Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djaclN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem djaclN 40471
Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djacl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djacl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djacl.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djacl.j 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djaclN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Proof of Theorem djaclN
StepHypRef Expression
1 djacl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 djacl.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 djacl.i . . 3 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2731 . . 3 ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 djacl.j . . 3 𝐽 = ((vAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5djavalN 40470 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))))
7 inss1 4228 . . . 4 ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹)
81, 2, 3, 4docaclN 40459 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑇) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
98adantrr 714 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
101, 2, 3diaelrnN 40380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
119, 10syldan 590 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑇)
127, 11sstrid 3993 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑇)
131, 2, 3, 4docaclN 40459 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑇) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
1412, 13syldan 590 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
156, 14eqeltrd 2832 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑇 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑇)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  HLchlt 38684  LHypclh 39319  LTrncltrn 39436  DIsoAcdia 40363  ocAcocaN 40454  vAcdjaN 40466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38287
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-llines 38833  df-lplanes 38834  df-lvols 38835  df-lines 38836  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494  df-disoa 40364  df-docaN 40455  df-djaN 40467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator