Theorem m1expevenALTV 48550

Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expevenALTV	⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2766	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
2	1	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3		dfeven4 48541	. . 3 ⊢ Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3652	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6		neg1cn 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8		neg1ne0 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10		2z 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13		expmulz 14174	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
14	7, 9, 11, 12, 13	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15		neg1sqe1 14262	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17		1exp 14157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
18	16, 17	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
20	19	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
21	5, 20	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
22	21	rexlimdva2 3167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
23	22	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
24	4, 23	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  -cneg 11469  2c2 12322  ℤcz 12618  ↑cexp 14127   Even ceven 48527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-exp 14128  df-even 48529

This theorem is used by:  m1expoddALTV  48551