Theorem opeoALTV 47558

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeoALTV	⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47505	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2		evenz 47504	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12683	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
6	5	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7		dfodd6 47511	. . . . 5 ⊢ Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9		eqeq1 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
10	9	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
11		dfeven4 47512	. . . . . 6 ⊢ Even = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗)}
12	10, 11	elrab2 3711	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Even ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
13		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
15	14	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
19	18	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
20	19	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
22		oveq12 7457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
24	23	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
26		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
29	26, 28	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
31		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
33		zcn 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
34		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
36	30, 31, 35	add32d 11517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1))
37		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
38	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
39	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	adddid 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
41	40	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
42	41	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
43	36, 42	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
45	44	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
48	25, 47	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
49	17, 21, 48	rspcedvd 3637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
50	49	rexlimdva2 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
51	50	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
52	51	r19.29an 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
53	12, 52	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
54	8, 53	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
55	54	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
56		eqeq1 2744	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
57	56	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
58		dfodd6 47511	. . 3 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
59	57, 58	elrab2 3711	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ Odd ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
60	4, 55, 59	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  ℤcz 12639   Even ceven 47498   Odd codd 47499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-even 47500  df-odd 47501

This theorem is referenced by:  omeoALTV  47560  epoo  47577