Theorem m1expevenALTV 47746

Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expevenALTV	⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2735	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
2	1	rexbidv 3156	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3		dfeven4 47737	. . 3 ⊢ Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3645	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6		neg1cn 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8		neg1ne0 12112	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10		2z 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13		expmulz 14015	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
14	7, 9, 11, 12, 13	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15		neg1sqe1 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17		1exp 13998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
18	16, 17	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
21	5, 20	sylan9eqr 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
22	21	rexlimdva2 3135	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
23	22	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
24	4, 23	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  -cneg 11345  2c2 12180  ℤcz 12468  ↑cexp 13968   Even ceven 47723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969  df-even 47725

This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  47747