Theorem zs12bday 28400

Description: A dyadic fraction has a finite birthday. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zs12bday	⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem zs12bday

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzs12 28394	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
2		fvoveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) = ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
3	2	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
4		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 0s → (2s↑s𝑚) = (2s↑s 0s ))
5		2sno 28362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ No
6		exps0 28370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 0s ) = 1s )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2s↑s 0s ) = 1s
8	4, 7	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0s → (2s↑s𝑚) = 1s )
9	8	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su 1s ))
10	9	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0s → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su 1s )))
11	10	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0s → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω))
12	11	ralbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0s → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω))
13		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (2s↑s𝑚) = (2s↑s𝑛))
14	13	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s𝑛)))
15	14	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))))
16	15	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
17	16	ralbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
18		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (2s↑s𝑚) = (2s↑s(𝑛 +s 1s )))
19	18	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
20	19	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
21	20	eleq1d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
22	21	ralbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
23		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
24	23	eleq1d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
25	24	cbvralvw 3224	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
26	22, 25	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
27		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (2s↑s𝑚) = (2s↑s𝑦))
28	27	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
29	28	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
30	29	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
31	30	ralbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
32		zno 28327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → 𝑧 ∈ No )
33		divs1 28164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ No → (𝑧 /su 1s ) = 𝑧)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → (𝑧 /su 1s ) = 𝑧)
35	34	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) = ( bday ‘𝑧))
36		zsbday 28351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘𝑧) ∈ ω)
37	35, 36	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω)
38	37	rgen 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω
39		zseo 28365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤs → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) ∨ ∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s )))
40		expsp1 28372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
41	5, 40	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
43	42	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((2s ·s 𝑡) /su ((2s↑s𝑛) ·s 2s)))
44	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ No )
45		zno 28327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ ℤs → 𝑡 ∈ No )
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ No )
47	44, 46	mulscld 28095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ No )
48		expscl 28374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
49	5, 48	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s𝑛) ∈ No )
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
51		2ne0s 28363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2s ≠ 0s
52		expsne0 28378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
53	5, 51, 52	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
55	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ≠ 0s )
56	47, 50, 44, 54, 55	divdivs1d 28192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) /su 2s) = ((2s ·s 𝑡) /su ((2s↑s𝑛) ·s 2s)))
57	44, 46, 50, 54	divsassd 28190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) = (2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
58	57	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) /su 2s) = ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s))
59	43, 56, 58	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s))
60	46, 50, 54	divscld 28183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
61	60, 44, 55	divscan3d 28195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s) = (𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
62	59, 61	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = (𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
63	62	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
64	63	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
65		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
66	65	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
67	66	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
68	67	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
69	64, 68	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
70		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
71	70	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → (( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
72	69, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
73	72	rexlimdva 3142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
74	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ No )
75		no2times 28360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ No → (2s ·s 𝑡) = (𝑡 +s 𝑡))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) = (𝑡 +s 𝑡))
77	76	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ((𝑡 +s 𝑡) +s 1s ))
78		1sno 27796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1s ∈ No
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 1s ∈ No )
80	74, 74, 79	addsassd 27970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((𝑡 +s 𝑡) +s 1s ) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
81	77, 80	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
82	81	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((𝑡 +s (𝑡 +s 1s )) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
83	74, 79	addscld 27944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 +s 1s ) ∈ No )
84		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
85	74	sltp1d 27979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 <s (𝑡 +s 1s ))
86		2nns 28361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2s ∈ ℕs
87		nnzs 28331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
88	86, 87	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ ℤs)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ ℤs)
90	88, 89	zmulscld 28342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ ℤs)
91	90	znod 28328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ No )
92		pncans 28033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2s ·s 𝑡) ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ) = (2s ·s 𝑡))
93	91, 78, 92	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ) = (2s ·s 𝑡))
94	93	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) = (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ))
95	94	sneqd 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(2s ·s 𝑡)} = {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )})
96		mulsrid 28073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2s ∈ No → (2s ·s 1s ) = 2s)
97	5, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2s ·s 1s ) = 2s
98		1p1e2s 28359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
99	97, 98	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2s ·s 1s ) = ( 1s +s 1s )
100	99	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2s ·s 𝑡) +s (2s ·s 1s )) = ((2s ·s 𝑡) +s ( 1s +s 1s ))
101	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ No )
102	101, 74, 79	addsdid 28116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s (𝑡 +s 1s )) = ((2s ·s 𝑡) +s (2s ·s 1s )))
103	91, 79, 79	addsassd 27970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s ) = ((2s ·s 𝑡) +s ( 1s +s 1s )))
104	100, 102, 103	3eqtr4a 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s (𝑡 +s 1s )) = (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s ))
105	104	sneqd 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))} = {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )})
106	95, 105	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(2s ·s 𝑡)} |s {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))}) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
107		1zs 28336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1s ∈ ℤs
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 1s ∈ ℤs)
109	90, 108	zaddscld 28340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) ∈ ℤs)
110		zscut 28352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) ∈ ℤs → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
112	106, 111, 81	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(2s ·s 𝑡)} |s {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))}) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
113	74, 83, 84, 85, 112	pw2cut 28392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) = ((𝑡 +s (𝑡 +s 1s )) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
114	82, 113	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
115	114	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
116	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
117	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
118	74, 116, 117	divscld 28183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
119	83, 116, 117	divscld 28183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
120	74, 116, 117	divscan2d 28184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) = 𝑡)
121	120, 85	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) <s (𝑡 +s 1s ))
122		nnsgt0 28288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
123	86, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0s <s 2s
124		expsgt0 28379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑛))
125	5, 123, 124	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑛))
126	125	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 0s <s (2s↑s𝑛))
127	118, 83, 116, 126	sltmuldiv2d 28189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) <s (𝑡 +s 1s ) ↔ (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) <s ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
128	121, 127	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) <s ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))
129	118, 119, 128	ssltsn 27761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} <<s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})
130		imaundi 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
131	130	unieqi 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = ∪ (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
132		uniun 4911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∪ (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
133	131, 132	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
134		bdayfn 27742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ bday Fn No
135		fnsnfv 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( bday Fn No ∧ (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No ) → {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
136	134, 118, 135	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
137	136	unieqd 4901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
138		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ V
139	138	unisn 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
140	137, 139	eqtr3di 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
141	140, 68	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω)
142		fnsnfv 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( bday Fn No ∧ ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)) ∈ No ) → {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
143	134, 119, 142	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
144	143	unieqd 4901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
145		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ V
146	145	unisn 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))
147	144, 146	eqtr3di 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
148		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑡 +s 1s ) → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
149	148	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑡 +s 1s ) → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ↔ ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
150		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
151	89, 108	zaddscld 28340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 +s 1s ) ∈ ℤs)
152	149, 150, 151	rspcdva 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
153	147, 152	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω)
154		omun 7888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω ∧ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω) → (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
155	141, 153, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
156	133, 155	eqeltrid 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
157		peano2 7891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
159		nnon 7872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On)
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On)
161		imassrn 6063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ ran bday
162		bdayrn 27744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ran bday = On
163	161, 162	sseqtri 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ On
164		onsucuni 7827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ On → ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
165	163, 164	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
166		scutbdaybnd 27784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} <<s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))} ∧ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On ∧ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
167	129, 160, 165, 166	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
168		bdayelon 27745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On
169		onsssuc 6449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On ∧ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On) → (( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ↔ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))))
170	168, 160, 169	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ↔ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))))
171	167, 170	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
172	115, 171	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
173		peano2 7891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
174	158, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
175		elnn 7877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∧ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
176	172, 174, 175	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
177		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
178	177	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → (( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
179	176, 178	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
180	179	rexlimdva 3142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
181	73, 180	jaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → ((∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) ∨ ∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s )) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
182	39, 181	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (𝑤 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
183	182	ralrimiv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
184	183	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω → ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
185	12, 17, 26, 31, 38, 184	n0sind 28282	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
186	185	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
187		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → 𝑥 ∈ ℤs)
188	3, 186, 187	rspcdva 3607	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
189		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) = ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
190	189	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (( bday ‘𝐴) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
191	188, 190	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω))
192	191	rexlimivv 3187	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
193	1, 192	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  ran crn 5660   “ cima 5662  Oncon0 6357  suc csuc 6359   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7866   No csur 27608   <s cslt 27609   bday cbday 27610   <<s csslt 27749   |s cscut 27751   0_s c0s 27791   1_s c1s 27792   +_s cadds 27923   -_s csubs 27983   ·_s cmuls 28066   /_su cdivs 28147  ℕ_0scnn0s 28263  ℕ_scnns 28264  ℤ_sczs 28323  2_sc2s 28353  ↑_scexps 28355  ℤ_s[1/2]czs12 28357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-dc 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-nadd 8683  df-no 27611  df-slt 27612  df-bday 27613  df-sle 27714  df-sslt 27750  df-scut 27752  df-0s 27793  df-1s 27794  df-made 27812  df-old 27813  df-left 27815  df-right 27816  df-norec 27902  df-norec2 27913  df-adds 27924  df-negs 27984  df-subs 27985  df-muls 28067  df-divs 28148  df-seqs 28235  df-n0s 28265  df-nns 28266  df-zs 28324  df-2s 28354  df-exps 28356  df-zs12 28358

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