Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opeoALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opeoALTV 46650
Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
opeoALTV ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Even ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘› ๐‘ง ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 46597 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 evenz 46596 . . 3 (๐ต โˆˆ Even โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3 zaddcl 12606 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Even ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5 eqeq1 2734 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
65rexbidv 3176 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
7 dfodd6 46603 . . . . 5 Odd = {๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = ((2 ยท ๐‘–) + 1)}
86, 7elrab2 3685 . . . 4 (๐ด โˆˆ Odd โ†” (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)))
9 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ = (2 ยท ๐‘—) โ†” ๐ต = (2 ยท ๐‘—)))
109rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (2 ยท ๐‘—) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = (2 ยท ๐‘—)))
11 dfeven4 46604 . . . . . 6 Even = {๐‘ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (2 ยท ๐‘—)}
1210, 11elrab2 3685 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Even โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = (2 ยท ๐‘—)))
13 zaddcl 12606 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1413ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1514ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค))
1615imp 405 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
18 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘– + ๐‘—) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท (๐‘– + ๐‘—)))
1918oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘– + ๐‘—) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
2019eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘– + ๐‘—) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1)))
2120adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โˆง ๐‘› = (๐‘– + ๐‘—)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1)))
22 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)))
2322ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1) โ†’ (๐ต = (2 ยท ๐‘—) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—))))
2423ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = (2 ยท ๐‘—) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—))))
2524imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)))
26 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
27 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
2926, 28mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3029ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘–) โˆˆ โ„‚)
31 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
32 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
33 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
34 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3532, 33, 34syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3630, 31, 35add32d 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + 1))
37 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
3933adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
4037, 38, 39adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) = ((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)))
4140eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) = (2 ยท (๐‘– + ๐‘—)))
4241oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + (2 ยท ๐‘—)) + 1) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
4336, 42eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
4443ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1)))
4544ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1)))
4645imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
4746adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ (((2 ยท ๐‘–) + 1) + (2 ยท ๐‘—)) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
4825, 47eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท (๐‘– + ๐‘—)) + 1))
4917, 21, 48rspcedvd 3613 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
5049rexlimdva2 3155 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = (2 ยท ๐‘—) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5150expimpd 452 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5251r19.29an 3156 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐ต = (2 ยท ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5312, 52biimtrid 241 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((2 ยท ๐‘–) + 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ Even โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
548, 53sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ Odd โ†’ (๐ต โˆˆ Even โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5554imp 405 . 2 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Even ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
56 eqeq1 2734 . . . 4 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5756rexbidv 3176 . . 3 (๐‘ง = (๐ด + ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
58 dfodd6 46603 . . 3 Odd = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘›) + 1)}
5957, 58elrab2 3685 . 2 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ Odd โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด + ๐ต) = ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
604, 55, 59sylanbrc 581 1 ((๐ด โˆˆ Odd โˆง ๐ต โˆˆ Even ) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  2c2 12271  โ„คcz 12562   Even ceven 46590   Odd codd 46591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-even 46592  df-odd 46593
This theorem is referenced by:  omeoALTV  46652  epoo  46669
  Copyright terms: Public domain W3C validator