MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubeq0 11634
Description: Function analogue of subeq0 10911. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubeq0 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1133 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6514 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simp3 1134 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
43ffnd 6514 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 simp1 1132 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
6 inidm 4194 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
7 eqidd 2822 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
8 eqidd 2822 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
92, 4, 5, 5, 6, 7, 8ofval 7417 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
10 c0ex 10634 . . . . . . 7 0 ∈ V
1110fvconst2 6965 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1211adantl 484 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
139, 12eqeq12d 2837 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0))
141ffvelrnda 6850 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
153ffvelrnda 6850 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15subeq0ad 11006 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1713, 16bitrd 281 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1817ralbidva 3196 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
192, 4, 5, 5, 6offn 7419 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f𝐺) Fn 𝐴)
2010fconst 6564 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
21 ffn 6513 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐴 × {0}) Fn 𝐴
23 eqfnfv 6801 . . 3 (((𝐹f𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
2419, 22, 23sylancl 588 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
25 eqfnfv 6801 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
262, 4, 25syl2anc 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2718, 24, 263bitr4d 313 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  {csn 4566   × cxp 5552   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  f cof 7406  cc 10534  0cc0 10536  cmin 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871
This theorem is referenced by:  psrridm  20183  dv11cn  24597  coeeulem  24813  plydiveu  24886  facth  24894  quotcan  24897  plyexmo  24901  mpaaeu  39750
  Copyright terms: Public domain W3C validator