Theorem divs1 28007

Description: A surreal divided by one is itself. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divs1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem divs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulslid 27946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
2		1sno 27664	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		0slt1s 27666	. . . . . 6 ⊢ 0s <s 1s
4		sgt0ne0 27671	. . . . . 6 ⊢ ( 0s <s 1s → 1s ≠ 0s )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1s ≠ 0s
6	2, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )
7		mulslid 27946	. . . . . . 7 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s ·s 1s ) = 1s )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( 1s ·s 1s ) = 1s
9		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1s → ( 1s ·s 𝑥) = ( 1s ·s 1s ))
10	9	eqeq1d 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1s → (( 1s ·s 𝑥) = 1s ↔ ( 1s ·s 1s ) = 1s ))
11	10	rspcev 3604	. . . . . 6 ⊢ (( 1s ∈ No ∧ ( 1s ·s 1s ) = 1s ) → ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s )
12	2, 8, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s
13		divsmulw 27996	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
14	12, 13	mpan2 688	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
15	6, 14	mp3an3 1446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
16	15	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
17	1, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   No csur 27477   <s cslt 27478   0_s c0s 27659   1_s c1s 27660   ·_s cmuls 27910   /_su cdivs 27991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27480  df-slt 27481  df-bday 27482  df-sle 27582  df-sslt 27618  df-scut 27620  df-0s 27661  df-1s 27662  df-made 27678  df-old 27679  df-left 27681  df-right 27682  df-norec 27759  df-norec2 27770  df-adds 27781  df-negs 27838  df-subs 27839  df-muls 27911  df-divs 27992

This theorem is referenced by:  remulscllem1  28099