Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evenm1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evenm1odd 43980
Description: The predecessor of an even number is odd. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
evenm1odd (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ Odd )

Proof of Theorem evenm1odd
StepHypRef Expression
1 evenz 43971 . . 3 (𝑍 ∈ Even → 𝑍 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12003 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ ℤ)
4 iseven 43969 . . 3 (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
5 zcn 11964 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℂ)
6 npcan1 11042 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℂ → ((𝑍 − 1) + 1) = 𝑍)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 − 1) + 1) = 𝑍)
87eqcomd 2827 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 = ((𝑍 − 1) + 1))
98oveq1d 7145 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 / 2) = (((𝑍 − 1) + 1) / 2))
109eleq1d 2896 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
1110biimpa 480 . . 3 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
124, 11sylbi 220 . 2 (𝑍 ∈ Even → (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
13 isodd 43970 . 2 ((𝑍 − 1) ∈ Odd ↔ ((𝑍 − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑍 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
143, 12, 13sylanbrc 586 1 (𝑍 ∈ Even → (𝑍 − 1) ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  1c1 10515   + caddc 10517  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  cz 11959   Even ceven 43965   Odd codd 43966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-even 43967  df-odd 43968
This theorem is referenced by:  epee  44046  perfectALTVlem1  44062
  Copyright terms: Public domain W3C validator