Theorem znegscl 28320

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsno 28257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No )
3		nnsno 28257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No )
5	2, 4	negsubsdi2d 28024	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛))
6		fveqeq2 6849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → (( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
8	7	reximdva 3146	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
9	8	reximia 3064	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
10		elzs 28312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚))
11		elzs 28312	. . 3 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
12		rexcom 3264	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
13	11, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   No csur 27584   -u_s cnegs 27965   -_s csubs 27966  ℕ_scnns 28247  ℤ_sczs 28306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-nadd 8607  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27773  df-1s 27774  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27885  df-norec2 27896  df-adds 27907  df-negs 27967  df-subs 27968  df-n0s 28248  df-nns 28249  df-zs 28307

This theorem is referenced by:  znegscld  28321  zsoring  28336  zs12negscl  28390