Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoeALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opoeALTV 45949
Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
opoeALTV ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Even )

Proof of Theorem opoeALTV
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘› ๐‘ง ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 45897 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 oddz 45897 . . 3 (๐ต โˆˆ Odd โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3 zaddcl 12550 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5 eqeq1 2741 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
65rexbidv 3176 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
7 dfodd6 45903 . . . . 5 Odd = {๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1)}
86, 7elrab2 3653 . . . 4 (๐ด โˆˆ Odd โ†” (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
9 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†” ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
109rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
11 dfodd6 45903 . . . . . 6 Odd = {๐‘ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1)}
1210, 11elrab2 3653 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Odd โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
13 zaddcl 12550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1413ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1514ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1615imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1817peano2zd 12617 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„ค)
19 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
2019eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆง ๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
22 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
2322ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†’ (๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1))))
2423ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1))))
2524imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
26 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
27 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2928anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚))
3029ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚))
31 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
33 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
34 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3634, 35sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3732, 33, 36, 33add4d 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)))
38 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
39 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
4138, 39, 40adddid 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) = ((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)))
4241oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + (2 ยท 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
43 addcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4438, 43, 33adddid 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
45 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
46 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ยท 1) = 2
4745, 46eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = (2 ยท 1)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + 1) = (2 ยท 1))
4948oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
5042, 44, 493eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5137, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5226, 27, 51syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5352ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
5554imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5725, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5818, 21, 57rspcedvd 3586 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))
5958rexlimdva2 3155 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6059expimpd 455 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6160rexlimdva2 3155 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))))
6261imp 408 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6312, 62biimtrid 241 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
648, 63sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ (๐ต โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6564imp 408 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))
66 eqeq1 2741 . . . 4 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6766rexbidv 3176 . . 3 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘›) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
68 dfeven4 45904 . . 3 Even = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘›)}
6967, 68elrab2 3653 . 2 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ Even โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
704, 65, 69sylanbrc 584 1 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Even )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  2c2 12215  โ„คcz 12506   Even ceven 45890   Odd codd 45891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-even 45892  df-odd 45893
This theorem is referenced by:  omoeALTV  45951  epee  45971  odd2prm2  45984  bgoldbtbndlem1  46071
  Copyright terms: Public domain W3C validator