Theorem djaclN 39077

Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djacl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djacl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
djacl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djacl.j	⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djaclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem djaclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djacl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		djacl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		djacl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5		djacl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	djavalN 39076	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))))
7		inss1 4159	. . . 4 ⊢ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋)
8	1, 2, 3, 4	docaclN 39065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
9	8	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 3	diaelrnN 38986	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11	9, 10	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
12	7, 11	sstrid 3928	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇)
13	1, 2, 3, 4	docaclN 39065	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrd 2839	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  DIsoAcdia 38969  ocAcocaN 39060  vAcdjaN 39072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-disoa 38970  df-docaN 39061  df-djaN 39073

This theorem is referenced by: (None)