Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoeALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opoeALTV 46341
Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
opoeALTV ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Even )

Proof of Theorem opoeALTV
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘› ๐‘ง ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 46289 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 oddz 46289 . . 3 (๐ต โˆˆ Odd โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3 zaddcl 12601 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5 eqeq1 2736 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
65rexbidv 3178 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
7 dfodd6 46295 . . . . 5 Odd = {๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1)}
86, 7elrab2 3686 . . . 4 (๐ด โˆˆ Odd โ†” (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
9 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†” ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
109rexbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
11 dfodd6 46295 . . . . . 6 Odd = {๐‘ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((2 ยท ๐‘—) + 1)}
1210, 11elrab2 3686 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Odd โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
13 zaddcl 12601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1413ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1514ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1615imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1817peano2zd 12668 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โˆˆ โ„ค)
19 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
2019eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โˆง ๐‘› = ((๐‘– + ๐‘—) + 1)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
22 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
2322ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†’ (๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1))))
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1))))
2524imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)))
26 zcn 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
27 zcn 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘— โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2928anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚))
3029ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚))
31 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
33 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
34 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3634, 35sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3732, 33, 36, 33add4d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)))
38 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
4138, 39, 40adddid 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) = ((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)))
4241oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + (2 ยท 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
43 addcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4438, 43, 33adddid 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
45 1p1e2 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
46 2t1e2 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ยท 1) = 2
4745, 46eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = (2 ยท 1)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + 1) = (2 ยท 1))
4948oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (2 ยท 1)))
5042, 44, 493eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + (1 + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5137, 50eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5226, 27, 51syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
5453ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1))))
5554imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + ((2 ยท ๐‘—) + 1)) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5725, 56eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ((๐‘– + ๐‘—) + 1)))
5818, 21, 57rspcedvd 3614 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))
5958rexlimdva2 3157 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6059expimpd 454 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6160rexlimdva2 3157 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))))
6261imp 407 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = ((2 ยท ๐‘—) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6312, 62biimtrid 241 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
648, 63sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ (๐ต โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6564imp 407 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›))
66 eqeq1 2736 . . . 4 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
6766rexbidv 3178 . . 3 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘›) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
68 dfeven4 46296 . . 3 Even = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘›)}
6967, 68elrab2 3686 . 2 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ Even โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = (2 ยท ๐‘›)))
704, 65, 69sylanbrc 583 1 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Odd ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Even )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  2c2 12266  โ„คcz 12557   Even ceven 46282   Odd codd 46283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-even 46284  df-odd 46285
This theorem is referenced by:  omoeALTV  46343  epee  46363  odd2prm2  46376  bgoldbtbndlem1  46463
  Copyright terms: Public domain W3C validator