Theorem znegscl 28388

Description: The surreal integers are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
znegscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Proof of Theorem znegscl

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → 𝑛 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑛 ∈ No )
3		nnno 28320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕs → 𝑚 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → 𝑚 ∈ No )
5	2, 4	negsubsdi2d 28076	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛))
6		fveqeq2 6843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → (( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ( -us ‘(𝑛 -s 𝑚)) = (𝑚 -s 𝑛)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕs ∧ 𝑚 ∈ ℕs) → (𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
8	7	reximdva 3149	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕs → (∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛)))
9	8	reximia 3071	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
10		elzs 28380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 𝐴 = (𝑛 -s 𝑚))
11		elzs 28380	. . 3 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
12		rexcom 3265	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕs ∃𝑛 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
13	11, 12	bitri 275	. 2 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs ( -us ‘𝐴) = (𝑚 -s 𝑛))
14	9, 10, 13	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ( -us ‘𝐴) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   No csur 27607   -u_s cnegs 28015   -_s csubs 28016  ℕ_scnns 28309  ℤ_sczs 28374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27934  df-norec2 27945  df-adds 27956  df-negs 28017  df-subs 28018  df-n0s 28310  df-nns 28311  df-zs 28375

This theorem is referenced by:  znegscld  28389  zsoring  28405  z12negscl  28474