Theorem dvcmulf 25908

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvcmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvcmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fconstg 6722	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
5	2	snssd 4766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
6	4, 5	fssd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		c0ex 11130	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6721	. . . . 5 ⊢ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10		recnprss 25865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		fconstg 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
14	13, 5	fssd 6680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15		ssidd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
16		dvcmulf.df	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
17		dvbsss 25863	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
19	16, 18	eqsstrrd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22	20, 21	dvres 25872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
23	11, 14, 15, 19, 22	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
24	19	resmptd 6000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
25		fconstmpt 5687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
26	25	reseq1i 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)
27		fconstmpt 5687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
28	24, 26, 27	3eqtr4g 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
30	19	resmptd 6000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
31		fconstg 6722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
33	32, 5	fssd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
34		ssidd 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
35		dvconst 25878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
37	36	dmeqd 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
38	8	fconst 6721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
39	38	fdmi 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
40	37, 39	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
41	11, 40	sseqtrrd 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
42		dvres3 25874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
43	1, 33, 34, 41, 42	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
44		xpssres 5978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
46	45	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
47	36	reseq1d 5938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
48		xpssres 5978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
50	47, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
51	43, 46, 50	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
52		fconstmpt 5687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
53	51, 52	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
54	20	cnfldtopon 24730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
55		resttopon 23109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
56	54, 11, 55	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
57		topontop 22861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
59		toponuni 22862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
61	19, 60	sseqtrd 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
63	62	ntrss2 23005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
64	58, 61, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
65	11, 7, 19, 21, 20	dvbssntr 25861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
66	16, 65	eqsstrrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
67	64, 66	eqssd 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
68	53, 67	reseq12d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
69		fconstmpt 5687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
71	30, 68, 70	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
72	23, 29, 71	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
73	72	feq1d 6645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
74	9, 73	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
75	74	fdmd 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
76	1, 6, 7, 75, 16	dvmulf 25906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
77		sseqin2 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
78	19, 77	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
79	78	mpteq1d 5189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
80	13	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
81	7	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
82	1, 19	ssexd 5270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
83		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
84		fvconst2g 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
85	2, 84	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
86		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
87	80, 81, 1, 82, 83, 85, 86	offval 7633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
88	4	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
89		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
90		fvconst2g 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
91	2, 90	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
92	88, 81, 82, 82, 89, 91, 86	offval 7633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
93	79, 87, 92	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
94	93	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
95	78	mpteq1d 5189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
96		dvfg 25867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
97	1, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
98	16	feq2d 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
99	97, 98	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
100	99	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
101		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
102	80, 100, 1, 82, 83, 85, 101	offval 7633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
103		0cnd 11129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
104		ovexd 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
105	72	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹))
106		0cnd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
107		mul02 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
108	107	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
109	82, 7, 106, 106, 108	caofid2 7660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
110	105, 109	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
111	110, 69	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
113	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
114	99	feqmptd 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
115	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
116	82, 112, 113, 114, 115	offval2 7644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
117	82, 103, 104, 111, 116	offval2 7644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
118	99	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
119	118, 113	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
120	119	addlidd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
121	118, 113	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122	120, 121	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
123	122	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
124	117, 123	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
125	95, 102, 124	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘f · 𝐹) ∘f + ((𝑆 D 𝐹) ∘f · (𝑋 × {𝐴}))))
126	76, 94, 125	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · (𝑆 D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4581  {cpr 4583  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   ↾_t crest 17344  TopOpenctopn 17345  ℂ_fldccnfld 21313  Topctop 22841  TopOnctopon 22858  intcnt 22965   D cdv 25824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828

This theorem is referenced by:  dvsinax  46193