Theorem znegscl 28778

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No)
3		nnno 28710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No)
5	2, 4	negsubsdi2d 28466	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛))
6		fveqeq2 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → (( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
8	7	reximdva 3176	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
9	8	reximia 3098	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
10		elzs 28770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚))
11		elzs 28770	. . 3 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
12		rexcom 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
13	11, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   -_scnegs 28405   −_s csubs 28406  ℕ_scnns 28699  ℤ_sczs 28764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-n0s 28700  df-nns 28701  df-zs 28765

This theorem is used by:  znegscld  28779  zsoring  28795  z12negscl  28864