Theorem ofsubeq0 11661

Description: Function analogue of subeq0 10940. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofsubeq0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
10		c0ex 10663	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
11	10	fvconst2 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
13	9, 12	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = 0))
14	1	ffvelrnda 6840	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
15	3	ffvelrnda 6840	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
16	14, 15	subeq0ad 11035	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
17	13, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
18	17	ralbidva 3126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
19	2, 4, 5, 5, 6	offn 7415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴)
20	10	fconst 6548	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
21		ffn 6496	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴
23		eqfnfv 6791	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
24	19, 22, 23	sylancl 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
25		eqfnfv 6791	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
26	2, 4, 25	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
27	18, 24, 26	3bitr4d 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  {csn 4520   × cxp 5520   Fn wfn 6328  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   ∘_f cof 7401  ℂcc 10563  0cc0 10565   − cmin 10898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-ltxr 10708  df-sub 10900

This theorem is referenced by:  psrridm  20722  dv11cn  24690  coeeulem  24910  plydiveu  24983  facth  24991  quotcan  24994  plyexmo  24998  mpaaeu  40457