Theorem dvcmulf 25014

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvcmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvcmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fconstg 6645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
5	2	snssd 4739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
6	4, 5	fssd 6602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		c0ex 10900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6644	. . . . 5 ⊢ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10		recnprss 24973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		fconstg 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
14	13, 5	fssd 6602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15		ssidd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
16		dvcmulf.df	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17		dvbsss 24971	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19	16, 18	eqsstrrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
20		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22	20, 21	dvres 24980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
23	11, 14, 15, 19, 22	syl22anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
24	19	resmptd 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
25		fconstmpt 5640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
26	25	reseq1i 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)
27		fconstmpt 5640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
28	24, 26, 27	3eqtr4g 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
30	19	resmptd 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
31		fconstg 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
33	32, 5	fssd 6602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
34		ssidd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
35		dvconst 24986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
37	36	dmeqd 5803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
38	8	fconst 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
39	38	fdmi 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
40	37, 39	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
41	11, 40	sseqtrrd 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
42		dvres3 24982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
43	1, 33, 34, 41, 42	syl22anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
44		xpssres 5917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
46	45	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
47	36	reseq1d 5879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
48		xpssres 5917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
50	47, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
51	43, 46, 50	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
52		fconstmpt 5640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
53	51, 52	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
54	20	cnfldtopon 23852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
55		resttopon 22220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
56	54, 11, 55	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
57		topontop 21970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
59		toponuni 21971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
61	19, 60	sseqtrd 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
63	62	ntrss2 22116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
64	58, 61, 63	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
65	11, 7, 19, 21, 20	dvbssntr 24969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
66	16, 65	eqsstrrd 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
67	64, 66	eqssd 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
68	53, 67	reseq12d 5881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
69		fconstmpt 5640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
71	30, 68, 70	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
72	23, 29, 71	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
73	72	feq1d 6569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
74	9, 73	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
75	74	fdmd 6595	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
76	1, 6, 7, 75, 16	dvmulf 25012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
77		sseqin2 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
78	19, 77	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
79	78	mpteq1d 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
80	13	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
81	7	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
82	1, 19	ssexd 5243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
83		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
84		fvconst2g 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
85	2, 84	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
86		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
87	80, 81, 1, 82, 83, 85, 86	offval 7520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
88	4	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
89		inidm 4149	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
90		fvconst2g 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
91	2, 90	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
92	88, 81, 82, 82, 89, 91, 86	offval 7520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
93	79, 87, 92	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
94	93	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
95	78	mpteq1d 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
96		dvfg 24975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
97	1, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
98	16	feq2d 6570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
99	97, 98	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
100	99	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
102	80, 100, 1, 82, 83, 85, 101	offval 7520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
103		0cnd 10899	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
104		ovexd 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
105	72	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹))
106		0cnd 10899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
107		mul02 11083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
108	107	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
109	82, 7, 106, 106, 108	caofid2 7545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
110	105, 109	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
111	110, 69	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112		fvexd 6771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
113	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
114	99	feqmptd 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
115	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
116	82, 112, 113, 114, 115	offval2 7531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
117	82, 103, 104, 111, 116	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
118	99	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
119	118, 113	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
120	119	addid2d 11106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
121	118, 113	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122	120, 121	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
123	122	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
124	117, 123	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
125	95, 102, 124	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
126	76, 94, 125	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510  Topctop 21950  TopOnctopon 21967  intcnt 22076   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  dvsinax  43344