Theorem znegscl 28285

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsno 28222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No )
3		nnsno 28222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No )
5	2, 4	negsubsdi2d 27989	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛))
6		fveqeq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → (( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
8	7	reximdva 3142	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
9	8	reximia 3064	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
10		elzs 28277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚))
11		elzs 28277	. . 3 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
12		rexcom 3258	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
13	11, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   No csur 27549   -u_s cnegs 27930   -_s csubs 27931  ℕ_scnns 28212  ℤ_sczs 28271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-nadd 8584  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27738  df-1s 27739  df-made 27757  df-old 27758  df-left 27760  df-right 27761  df-norec 27850  df-norec2 27861  df-adds 27872  df-negs 27932  df-subs 27933  df-n0s 28213  df-nns 28214  df-zs 28272

This theorem is referenced by:  znegscld  28286  zsoring  28301  zs12negscl  28355