Theorem opoeALTV 46430

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opoeALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Proof of Theorem opoeALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 46378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		oddz 46378	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 46384	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
10	9	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
11		dfodd6 46384	. . . . . 6 ⊢ Odd = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = ((2 · 𝑗) + 1)}
12	10, 11	elrab2 3686	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)))
13		zaddcl 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18	17	peano2zd 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ((𝑖 + 𝑗) + 1) ∈ ℤ)
19		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
20	19	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 𝑗) + 1)) → ((𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
22		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
24	23	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1))))
25	24	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)))
26		zcn 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
27		zcn 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
28		2cnd 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
29	28	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
30	29	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ))
31		mulcl 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
33		1cnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
34		2cnd 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
35		mulcl 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	34, 35	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37	32, 33, 36, 33	add4d 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)))
38		2cnd 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑖 ∈ ℂ)
40		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	adddid 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
42	41	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
43		addcl 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℂ)
44	38, 43, 33	adddid 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + (2 · 1)))
45		1p1e2 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
46		2t1e2 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
47	45, 46	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (1 + 1) = (2 · 1))
49	48	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (2 · 1)))
50	42, 44, 49	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + (1 + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
51	37, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
52	26, 27, 51	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
53	52	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
54	53	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1))))
55	54	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (((2 · 𝑖) + 1) + ((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
57	25, 56	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → (𝐴 + 𝐵) = (2 · ((𝑖 + 𝑗) + 1)))
58	18, 21, 57	rspcedvd 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
59	58	rexlimdva2 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
60	59	expimpd 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
61	60	rexlimdva2 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))))
62	61	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = ((2 · 𝑗) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
63	12, 62	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
64	8, 63	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
65	64	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛))
66		eqeq1 2736	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
67	66	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
68		dfeven4 46385	. . 3 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑛)}
69	67, 68	elrab2 3686	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = (2 · 𝑛)))
70	4, 65, 69	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Odd ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12269  ℤcz 12560   Even ceven 46371   Odd codd 46372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-even 46373  df-odd 46374

This theorem is referenced by:  omoeALTV  46432  epee  46452  odd2prm2  46465  bgoldbtbndlem1  46552