Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp 24559
 Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥𝑛) = (𝑥↑1))
21mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)))
32oveq2d 7155 . . 3 (𝑛 = 1 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))))
4 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
5 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
74, 6oveq12d 7157 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
87mpteq2dv 5129 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))))
93, 8eqeq12d 2817 . 2 (𝑛 = 1 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))))
10 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
1110mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
1211oveq2d 7155 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
14 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
1514oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑘 − 1)))
1613, 15oveq12d 7157 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
1716mpteq2dv 5129 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
1812, 17eqeq12d 2817 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))))
19 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
2019mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
2120oveq2d 7155 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
22 id 22 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
23 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2423oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))
2522, 24oveq12d 7157 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))
2625mpteq2dv 5129 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2721, 26eqeq12d 2817 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
28 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑁))
2928mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
3029oveq2d 7155 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))))
31 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁𝑛 = 𝑁)
32 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3332oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
3431, 33oveq12d 7157 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
3534mpteq2dv 5129 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3630, 35eqeq12d 2817 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
37 exp1 13435 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
3837mpteq2ia 5124 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
39 mptresid 5889 . . . . 5 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
4038, 39eqtr4i 2827 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = ( I ↾ ℂ)
4140oveq2i 7150 . . 3 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
42 1m1e0 11701 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4342oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 (𝑥↑(1 − 1)) = (𝑥↑0)
44 exp0 13433 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
4543, 44syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(1 − 1)) = 1)
4645oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = (1 · 1))
47 1t1e1 11791 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
4846, 47eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = 1)
4948mpteq2ia 5124 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
50 fconstmpt 5582 . . . . 5 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
5149, 50eqtr4i 2827 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ × {1})
52 dvid 24524 . . . 4 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
5351, 52eqtr4i 2827 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
5441, 53eqtr4i 2827 . 2 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
55 nncn 11637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
58 pncan 10885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5956, 57, 58sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
6059oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑥𝑘))
6160oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)))
6257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
63 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
64 nnnn0 11896 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expcl 13447 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6663, 64, 65syl2anr 599 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6756, 62, 66adddird 10659 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))))
6866mulid2d 10652 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · (𝑥𝑘)) = (𝑥𝑘))
6968oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7061, 67, 693eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7170mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
72 cnex 10611 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
7456, 66mulcld 10654 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
75 nnm1nn0 11930 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
76 expcl 13447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7763, 75, 76syl2anr 599 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7856, 77mulcld 10654 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
79 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
8139a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
8273, 78, 79, 80, 81offval2 7410 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)))
8356, 77, 79mulassd 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
84 expm1t 13457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8584ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8685oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
8783, 86eqtr4d 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · (𝑥𝑘)))
8887mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
8982, 88eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9052, 50eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
92 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9373, 62, 66, 91, 92offval2 7410 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))))
9468mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9593, 94eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9673, 74, 66, 89, 95offval2 7410 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
9771, 96eqtr4d 2839 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
98 oveq1 7146 . . . . . . 7 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)))
9998oveq1d 7154 . . . . . 6 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
10099eqcomd 2807 . . . . 5 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
10197, 100sylan9eq 2856 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
102 cnelprrecn 10623 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
103102a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
10466fmpttd 6860 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
105104adantr 484 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
106 f1oi 6631 . . . . . 6 ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
107 f1of 6594 . . . . . 6 (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
108106, 107mp1i 13 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
109 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
110109dmeqd 5742 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
11178fmpttd 6860 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
112111adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
113112fdmd 6501 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
114110, 113eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = ℂ)
115 1ex 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
116115fconst 6543 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
11752feq1i 6482 . . . . . . . 8 ((ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1} ↔ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1})
118116, 117mpbir 234 . . . . . . 7 (ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1}
119118fdmi 6502 . . . . . 6 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
120119a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ)
121103, 105, 108, 114, 120dvmulf 24549 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘f · ( I ↾ ℂ))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘f · ( I ↾ ℂ)) ∘f + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
12273, 66, 79, 92, 81offval2 7410 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘f · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
123 expp1 13436 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
12463, 64, 123syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
125124mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
126122, 125eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘f · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
127126oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘f · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
128127adantr 484 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘f · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
129101, 121, 1283eqtr2rd 2843 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
130129ex 416 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1319, 18, 27, 36, 54, 130nnind 11647 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444  {csn 4528  {cpr 4530   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ↑cexp 13429   D cdv 24469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473 This theorem is referenced by:  dvexp2  24560  dvexp3  24584  itgpowd  24656  taylthlem2  24972  advlogexp  25249  logdivsum  26120  log2sumbnd  26131  dvasin  35134  areacirclem1  35138  lcmineqlem8  39317  lcmineqlem10  39319  lcmineqlem12  39321  lhe4.4ex1a  41020  dvsinexp  42540  dvxpaek  42569
 Copyright terms: Public domain W3C validator