Theorem divs1 28572

Description: A surreal divided by one is itself. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divs1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem divs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulslid 28510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
2		1no 28178	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		1ne0s 28188	. . . . 5 ⊢ 1s ≠ 0s
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )
5		mulslid 28510	. . . . . . 7 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s ·s 1s ) = 1s )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( 1s ·s 1s ) = 1s
7		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1s → ( 1s ·s 𝑥) = ( 1s ·s 1s ))
8	7	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1s → (( 1s ·s 𝑥) = 1s ↔ ( 1s ·s 1s ) = 1s ))
9	8	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (( 1s ∈ No ∧ ( 1s ·s 1s ) = 1s ) → ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s )
10	2, 6, 9	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s
11		divmulsw 28561	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
12	10, 11	mpan2 704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
13	4, 12	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
14	13	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
15	1, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  (class class class)co 7412   No csur 27979   0_s c0s 28173   1_s c1s 28174   ·_s cmuls 28474   /_su cdivs 28555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8460  df-2o 8461  df-nadd 8659  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-les 28084  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-1s 28176  df-made 28195  df-old 28196  df-left 28198  df-right 28199  df-norec 28306  df-norec2 28317  df-adds 28328  df-negs 28389  df-subs 28390  df-muls 28475  df-divs 28556

This theorem is used by:  divs1d  28573  bdaypw2n0bnd  28832  bdayfinbndlem1  28835  1reno  28865  remulscllem1  28868