MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodf1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodf1f 15841
Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodf1.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
prodf1f (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}))

Proof of Theorem prodf1f
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodf1.1 . . . . 5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
21prodf1 15840 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = 1)
3 1ex 11211 . . . . 5 1 โˆˆ V
43fvconst2 7200 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
52, 4eqtr4d 2769 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜))
65rgen 3057 . 2 โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)
7 seqfn 13981 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
81fneq2i 6640 . . . 4 (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
97, 8sylibr 233 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘)
103fconst 6770 . . . 4 (๐‘ ร— {1}):๐‘โŸถ{1}
11 ffn 6710 . . . 4 ((๐‘ ร— {1}):๐‘โŸถ{1} โ†’ (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘
13 eqfnfv 7025 . . 3 ((seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘ โˆง (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)))
149, 12, 13sylancl 585 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)))
156, 14mpbiri 258 1 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  {csn 4623   ร— cxp 5667   Fn wfn 6531  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  seqcseq 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970
This theorem is referenced by:  prodfclim1  15842
  Copyright terms: Public domain W3C validator