Theorem dfodd6 48286

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd6	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Distinct variable group:   𝑧,𝑖

Proof of Theorem dfodd6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 48285	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2) → (2 · 𝑖) = (2 · ((𝑧 − 1) / 2)))
4		peano2zm 12633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℂ)
6		2cnd 12315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9	5, 6, 8	3jca 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
10	9	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11		divcan2 11876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 − 1) / 2)) = (𝑧 − 1))
13	3, 12	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (2 · 𝑖) = (𝑧 − 1))
14	13	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = ((𝑧 − 1) + 1))
15		zcn 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
16		npcan1 11635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
19	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((𝑧 − 1) + 1) = 𝑧)
20	14, 19	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
21	20	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = ((𝑧 − 1) / 2)) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝑧 = 𝑧))
22		eqidd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑧 = 𝑧)
23	2, 21, 22	rspcedvd 3592	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1))
24	23	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
25		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝑧 − 1) = (((2 · 𝑖) + 1) − 1))
26		zcn 12592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		mulcl 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
28	6, 26, 27	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
29		pncan1 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑖) ∈ ℂ → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) − 1) = (2 · 𝑖))
31	25, 30	sylan9eqr 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝑧 − 1) = (2 · 𝑖))
32	31	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = ((2 · 𝑖) / 2))
33	26	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
34		2cnd 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
35	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
36	33, 34, 35	divcan3d 11992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
37	36	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((2 · 𝑖) / 2) = 𝑖)
38	32, 37	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) = 𝑖)
39		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
40	39	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ)
42	41	rexlimdva2 3174	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
43	24, 42	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)))
44	43	rabbiia 3427	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
45	1, 44	eqtri 2792	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3423  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437   / cdiv 11867  2c2 12291  ℤcz 12587   Odd codd 48274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-odd 48276

This theorem is referenced by:  dfodd3  48299  odd2np1ALTV  48323  opoeALTV  48332  opeoALTV  48333