Theorem opeoALTV 47678

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeoALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		evenz 47624	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12549	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 47631	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3659	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
10	9	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
11		dfeven4 47632	. . . . . 6 ⊢ Even = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗)}
12	10, 11	elrab2 3659	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
13		zaddcl 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
19	18	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
20	19	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
22		oveq12 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
24	23	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
26		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
29	26, 28	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
31		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
33		zcn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
34		mulcl 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	30, 31, 35	add32d 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1))
37		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
38	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
39	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	adddid 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
41	40	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
42	41	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
43	36, 42	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
45	44	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
48	25, 47	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
49	17, 21, 48	rspcedvd 3587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
50	49	rexlimdva2 3136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
51	50	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
52	51	r19.29an 3137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
53	12, 52	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
54	8, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
55	54	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
56		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
57	56	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
58		dfodd6 47631	. . 3 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
59	57, 58	elrab2 3659	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Odd ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
60	4, 55, 59	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  ℤcz 12505   Even ceven 47618   Odd codd 47619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-even 47620  df-odd 47621

This theorem is referenced by:  omeoALTV  47680  epoo  47697