Theorem opeoALTV 47678

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeoALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		evenz 47624	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 47631	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3651	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
10	9	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
11		dfeven4 47632	. . . . . 6 ⊢ Even = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗)}
12	10, 11	elrab2 3651	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
13		zaddcl 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
19	18	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
20	19	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
22		oveq12 7358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
24	23	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
26		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
29	26, 28	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
31		1cnd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
33		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
34		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	30, 31, 35	add32d 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1))
37		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
38	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
39	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	adddid 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
41	40	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
42	41	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
43	36, 42	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
45	44	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
48	25, 47	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
49	17, 21, 48	rspcedvd 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
50	49	rexlimdva2 3132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
51	50	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
52	51	r19.29an 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
53	12, 52	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
54	8, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
55	54	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
56		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
57	56	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
58		dfodd6 47631	. . 3 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
59	57, 58	elrab2 3651	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Odd ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
60	4, 55, 59	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  ℤcz 12471   Even ceven 47618   Odd codd 47619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-even 47620  df-odd 47621

This theorem is referenced by:  omeoALTV  47680  epoo  47697