Theorem opoeALTV 48072

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48020	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oddz 48020	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12545	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 48026	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3651	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
10	9	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
11		dfodd6 48026	. . . . . 6 ⊢ Odd = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1)}
12	10, 11	elrab2 3651	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
13		zaddcl 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18	17	peano2zd 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ((𝑖 + 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
19		oveq2 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
20	19	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1)) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
22		oveq12 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
24	23	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
26		zcn 12507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		zcn 12507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
28		2cnd 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
31		mulcl 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
33		1cnd 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
34		2cnd 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
35		mulcl 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36, 33	add4d 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)))
38		2cnd 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ ℂ)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	adddid 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
42	41	oveq1d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
43		addcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℂ)
44	38, 43, 33	adddid 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)))
45		1p1e2 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
46		2t1e2 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (1 + 1) = (2 · 1))
49	48	oveq2d 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
51	37, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
52	26, 27, 51	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
54	53	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
55	54	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
57	25, 56	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
58	18, 21, 57	rspcedvd 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
59	58	rexlimdva2 3141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
60	59	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
61	60	rexlimdva2 3141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
62	61	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
63	12, 62	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
64	8, 63	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
65	64	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
66		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
67	66	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
68		dfeven4 48027	. . 3 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛)}
69	67, 68	elrab2 3651	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
70	4, 65, 69	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045  2c2 12214  ℤcz 12502   Even ceven 48013   Odd codd 48014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-even 48015  df-odd 48016

This theorem is referenced by:  omoeALTV  48074  epee  48094  odd2prm2  48107  bgoldbtbndlem1  48194