Theorem m1expevenALTV 47930

Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expevenALTV	⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
2	1	rexbidv 3159	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3		dfeven4 47921	. . 3 ⊢ Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
4	2, 3	elrab2 3648	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6		neg1cn 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8		neg1ne0 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10		2z 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13		expmulz 14033	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
14	7, 9, 11, 12, 13	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15		neg1sqe1 14121	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑2) = 1
16	15	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17		1exp 14016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
18	16, 17	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
21	5, 20	sylan9eqr 2792	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
22	21	rexlimdva2 3138	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
23	22	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
24	4, 23	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  -cneg 11367  2c2 12202  ℤcz 12490  ↑cexp 13986   Even ceven 47907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987  df-even 47909

This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  47931