MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodf1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodf1f 15878
Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodf1.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
prodf1f (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}))

Proof of Theorem prodf1f
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodf1.1 . . . . 5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
21prodf1 15877 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = 1)
3 1ex 11248 . . . . 5 1 โˆˆ V
43fvconst2 7222 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
52, 4eqtr4d 2771 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜))
65rgen 3060 . 2 โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)
7 seqfn 14018 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
81fneq2i 6657 . . . 4 (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘ โ†” seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
97, 8sylibr 233 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘)
103fconst 6788 . . . 4 (๐‘ ร— {1}):๐‘โŸถ{1}
11 ffn 6727 . . . 4 ((๐‘ ร— {1}):๐‘โŸถ{1} โ†’ (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘
13 eqfnfv 7045 . . 3 ((seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) Fn ๐‘ โˆง (๐‘ ร— {1}) Fn ๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)))
149, 12, 13sylancl 584 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1}))โ€˜๐‘˜) = ((๐‘ ร— {1})โ€˜๐‘˜)))
156, 14mpbiri 257 1 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) = (๐‘ ร— {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  {csn 4632   ร— cxp 5680   Fn wfn 6548  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  1c1 11147   ยท cmul 11151  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  seqcseq 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007
This theorem is referenced by:  prodfclim1  15879
  Copyright terms: Public domain W3C validator