MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmulf 25996
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcmulf (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcmul.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvcmul.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 fconstg 6795 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
52snssd 4813 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
64, 5fssd 6753 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7 dvcmul.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 c0ex 11252 . . . . . 6 0 ∈ V
98fconst 6794 . . . . 5 (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10 recnprss 25953 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 fconstg 6795 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
1413, 5fssd 6753 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15 ssidd 4018 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑆)
16 dvcmulf.df . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17 dvbsss 25951 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
1916, 18eqsstrrd 4034 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑆)
20 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21 eqid 2734 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
2220, 21dvres 25960 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆𝑆𝑋𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
2311, 14, 15, 19, 22syl22anc 839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
2419resmptd 6059 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
25 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . 10 (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥𝑆𝐴)
2625reseq1i 5995 . . . . . . . . 9 ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝑆𝐴) ↾ 𝑋)
27 fconstmpt 5750 . . . . . . . . 9 (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥𝑋𝐴)
2824, 26, 273eqtr4g 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
2928oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
3019resmptd 6059 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
31 fconstg 6795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
322, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
3332, 5fssd 6753 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
34 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
35 dvconst 25966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
362, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
3736dmeqd 5918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
388fconst 6794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
3938fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (ℂ × {0}) = ℂ
4037, 39eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
4111, 40sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
42 dvres3 25962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
431, 33, 34, 41, 42syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
44 xpssres 6037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
4645oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
4736reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
48 xpssres 6037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
5047, 49eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
5143, 46, 503eqtr3d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
52 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . 10 (𝑆 × {0}) = (𝑥𝑆 ↦ 0)
5351, 52eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥𝑆 ↦ 0))
5420cnfldtopon 24818 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
55 resttopon 23184 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
5654, 11, 55sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
57 topontop 22934 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
59 toponuni 22935 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
6119, 60sseqtrd 4035 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
6362ntrss2 23080 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
6458, 61, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
6511, 7, 19, 21, 20dvbssntr 25949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
6616, 65eqsstrrd 4034 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
6764, 66eqssd 4012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
6853, 67reseq12d 6000 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
69 fconstmpt 5750 . . . . . . . . 9 (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
7069a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
7130, 68, 703eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
7223, 29, 713eqtr3d 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
7372feq1d 6720 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
749, 73mpbiri 258 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
7574fdmd 6746 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
761, 6, 7, 75, 16dvmulf 25994 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
77 sseqin2 4230 . . . . . 6 (𝑋𝑆 ↔ (𝑆𝑋) = 𝑋)
7819, 77sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑋) = 𝑋)
7978mpteq1d 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹𝑥))))
8013ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
817ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
821, 19ssexd 5329 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
83 eqid 2734 . . . . 5 (𝑆𝑋) = (𝑆𝑋)
84 fvconst2g 7221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
852, 84sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
86 eqidd 2735 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
8780, 81, 1, 82, 83, 85, 86offval 7705 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹𝑥))))
884ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
89 inidm 4234 . . . . 5 (𝑋𝑋) = 𝑋
90 fvconst2g 7221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
912, 90sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
9288, 81, 82, 82, 89, 91, 86offval 7705 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹𝑥))))
9379, 87, 923eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
9493oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
9578mpteq1d 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
96 dvfg 25955 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
971, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
9816feq2d 6722 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
9997, 98mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
10099ffnd 6737 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101 eqidd 2735 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
10280, 100, 1, 82, 83, 85, 101offval 7705 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
103 0cnd 11251 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℂ)
104 ovexd 7465 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
10572oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹))
106 0cnd 11251 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
107 mul02 11436 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
108107adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
10982, 7, 106, 106, 108caofid2 7732 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
110105, 109eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
111110, 69eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
112 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
1132adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
11499feqmptd 6976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
11527a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥𝑋𝐴))
11682, 112, 113, 114, 115offval2 7716 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
11782, 103, 104, 111, 116offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
11899ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
119118, 113mulcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
120119addlidd 11459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
121118, 113mulcomd 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122120, 121eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
123122mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
124117, 123eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
12595, 102, 1243eqtr4d 2784 . 2 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
12676, 94, 1253eqtr4d 2784 1 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632   cuni 4911  cmpt 5230   × cxp 5686  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  Topctop 22914  TopOnctopon 22931  intcnt 23040   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvsinax  45868
  Copyright terms: Public domain W3C validator