Theorem evenm1odd 46606

Description: The predecessor of an even number is odd. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evenm1odd	⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ Odd )

Proof of Theorem evenm1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 46597	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → 𝑍 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12610	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ ℤ)
4		iseven 46595	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
5		zcn 12568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℂ)
6		npcan1 11644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → ((𝑍 − 1) + 1) = 𝑍)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 − 1) + 1) = 𝑍)
8	7	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 = ((𝑍 − 1) + 1))
9	8	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 / 2) = (((𝑍 − 1) + 1) / 2))
10	9	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
11	10	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
12	4, 11	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
13		isodd 46596	. 2 ⊢ ((𝑍 − 1) ∈ Odd ↔ ((𝑍 − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
14	3, 12, 13	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   − cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  ℤcz 12563   Even ceven 46591   Odd codd 46592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-even 46593  df-odd 46594

This theorem is referenced by:  epee  46672  perfectALTVlem1  46688