Theorem dvcmulf 24548

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvcmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvcmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fconstg 6540	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
5	2	snssd 4702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
6	4, 5	fssd 6502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		c0ex 10624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6539	. . . . 5 ⊢ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10		recnprss 24507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		fconstg 6540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
14	13, 5	fssd 6502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15		ssidd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
16		dvcmulf.df	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17		dvbsss 24505	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19	16, 18	eqsstrrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
20		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22	20, 21	dvres 24514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
23	11, 14, 15, 19, 22	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
24	19	resmptd 5875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
25		fconstmpt 5578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
26	25	reseq1i 5814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)
27		fconstmpt 5578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
28	24, 26, 27	3eqtr4g 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
30	19	resmptd 5875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
31		fconstg 6540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
33	32, 5	fssd 6502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
34		ssidd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
35		dvconst 24520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
37	36	dmeqd 5738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
38	8	fconst 6539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
39	38	fdmi 6498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
40	37, 39	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
41	11, 40	sseqtrrd 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
42		dvres3 24516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
43	1, 33, 34, 41, 42	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
44		xpssres 5855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
46	45	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
47	36	reseq1d 5817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
48		xpssres 5855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
50	47, 49	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
51	43, 46, 50	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
52		fconstmpt 5578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
53	51, 52	eqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
54	20	cnfldtopon 23388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
55		resttopon 21766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
56	54, 11, 55	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
57		topontop 21518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
59		toponuni 21519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
61	19, 60	sseqtrd 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
63	62	ntrss2 21662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
64	58, 61, 63	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
65	11, 7, 19, 21, 20	dvbssntr 24503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
66	16, 65	eqsstrrd 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
67	64, 66	eqssd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
68	53, 67	reseq12d 5819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
69		fconstmpt 5578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
71	30, 68, 70	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
72	23, 29, 71	3eqtr3d 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
73	72	feq1d 6472	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
74	9, 73	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
75	74	fdmd 6497	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
76	1, 6, 7, 75, 16	dvmulf 24546	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
77		sseqin2 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
78	19, 77	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
79	78	mpteq1d 5119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
80	13	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
81	7	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
82	1, 19	ssexd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
83		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
84		fvconst2g 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
85	2, 84	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
86		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
87	80, 81, 1, 82, 83, 85, 86	offval 7396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
88	4	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
89		inidm 4145	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
90		fvconst2g 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
91	2, 90	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
92	88, 81, 82, 82, 89, 91, 86	offval 7396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
93	79, 87, 92	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
94	93	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
95	78	mpteq1d 5119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
96		dvfg 24509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
97	1, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
98	16	feq2d 6473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
99	97, 98	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
100	99	ffnd 6488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101		eqidd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
102	80, 100, 1, 82, 83, 85, 101	offval 7396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
103		0cnd 10623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
104		ovexd 7170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
105	72	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹))
106		0cnd 10623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
107		mul02 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
108	107	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
109	82, 7, 106, 106, 108	caofid2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
110	105, 109	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
111	110, 69	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112		fvexd 6660	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
113	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
114	99	feqmptd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
115	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
116	82, 112, 113, 114, 115	offval2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
117	82, 103, 104, 111, 116	offval2 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
118	99	ffvelrnda 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
119	118, 113	mulcld 10650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
120	119	addid2d 10830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
121	118, 113	mulcomd 10651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122	120, 121	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
123	122	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
124	117, 123	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
125	95, 102, 124	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
126	76, 94, 125	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  ∪ cuni 4800   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  intcnt 21622   D cdv 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  dvsinax  42555