MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubeq0 12260
Description: Function analogue of subeq0 11532. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubeq0 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6737 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
43ffnd 6737 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
6 inidm 4234 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
7 eqidd 2735 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
8 eqidd 2735 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
92, 4, 5, 5, 6, 7, 8ofval 7707 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
10 c0ex 11252 . . . . . . 7 0 ∈ V
1110fvconst2 7223 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1211adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
139, 12eqeq12d 2750 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0))
141ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
153ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15subeq0ad 11627 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1713, 16bitrd 279 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1817ralbidva 3173 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
192, 4, 5, 5, 6offn 7709 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐴)
2010fconst 6794 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
21 ffn 6736 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐴 × {0}) Fn 𝐴
23 eqfnfv 7050 . . 3 (((𝐹f𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
2419, 22, 23sylancl 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
25 eqfnfv 7050 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
262, 4, 25syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2718, 24, 263bitr4d 311 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {csn 4630   × cxp 5686   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  0cc0 11152  cmin 11489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491
This theorem is referenced by:  psrridm  22000  dv11cn  26054  coeeulem  26277  plydiveu  26354  facth  26362  quotcan  26365  plyexmo  26369  mpaaeu  43138
  Copyright terms: Public domain W3C validator