MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubeq0 12206
Description: Function analogue of subeq0 11483. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubeq0 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝐴 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21ffnd 6716 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
43ffnd 6716 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
5 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 inidm 4218 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7 eqidd 2734 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8 eqidd 2734 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
92, 4, 5, 5, 6, 7, 8ofval 7678 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
10 c0ex 11205 . . . . . . 7 0 ∈ V
1110fvconst2 7202 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1211adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
139, 12eqeq12d 2749 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = 0))
141ffvelcdmda 7084 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
153ffvelcdmda 7084 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1614, 15subeq0ad 11578 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
1713, 16bitrd 279 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
1817ralbidva 3176 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
192, 4, 5, 5, 6offn 7680 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐴)
2010fconst 6775 . . . 4 (𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0}
21 ffn 6715 . . . 4 ((𝐴 Γ— {0}):𝐴⟢{0} β†’ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴
23 eqfnfv 7030 . . 3 (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 Γ— {0}) Fn 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝐴 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
2419, 22, 23sylancl 587 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝐴 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
25 eqfnfv 7030 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
262, 4, 25syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2718, 24, 263bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝐴 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {csn 4628   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘f cof 7665  β„‚cc 11105  0cc0 11107   βˆ’ cmin 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443
This theorem is referenced by:  psrridm  21516  dv11cn  25510  coeeulem  25730  plydiveu  25803  facth  25811  quotcan  25814  plyexmo  25818  mpaaeu  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator