Theorem m1expevenALTV 45364

Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expevenALTV	⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
2	1	rexbidv 3172	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3		dfeven4 45355	. . 3 ⊢ Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3637	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5		oveq2 7325	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6		neg1cn 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8		neg1ne0 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10		2z 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13		expmulz 13909	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
14	7, 9, 11, 12, 13	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15		neg1sqe1 13993	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	oveq1i 7327	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17		1exp 13892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
18	16, 17	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
21	5, 20	sylan9eqr 2799	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
22	21	rexlimdva2 3151	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
23	22	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
24	4, 23	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  (class class class)co 7317  ℂcc 10949  0cc0 10951  1c1 10952   · cmul 10956  -cneg 11286  2c2 12108  ℤcz 12399  ↑cexp 13862   Even ceven 45341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-seq 13802  df-exp 13863  df-even 45343

This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  45365