Theorem zs12bday 28379

Description: A dyadic fraction has a finite birthday. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zs12bday	⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem zs12bday

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzs12 28368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
2		fvoveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) = ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
3	2	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
4		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 0s → (2s↑s𝑚) = (2s↑s 0s ))
5		2sno 28329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ No
6		exps0 28337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 0s ) = 1s )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2s↑s 0s ) = 1s
8	4, 7	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0s → (2s↑s𝑚) = 1s )
9	8	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su 1s ))
10	9	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 0s → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su 1s )))
11	10	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0s → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω))
12	11	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0s → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω))
13		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (2s↑s𝑚) = (2s↑s𝑛))
14	13	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s𝑛)))
15	14	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))))
16	15	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
17	16	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
18		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (2s↑s𝑚) = (2s↑s(𝑛 +s 1s )))
19	18	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
20	19	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
21	20	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
22	21	ralbidv 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
23		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
24	23	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
25	24	cbvralvw 3207	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
26	22, 25	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
27		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (2s↑s𝑚) = (2s↑s𝑦))
28	27	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑧 /su (2s↑s𝑚)) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
29	28	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) = ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
30	29	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
31	30	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ω ↔ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
32		zno 28293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → 𝑧 ∈ No )
33		divs1 28130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ No → (𝑧 /su 1s ) = 𝑧)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → (𝑧 /su 1s ) = 𝑧)
35	34	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) = ( bday ‘𝑧))
36		zsbday 28317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘𝑧) ∈ ω)
37	35, 36	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω)
38	37	rgen 3046	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su 1s )) ∈ ω
39		zseo 28332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤs → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) ∨ ∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s )))
40		expsp1 28339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
41	5, 40	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s(𝑛 +s 1s )) = ((2s↑s𝑛) ·s 2s))
43	42	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((2s ·s 𝑡) /su ((2s↑s𝑛) ·s 2s)))
44	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ No )
45		zno 28293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ ℤs → 𝑡 ∈ No )
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ No )
47	44, 46	mulscld 28061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ No )
48		expscl 28341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
49	5, 48	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s𝑛) ∈ No )
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
51		2ne0s 28330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2s ≠ 0s
52		expsne0 28346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
53	5, 51, 52	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
55	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ≠ 0s )
56	47, 50, 44, 54, 55	divdivs1d 28158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) /su 2s) = ((2s ·s 𝑡) /su ((2s↑s𝑛) ·s 2s)))
57	44, 46, 50, 54	divsassd 28156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) = (2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
58	57	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s𝑛)) /su 2s) = ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s))
59	43, 56, 58	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s))
60	46, 50, 54	divscld 28149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
61	60, 44, 55	divscan3d 28161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) /su 2s) = (𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
62	59, 61	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = (𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
63	62	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
64	63	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
65		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
66	65	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
67	66	rspccva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
68	67	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
69	64, 68	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
70		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
71	70	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → (( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘((2s ·s 𝑡) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
72	69, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
73	72	rexlimdva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
74	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ No )
75		no2times 28327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ No → (2s ·s 𝑡) = (𝑡 +s 𝑡))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) = (𝑡 +s 𝑡))
77	76	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ((𝑡 +s 𝑡) +s 1s ))
78		1sno 27759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1s ∈ No
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 1s ∈ No )
80	74, 74, 79	addsassd 27936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((𝑡 +s 𝑡) +s 1s ) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
81	77, 80	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
82	81	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ((𝑡 +s (𝑡 +s 1s )) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
83	74, 79	addscld 27910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 +s 1s ) ∈ No )
84		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
85	74	sltp1d 27945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 <s (𝑡 +s 1s ))
86		2nns 28328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2s ∈ ℕs
87		nnzs 28297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
88	86, 87	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ ℤs)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 𝑡 ∈ ℤs)
90	88, 89	zmulscld 28308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ ℤs)
91	90	znod 28294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) ∈ No )
92		pncans 27999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2s ·s 𝑡) ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ) = (2s ·s 𝑡))
93	91, 78, 92	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ) = (2s ·s 𝑡))
94	93	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s 𝑡) = (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s ))
95	94	sneqd 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(2s ·s 𝑡)} = {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )})
96		mulsrid 28039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2s ∈ No → (2s ·s 1s ) = 2s)
97	5, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2s ·s 1s ) = 2s
98		1p1e2s 28326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
99	97, 98	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2s ·s 1s ) = ( 1s +s 1s )
100	99	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2s ·s 𝑡) +s (2s ·s 1s )) = ((2s ·s 𝑡) +s ( 1s +s 1s ))
101	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 2s ∈ No )
102	101, 74, 79	addsdid 28082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s (𝑡 +s 1s )) = ((2s ·s 𝑡) +s (2s ·s 1s )))
103	91, 79, 79	addsassd 27936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s ) = ((2s ·s 𝑡) +s ( 1s +s 1s )))
104	100, 102, 103	3eqtr4a 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s ·s (𝑡 +s 1s )) = (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s ))
105	104	sneqd 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))} = {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )})
106	95, 105	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(2s ·s 𝑡)} |s {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))}) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
107		1zs 28302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1s ∈ ℤs
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 1s ∈ ℤs)
109	90, 108	zaddscld 28306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) ∈ ℤs)
110		zscut 28318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) ∈ ℤs → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) = ({(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) -s 1s )} |s {(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) +s 1s )}))
112	106, 111, 81	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(2s ·s 𝑡)} |s {(2s ·s (𝑡 +s 1s ))}) = (𝑡 +s (𝑡 +s 1s )))
113	74, 83, 84, 85, 112	pw2cut 28366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) = ((𝑡 +s (𝑡 +s 1s )) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))))
114	82, 113	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s ))) = ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
115	114	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
116	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
117	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (2s↑s𝑛) ≠ 0s )
118	74, 116, 117	divscld 28149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
119	83, 116, 117	divscld 28149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)) ∈ No )
120	74, 116, 117	divscan2d 28150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) = 𝑡)
121	120, 85	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) <s (𝑡 +s 1s ))
122		nnsgt0 28254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
123	86, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0s <s 2s
124		expsgt0 28347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑛))
125	5, 123, 124	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑛))
126	125	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → 0s <s (2s↑s𝑛))
127	118, 83, 116, 126	sltmuldiv2d 28155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (((2s↑s𝑛) ·s (𝑡 /su (2s↑s𝑛))) <s (𝑡 +s 1s ) ↔ (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) <s ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
128	121, 127	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) <s ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))
129	118, 119, 128	ssltsn 27721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} <<s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})
130		imaundi 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
131	130	unieqi 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = ∪ (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
132		uniun 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∪ (( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
133	131, 132	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) = (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
134		bdayfn 27701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ bday Fn No
135		fnsnfv 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( bday Fn No ∧ (𝑡 /su (2s↑s𝑛)) ∈ No ) → {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
136	134, 118, 135	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
137	136	unieqd 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}))
138		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))) ∈ V
139	138	unisn 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ {( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛)))
140	137, 139	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) = ( bday ‘(𝑡 /su (2s↑s𝑛))))
141	140, 68	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω)
142		fnsnfv 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( bday Fn No ∧ ((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)) ∈ No ) → {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
143	134, 119, 142	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
144	143	unieqd 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))
145		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ V
146	145	unisn 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∪ {( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))} = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛)))
147	144, 146	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
148		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑡 +s 1s ) → ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) = ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))))
149	148	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑡 +s 1s ) → (( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω ↔ ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω))
150		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
151	89, 108	zaddscld 28306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑡 +s 1s ) ∈ ℤs)
152	149, 150, 151	rspcdva 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω)
153	147, 152	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω)
154		omun 7828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω ∧ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}) ∈ ω) → (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
155	141, 153, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (∪ ( bday “ {(𝑡 /su (2s↑s𝑛))}) ∪ ∪ ( bday “ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
156	133, 155	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
157		peano2 7830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
159		nnon 7812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On)
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On)
161		imassrn 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ ran bday
162		bdayrn 27703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ran bday = On
163	161, 162	sseqtri 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ On
164		onsucuni 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ On → ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
165	163, 164	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
166		scutbdaybnd 27744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} <<s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))} ∧ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On ∧ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
167	129, 160, 165, 166	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
168		bdayelon 27704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On
169		onsssuc 6403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On ∧ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ On) → (( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ↔ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))))
170	168, 160, 169	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ⊆ suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ↔ ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))}))))
171	167, 170	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} |s {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
172	115, 171	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})))
173		peano2 7830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω → suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
174	158, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω)
175		elnn 7817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∧ suc suc ∪ ( bday “ ({(𝑡 /su (2s↑s𝑛))} ∪ {((𝑡 +s 1s ) /su (2s↑s𝑛))})) ∈ ω) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
176	172, 174, 175	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
177		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) = ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))))
178	177	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → (( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω ↔ ( bday ‘(((2s ·s 𝑡) +s 1s ) /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
179	176, 178	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) ∧ 𝑡 ∈ ℤs) → (𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
180	179	rexlimdva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s ) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
181	73, 180	jaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → ((∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = (2s ·s 𝑡) ∨ ∃𝑡 ∈ ℤs 𝑤 = ((2s ·s 𝑡) +s 1s )) → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
182	39, 181	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → (𝑤 ∈ ℤs → ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
183	182	ralrimiv 3120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω) → ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω)
184	183	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑛))) ∈ ω → ∀𝑤 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑤 /su (2s↑s(𝑛 +s 1s )))) ∈ ω))
185	12, 17, 26, 31, 38, 184	n0sind 28248	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
186	185	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → ∀𝑧 ∈ ℤs ( bday ‘(𝑧 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
187		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → 𝑥 ∈ ℤs)
188	3, 186, 187	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω)
189		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) = ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
190	189	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (( bday ‘𝐴) ∈ ω ↔ ( bday ‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) ∈ ω))
191	188, 190	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤs ∧ 𝑦 ∈ ℕ0s) → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω))
192	191	rexlimivv 3171	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)
193	1, 192	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( bday ‘𝐴) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095  ran crn 5624   “ cima 5626  Oncon0 6311  suc csuc 6313   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ωcom 7806   No csur 27567   <s cslt 27568   bday cbday 27569   <<s csslt 27709   |s cscut 27711   0_s c0s 27754   1_s c1s 27755   +_s cadds 27889   -_s csubs 27949   ·_s cmuls 28032   /_su cdivs 28113  ℕ_0scnn0s 28229  ℕ_scnns 28230  ℤ_sczs 28289  2_sc2s 28320  ↑_scexps 28322  ℤ_s[1/2]czs12 28324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-dc 10359

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27673  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-1s 27757  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27950  df-subs 27951  df-muls 28033  df-divs 28114  df-seqs 28201  df-n0s 28231  df-nns 28232  df-zs 28290  df-2s 28321  df-exps 28323  df-zs12 28325

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