Theorem znegscl 28835

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No)
3		nnno 28767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No)
5	2, 4	negsubsdi2d 28523	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛))
6		fveqeq2 6925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → (( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ( -s‘(𝑛 −s 𝑚)) = (𝑚 −s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
8	7	reximdva 3179	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛)))
9	8	reximia 3101	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
10		elzs 28827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 −s 𝑚))
11		elzs 28827	. . 3 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
12		rexcom 3295	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
13	11, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -s‘𝐴) = (𝑚 −s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   -_scnegs 28462   −_s csubs 28463  ℕ_scnns 28756  ℤ_sczs 28821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-1s 28251  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-n0s 28757  df-nns 28758  df-zs 28822

This theorem is used by:  znegscld  28836  zsoring  28852  z12negscl  28921