Theorem divs1 28434

Description: A surreal divided by one is itself. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divs1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem divs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulslid 28372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
2		1no 28040	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		1ne0s 28050	. . . . 5 ⊢ 1s ≠ 0s
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )
5		mulslid 28372	. . . . . . 7 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s ·s 1s ) = 1s )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( 1s ·s 1s ) = 1s
7		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1s → ( 1s ·s 𝑥) = ( 1s ·s 1s ))
8	7	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1s → (( 1s ·s 𝑥) = 1s ↔ ( 1s ·s 1s ) = 1s ))
9	8	rspcev 3584	. . . . . 6 ⊢ (( 1s ∈ No ∧ ( 1s ·s 1s ) = 1s ) → ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s )
10	2, 6, 9	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s
11		divmulsw 28423	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) ∧ ∃𝑥 ∈ No ( 1s ·s 𝑥) = 1s ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
12	10, 11	mpan2 704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ ( 1s ∈ No ∧ 1s ≠ 0s )) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
13	4, 12	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
14	13	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 /su 1s ) = 𝐴 ↔ ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴))
15	1, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  (class class class)co 7423   No csur 27841   0_s c0s 28035   1_s c1s 28036   ·_s cmuls 28336   /_su cdivs 28417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8661  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-les 27946  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-0s 28037  df-1s 28038  df-made 28057  df-old 28058  df-left 28060  df-right 28061  df-norec 28168  df-norec2 28179  df-adds 28190  df-negs 28251  df-subs 28252  df-muls 28337  df-divs 28418

This theorem is used by:  divs1d  28435  bdaypw2n0bnd  28694  bdayfinbndlem1  28697  1reno  28727  remulscllem1  28730