MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmulf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcmulf 25462
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvcmul.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvcmulf.df (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcmulf (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑆 D 𝐹)))
Proof of Theorem dvcmulf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcmul.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvcmul.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 fconstg 6779 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}):π‘‹βŸΆ{𝐴})
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}):π‘‹βŸΆ{𝐴})
52snssd 4813 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† β„‚)
64, 5fssd 6736 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvcmul.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
8 c0ex 11208 . . . . . 6 0 ∈ V
98fconst 6778 . . . . 5 (𝑋 Γ— {0}):π‘‹βŸΆ{0}
10 recnprss 25421 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
12 fconstg 6779 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆ{𝐴})
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆ{𝐴})
1413, 5fssd 6736 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚)
15 ssidd 4006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑆)
16 dvcmulf.df . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17 dvbsss 25419 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
1916, 18eqsstrrd 4022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
20 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
2220, 21dvres 25428 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) β†Ύ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹)))
2311, 14, 15, 19, 22syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) β†Ύ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹)))
2419resmptd 6041 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
25 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . 10 (𝑆 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
2625reseq1i 5978 . . . . . . . . 9 ((𝑆 Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋)
27 fconstmpt 5739 . . . . . . . . 9 (𝑋 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
2824, 26, 273eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑋) = (𝑋 Γ— {𝐴}))
2928oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})))
3019resmptd 6041 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 0) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
31 fconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆ{𝐴})
322, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆ{𝐴})
3332, 5fssd 6736 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
34 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
35 dvconst 25434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
362, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
3736dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = dom (β„‚ Γ— {0}))
388fconst 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ Γ— {0}):β„‚βŸΆ{0}
3938fdmi 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (β„‚ Γ— {0}) = β„‚
4037, 39eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = β„‚)
4111, 40sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))
42 dvres3 25430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
431, 33, 34, 41, 42syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
44 xpssres 6019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
4645oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
4736reseq1d 5981 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆))
48 xpssres 6019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
5047, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
5143, 46, 503eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
52 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . 10 (𝑆 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 0)
5351, 52eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 0))
5420cnfldtopon 24299 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
55 resttopon 22665 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
5654, 11, 55sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
57 topontop 22415 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
59 toponuni 22416 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
6119, 60sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
6362ntrss2 22561 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
6458, 61, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
6511, 7, 19, 21, 20dvbssntr 25417 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
6616, 65eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
6764, 66eqssd 4000 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) = 𝑋)
6853, 67reseq12d 5983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) β†Ύ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 0) β†Ύ 𝑋))
69 fconstmpt 5739 . . . . . . . . 9 (𝑋 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
7069a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
7130, 68, 703eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) β†Ύ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹)) = (𝑋 Γ— {0}))
7223, 29, 713eqtr3d 2781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) = (𝑋 Γ— {0}))
7372feq1d 6703 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})):π‘‹βŸΆ{0} ↔ (𝑋 Γ— {0}):π‘‹βŸΆ{0}))
749, 73mpbiri 258 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})):π‘‹βŸΆ{0})
7574fdmd 6729 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) = 𝑋)
761, 6, 7, 75, 16dvmulf 25460 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑋 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· (𝑋 Γ— {𝐴}))))
77 sseqin2 4216 . . . . . 6 (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
7819, 77sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
7978mpteq1d 5244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
8013ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}) Fn 𝑆)
817ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
821, 19ssexd 5325 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
83 eqid 2733 . . . . 5 (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
84 fvconst2g 7203 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
852, 84sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
86 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8780, 81, 1, 82, 83, 85, 86offval 7679 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
884ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) Fn 𝑋)
89 inidm 4219 . . . . 5 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
90 fvconst2g 7203 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
912, 90sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
9288, 81, 82, 82, 89, 91, 86offval 7679 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
9379, 87, 923eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = ((𝑋 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
9493oveq2d 7425 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
9578mpteq1d 5244 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))))
96 dvfg 25423 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
971, 96syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
9816feq2d 6704 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
9997, 98mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
10099ffnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
10280, 100, 1, 82, 83, 85, 101offval 7679 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑆 D 𝐹)) = (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))))
103 0cnd 11207 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ β„‚)
104 ovexd 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴) ∈ V)
10572oveq1d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = ((𝑋 Γ— {0}) ∘f Β· 𝐹))
106 0cnd 11207 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
107 mul02 11392 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
108107adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
10982, 7, 106, 106, 108caofid2 7704 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— {0}) ∘f Β· 𝐹) = (𝑋 Γ— {0}))
110105, 109eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = (𝑋 Γ— {0}))
111110, 69eqtrdi 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
112 fvexd 6907 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
1132adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11499feqmptd 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
11527a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
11682, 112, 113, 114, 115offval2 7690 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· (𝑋 Γ— {𝐴})) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴)))
11782, 103, 104, 111, 116offval2 7690 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· (𝑋 Γ— {𝐴}))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴))))
11899ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
119118, 113mulcld 11234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
120119addlidd 11415 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 + (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴))
121118, 113mulcomd 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
122120, 121eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 + (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴)) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
123122mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))))
124117, 123eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· (𝑋 Γ— {𝐴}))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))))
12595, 102, 1243eqtr4d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 Γ— {𝐴})) ∘f Β· 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· (𝑋 Γ— {𝐴}))))
12676, 94, 1253eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑆 D 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  intcnt 22521   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvsinax  44629
  Copyright terms: Public domain W3C validator