Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djaclN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem djaclN 39996
Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djacl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djacl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djacl.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djacl.j 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djaclN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Proof of Theorem djaclN
StepHypRef Expression
1 djacl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 djacl.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 djacl.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . 3 ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 djacl.j . . 3 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5djavalN 39995 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))))
7 inss1 4228 . . . 4 ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹)
81, 2, 3, 4docaclN 39984 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑇) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
98adantrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
101, 2, 3diaelrnN 39905 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
119, 10syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
127, 11sstrid 3993 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑇)
131, 2, 3, 4docaclN 39984 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑇) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
1412, 13syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
156, 14eqeltrd 2834 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  DIsoAcdia 39888  ocAcocaN 39979  vAcdjaN 39991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-riotaBAD 37812
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-undef 8255  df-map 8819  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-disoa 39889  df-docaN 39980  df-djaN 39992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator