Theorem rimcnv 20697

Description: The converse of a ring isomorphism is a ring isomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by SN, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimcnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅))

Proof of Theorem rimcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	rhmf 20695	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4		frel 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6180	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	3, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9	7, 8	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	9	anim1ci 628	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
11		isrim0 20693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12		isrim0 20693	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
13	10, 11, 12	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5650  Rel wrel 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   RingHom crh 20679   RingIso crs 20680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mhm 18958  df-ghm 19408  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-rhm 20682  df-rim 20683

This theorem is used by:  ricsym  20731