Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1expevenALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expevenALTV 47572
Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1expevenALTV (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2739 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
21rexbidv 3177 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3 dfeven4 47563 . . 3 Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
42, 3elrab2 3698 . 2 (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6 neg1cn 12378 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8 neg1ne0 12380 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10 2z 12647 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13 expmulz 14146 . . . . . . . 8 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
147, 9, 11, 12, 13syl22anc 839 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15 neg1sqe1 14232 . . . . . . . . 9 (-1↑2) = 1
1615oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17 1exp 14129 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
1816, 17eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
1914, 18eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
2019adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
215, 20sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
2221rexlimdva2 3155 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
2322imp 406 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
244, 23sylbi 217 1 (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  2c2 12319  cz 12611  cexp 14099   Even ceven 47549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-even 47551
This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  47573
  Copyright terms: Public domain W3C validator