Theorem opoeALTV 45135

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 45083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oddz 45083	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 45089	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
10	9	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
11		dfodd6 45089	. . . . . 6 ⊢ Odd = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1)}
12	10, 11	elrab2 3627	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
13		zaddcl 12360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18	17	peano2zd 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ((𝑖 + 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
19		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
20	19	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1)) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
22		oveq12 7284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
24	23	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
25	24	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
26		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
28		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
30	29	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
31		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
33		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
34		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
35		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36, 33	add4d 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)))
38		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ ℂ)
40		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	adddid 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
42	41	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
43		addcl 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℂ)
44	38, 43, 33	adddid 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)))
45		1p1e2 12098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
46		2t1e2 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (1 + 1) = (2 · 1))
49	48	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
51	37, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
52	26, 27, 51	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
53	52	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
54	53	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
55	54	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
57	25, 56	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
58	18, 21, 57	rspcedvd 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
59	58	rexlimdva2 3216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
60	59	expimpd 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
61	60	rexlimdva2 3216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
62	61	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
63	12, 62	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
64	8, 63	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
65	64	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
66		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
67	66	rexbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
68		dfeven4 45090	. . 3 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛)}
69	67, 68	elrab2 3627	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
70	4, 65, 69	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  ℤcz 12319   Even ceven 45076   Odd codd 45077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-even 45078  df-odd 45079

This theorem is referenced by:  omoeALTV  45137  epee  45157  odd2prm2  45170  bgoldbtbndlem1  45257