MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodf1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodf1f 15247
Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodf1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
prodf1f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodf1.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21prodf1 15246 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3 1ex 10636 . . . . 5 1 ∈ V
43fvconst2 6965 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
52, 4eqtr4d 2859 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
65rgen 3148 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7 seqfn 13380 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ𝑀))
81fneq2i 6450 . . . 4 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn (ℤ𝑀))
97, 8sylibr 236 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
103fconst 6564 . . . 4 (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
11 ffn 6513 . . . 4 ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
13 eqfnfv 6801 . . 3 ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
149, 12, 13sylancl 588 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
156, 14mpbiri 260 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  {csn 4566   × cxp 5552   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  1c1 10537   · cmul 10541  cz 11980  cuz 12242  seqcseq 13368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-seq 13369
This theorem is referenced by:  prodfclim1  15248
  Copyright terms: Public domain W3C validator