MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegscl 28393
Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
znegscl (𝐴 ∈ ℤs → ( -us𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsno 28344 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕs𝑛 No )
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 No )
3 nnsno 28344 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕs𝑚 No )
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 No )
52, 4negsubsdi2d 28125 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs) → ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛))
6 fveqeq2 6916 . . . . 5 (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → (( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛)))
75, 6syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
87reximdva 3166 . . 3 (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
98reximia 3079 . 2 (∃𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
10 elzs 28385 . 2 (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚))
11 elzs 28385 . . 3 (( -us𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs𝑛 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
12 rexcom 3288 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕs𝑛 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
1311, 12bitri 275 . 2 (( -us𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs𝑚 ∈ ℕs ( -us𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
149, 10, 133imtr4i 292 1 (𝐴 ∈ ℤs → ( -us𝐴) ∈ ℤs)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cfv 6563  (class class class)co 7431   No csur 27699   -us cnegs 28066   -s csubs 28067  scnns 28334  sczs 28379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380
This theorem is referenced by:  znegscld  28394
  Copyright terms: Public domain W3C validator