Theorem opoeALTV 43156

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 43104	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oddz 43104	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 11828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3236	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 43110	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
10	9	rexbidv 3236	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
11		dfodd6 43110	. . . . . 6 ⊢ Odd = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1)}
12	10, 11	elrab2 3593	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
13		zaddcl 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18	17	peano2zd 11896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ((𝑖 + 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
19		oveq2 6978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
20	19	eqeq2d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
21	20	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1)) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
22		oveq12 6979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
23	22	ex 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
24	23	ad3antlr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
25	24	imp 398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
26		zcn 11791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		zcn 11791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
28		2cnd 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
30	29	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
31		mulcl 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
33		1cnd 10426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
34		2cnd 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
35		mulcl 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36, 33	add4d 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)))
38		2cnd 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
39		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ ℂ)
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	adddid 10456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
42	41	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
43		addcl 10409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℂ)
44	38, 43, 33	adddid 10456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)))
45		1p1e2 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
46		2t1e2 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (1 + 1) = (2 · 1))
49	48	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
51	37, 50	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
52	26, 27, 51	syl2an 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
53	52	ex 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
54	53	ad3antlr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
55	54	imp 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
56	55	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
57	25, 56	eqtrd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
58	18, 21, 57	rspcedvd 3536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
59	58	rexlimdva2 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
60	59	expimpd 446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
61	60	rexlimdva2 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
62	61	imp 398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
63	12, 62	syl5bi 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
64	8, 63	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
65	64	imp 398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
66		eqeq1 2776	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
67	66	rexbidv 3236	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
68		dfeven4 43111	. . 3 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛)}
69	67, 68	elrab2 3593	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
70	4, 65, 69	sylanbrc 575	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  2c2 11488  ℤcz 11786   Even ceven 43097   Odd codd 43098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-even 43099  df-odd 43100

This theorem is referenced by:  omoeALTV  43158  epee  43178  odd2prm2  43191  bgoldbtbndlem1  43278