Theorem djaclN 41475

Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djacl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djacl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
djacl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djacl.j	⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djaclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem djaclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djacl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		djacl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		djacl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5		djacl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	djavalN 41474	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))))
7		inss1 4190	. . . 4 ⊢ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋)
8	1, 2, 3, 4	docaclN 41463	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
9	8	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 3	diaelrnN 41384	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11	9, 10	syldan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
12	7, 11	sstrid 3946	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇)
13	1, 2, 3, 4	docaclN 41463	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 592	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrd 2837	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  HLchlt 39689  LHypclh 40323  LTrncltrn 40440  DIsoAcdia 41367  ocAcocaN 41458  vAcdjaN 41470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-riotaBAD 39292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-undef 8218  df-map 8770  df-proset 18222  df-poset 18241  df-plt 18256  df-lub 18272  df-glb 18273  df-join 18274  df-meet 18275  df-p0 18351  df-p1 18352  df-lat 18360  df-clat 18427  df-oposet 39515  df-ol 39517  df-oml 39518  df-covers 39605  df-ats 39606  df-atl 39637  df-cvlat 39661  df-hlat 39690  df-llines 39837  df-lplanes 39838  df-lvols 39839  df-lines 39840  df-psubsp 39842  df-pmap 39843  df-padd 40135  df-lhyp 40327  df-laut 40328  df-ldil 40443  df-ltrn 40444  df-trl 40498  df-disoa 41368  df-docaN 41459  df-djaN 41471

This theorem is referenced by: (None)