Theorem djaclN 41860

Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djacl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djacl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
djacl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djacl.j	⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djaclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem djaclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djacl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		djacl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		djacl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2770	. . 3 ⊢ ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5		djacl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	djavalN 41859	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))))
7		inss1 4197	. . . 4 ⊢ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋)
8	1, 2, 3, 4	docaclN 41848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
9	8	adantrr 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 3	diaelrnN 41769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
11	9, 10	syldan 602	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
12	7, 11	sstrid 3956	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇)
13	1, 2, 3, 4	docaclN 41848	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
15	6, 14	eqeltrd 2870	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  HLchlt 40074  LHypclh 40708  LTrncltrn 40825  DIsoAcdia 41752  ocAcocaN 41843  vAcdjaN 41855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-riotaBAD 39677

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8272  df-map 8829  df-proset 18353  df-poset 18372  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18491  df-clat 18558  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-covers 39990  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075  df-llines 40222  df-lplanes 40223  df-lvols 40224  df-lines 40225  df-psubsp 40227  df-pmap 40228  df-padd 40520  df-lhyp 40712  df-laut 40713  df-ldil 40828  df-ltrn 40829  df-trl 40883  df-disoa 41753  df-docaN 41844  df-djaN 41856

This theorem is referenced by: (None)