Theorem m1expevenALTV 47661

Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expevenALTV	⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
2	1	rexbidv 3164	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3		dfeven4 47652	. . 3 ⊢ Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6		neg1cn 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8		neg1ne0 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10		2z 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13		expmulz 14126	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
14	7, 9, 11, 12, 13	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15		neg1sqe1 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17		1exp 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
18	16, 17	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
21	5, 20	sylan9eqr 2792	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
22	21	rexlimdva2 3143	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
23	22	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
24	4, 23	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134  -cneg 11467  2c2 12295  ℤcz 12588  ↑cexp 14079   Even ceven 47638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080  df-even 47640

This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  47662