, 37	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = 𝑖)
39		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
42	41	rexlimdva2 3216	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
43	24, 42	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
44	43	rabbiia 3407	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
45	1, 44	eqtri 2766	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℤcz 12319   Odd codd 45077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-odd 45079

This theorem is referenced by:  dfodd3  45102  odd2np1ALTV  45126  opoeALTV  45135  opeoALTV  45136