Theorem divscan3d 28286

Description: A cancellation law for surreal division. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divscan3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divscan3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divscan3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divscan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐴) /su 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divscan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐵 ·s 𝐴) = (𝐵 ·s 𝐴)
2		divscan3d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		divscan3d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	2, 3	mulscld 28187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐴) ∈ No )
5		divscan3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6	4, 3, 2, 5	divsmuld 28272	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ·s 𝐴) /su 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐴) = (𝐵 ·s 𝐴)))
7	1, 6	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐴) /su 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7438   No csur 27710   0_s c0s 27893   ·_s cmuls 28158   /_su cdivs 28239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-dc 10493

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-ot 4643  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-nadd 8712  df-no 27713  df-slt 27714  df-bday 27715  df-sle 27816  df-sslt 27852  df-scut 27854  df-0s 27895  df-1s 27896  df-made 27912  df-old 27913  df-left 27915  df-right 27916  df-norec 27997  df-norec2 28008  df-adds 28019  df-negs 28079  df-subs 28080  df-muls 28159  df-divs 28240

This theorem is referenced by:  addhalfcut  28445  zs12bday  28450