Theorem znegscl 28790

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No)
3		nnno 28722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No)
5	2, 4	negsubsdi2d 28478	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛))
6		fveqeq2 6902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → (( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
8	7	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
9	8	reximia 3100	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
10		elzs 28782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚))
11		elzs 28782	. . 3 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
12		rexcom 3294	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
13	11, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   -_scnegs 28417   −_s csubs 28418  ℕ_scnns 28711  ℤ_sczs 28776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8686  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-0s 28205  df-1s 28206  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-norec 28336  df-norec2 28347  df-adds 28358  df-negs 28419  df-subs 28420  df-n0s 28712  df-nns 28713  df-zs 28777

This theorem is used by:  znegscld  28791  zsoring  28807  z12negscl  28876