Theorem divs1 28015

Description: A surreal divided by one is itself. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divs1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem divs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulslid 27954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
2		1sno 27672	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		0slt1s 27674	. . . . . 6 ⊢ 0s <s 1s
4		sgt0ne0 27679	. . . . . 6 ⊢ ( 0s <s 1s → 1s ≠ 0s )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1s ≠ 0s
6	2, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )
7		mulslid 27954	. . . . . . 7 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s ·s 1s ) = 1s )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( 1s ·s 1s ) = 1s
9		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1s → ( 1s ·s 𝑥) = ( 1s ·s 1s ))
10	9	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1s → (( 1s ·s 𝑥) = 1s ↔ ( 1s ·s 1s ) = 1s ))
11	10	rspcev 3612	. . . . . 6 ⊢ (( 1s ∈ No ∧ ( 1s ·s 1s ) = 1s ) → ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s )
12	2, 8, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s
13		divsmulw 28004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
14	12, 13	mpan2 688	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
15	6, 14	mp3an3 1449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
16	15	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
17	1, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   No csur 27485   <s cslt 27486   0_s c0s 27667   1_s c1s 27668   ·_s cmuls 27918   /_su cdivs 27999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-nadd 8671  df-no 27488  df-slt 27489  df-bday 27490  df-sle 27590  df-sslt 27626  df-scut 27628  df-0s 27669  df-1s 27670  df-made 27686  df-old 27687  df-left 27689  df-right 27690  df-norec 27767  df-norec2 27778  df-adds 27789  df-negs 27846  df-subs 27847  df-muls 27919  df-divs 28000

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28107