Theorem prodf1f 15827

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	prodf1 15826	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3		1ex 11140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7160	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
5	2, 4	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
6	5	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7		seqfn 13948	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
8	1	fneq2i 6598	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
10	3	fconst 6728	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
11		ffn 6670	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
13		eqfnfv 6985	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
14	9, 12, 13	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
15	6, 14	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4582   × cxp 5630   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  1c1 11039   · cmul 11043  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  prodfclim1  15828