Theorem opeoALTV 48614

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeoALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		evenz 48560	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 48567	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
10	9	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
11		dfeven4 48568	. . . . . 6 ⊢ Even = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗)}
12	10, 11	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
13		zaddcl 12680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
19	18	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
20	19	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
22		oveq12 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
24	23	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
25	24	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
26		2cnd 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
29	26, 28	mulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
31		1cnd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
33		zcn 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
34		mulcl 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	30, 31, 35	add32d 11484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1))
37		2cnd 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
38	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
39	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	adddid 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
41	40	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
42	41	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
43	36, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
44	43	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
45	44	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
46	45	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
48	25, 47	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
49	17, 21, 48	rspcedvd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
50	49	rexlimdva2 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
51	50	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
52	51	r19.29an 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
53	12, 52	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
54	8, 53	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
55	54	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
56		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
57	56	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
58		dfodd6 48567	. . 3 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
59	57, 58	elrab2 3649	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Odd ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
60	4, 55, 59	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7415  ℂcc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  2c2 12341  ℤcz 12637   Even ceven 48554   Odd codd 48555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-n0 12551  df-z 12638  df-even 48556  df-odd 48557

This theorem is used by:  omeoALTV  48616  epoo  48633