Theorem divs1 28208

Description: A surreal divided by one is itself. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divs1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem divs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulslid 28146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
2		1no 27814	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		1ne0s 27824	. . . . 5 ⊢ 1s ≠ 0s
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )
5		mulslid 28146	. . . . . . 7 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s ·s 1s ) = 1s )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( 1s ·s 1s ) = 1s
7		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1s → ( 1s ·s 𝑥) = ( 1s ·s 1s ))
8	7	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1s → (( 1s ·s 𝑥) = 1s ↔ ( 1s ·s 1s ) = 1s ))
9	8	rspcev 3565	. . . . . 6 ⊢ (( 1s ∈ No ∧ ( 1s ·s 1s ) = 1s ) → ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s )
10	2, 6, 9	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s
11		divmulsw 28197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
12	10, 11	mpan2 692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
13	4, 12	mp3an3 1453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
14	13	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
15	1, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7358   No csur 27615   0_s c0s 27809   1_s c1s 27810   ·_s cmuls 28110   /_su cdivs 28191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27618  df-lts 27619  df-bday 27620  df-les 27721  df-slts 27762  df-cuts 27764  df-0s 27811  df-1s 27812  df-made 27831  df-old 27832  df-left 27834  df-right 27835  df-norec 27942  df-norec2 27953  df-adds 27964  df-negs 28025  df-subs 28026  df-muls 28111  df-divs 28192

This theorem is referenced by:  divs1d  28209  bdaypw2n0bnd  28468  bdayfinbndlem1  28471  1reno  28501  remulscllem1  28504