Theorem prodf1f 15815

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	prodf1 15814	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3		1ex 11128	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7150	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
5	2, 4	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
6	5	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7		seqfn 13936	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
8	1	fneq2i 6590	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
10	3	fconst 6720	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
11		ffn 6662	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
13		eqfnfv 6976	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
14	9, 12, 13	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
15	6, 14	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {csn 4580   × cxp 5622   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  1c1 11027   · cmul 11031  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  seqcseq 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  prodfclim1  15816