Theorem rimcnv 42808

Description: The converse of a ring isomorphism is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimcnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅))

Proof of Theorem rimcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
4		frel 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6148	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9	7, 8	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	9	anim1ci 617	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
11		isrim0 20422	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12		isrim0 20422	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
13	10, 11, 12	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5624  Rel wrel 5630  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   RingHom crh 20409   RingIso crs 20410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mhm 18712  df-ghm 19146  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rhm 20412  df-rim 20413

This theorem is referenced by:  ricsym  42810