Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djaclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djaclN 38425
Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djacl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djacl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
djacl.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djacl.j 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djaclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem djaclN
StepHypRef Expression
1 djacl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 djacl.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 djacl.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2801 . . 3 ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5 djacl.j . . 3 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5djavalN 38424 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))))
7 inss1 4158 . . . 4 ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋)
81, 2, 3, 4docaclN 38413 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
98adantrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
101, 2, 3diaelrnN 38334 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
119, 10syldan 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
127, 11sstrid 3929 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇)
131, 2, 3, 4docaclN 38413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
1412, 13syldan 594 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
156, 14eqeltrd 2893 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cin 3883  wss 3884  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  DIsoAcdia 38317  ocAcocaN 38408  vAcdjaN 38420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-disoa 38318  df-docaN 38409  df-djaN 38421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator