Theorem dvcmulf 25855

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvcmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvcmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fconstg 6750	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
5	2	snssd 4776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
6	4, 5	fssd 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		c0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6749	. . . . 5 ⊢ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10		recnprss 25812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		fconstg 6750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
14	13, 5	fssd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15		ssidd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
16		dvcmulf.df	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17		dvbsss 25810	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19	16, 18	eqsstrrd 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
20		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22	20, 21	dvres 25819	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
23	11, 14, 15, 19, 22	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
24	19	resmptd 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
25		fconstmpt 5703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
26	25	reseq1i 5949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)
27		fconstmpt 5703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
28	24, 26, 27	3eqtr4g 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
30	19	resmptd 6014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
31		fconstg 6750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
33	32, 5	fssd 6708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
34		ssidd 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
35		dvconst 25825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
37	36	dmeqd 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
38	8	fconst 6749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
39	38	fdmi 6702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
40	37, 39	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
41	11, 40	sseqtrrd 3987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
42		dvres3 25821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
43	1, 33, 34, 41, 42	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
44		xpssres 5992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
46	45	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
47	36	reseq1d 5952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
48		xpssres 5992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
50	47, 49	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
51	43, 46, 50	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
52		fconstmpt 5703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
53	51, 52	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
54	20	cnfldtopon 24677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
55		resttopon 23055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
56	54, 11, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
57		topontop 22807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
59		toponuni 22808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
61	19, 60	sseqtrd 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
63	62	ntrss2 22951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
64	58, 61, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
65	11, 7, 19, 21, 20	dvbssntr 25808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
66	16, 65	eqsstrrd 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
67	64, 66	eqssd 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
68	53, 67	reseq12d 5954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
69		fconstmpt 5703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
71	30, 68, 70	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
72	23, 29, 71	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
73	72	feq1d 6673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
74	9, 73	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
75	74	fdmd 6701	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
76	1, 6, 7, 75, 16	dvmulf 25853	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
77		sseqin2 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
78	19, 77	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
79	78	mpteq1d 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
80	13	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
81	7	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
82	1, 19	ssexd 5282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
83		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
84		fvconst2g 7179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
85	2, 84	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
86		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
87	80, 81, 1, 82, 83, 85, 86	offval 7665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
88	4	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
89		inidm 4193	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
90		fvconst2g 7179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
91	2, 90	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
92	88, 81, 82, 82, 89, 91, 86	offval 7665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
93	79, 87, 92	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
94	93	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
95	78	mpteq1d 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
96		dvfg 25814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
97	1, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
98	16	feq2d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
99	97, 98	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
100	99	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
102	80, 100, 1, 82, 83, 85, 101	offval 7665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
103		0cnd 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
104		ovexd 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
105	72	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹))
106		0cnd 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
107		mul02 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
108	107	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
109	82, 7, 106, 106, 108	caofid2 7692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
110	105, 109	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
111	110, 69	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112		fvexd 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
113	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
114	99	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
115	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
116	82, 112, 113, 114, 115	offval2 7676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
117	82, 103, 104, 111, 116	offval2 7676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
118	99	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
119	118, 113	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
120	119	addlidd 11382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
121	118, 113	mulcomd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122	120, 121	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
123	122	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
124	117, 123	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
125	95, 102, 124	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
126	76, 94, 125	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592  {cpr 4594  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271  Topctop 22787  TopOnctopon 22804  intcnt 22911   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  dvsinax  45918