Theorem dvsid 45069

Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsid	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))

Proof of Theorem dvsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6664	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
2		rnresi 6077	. . . . . 6 ⊢ ran ( I ↾ ℂ) = ℂ
3	2	eqimssi 3997	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ
4		df-f 6540	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ ↔ (( I ↾ ℂ) Fn ℂ ∧ ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ))
5	1, 3, 4	mpbir2an 723	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
6	5	jctr 533	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
7		recnprss 26072	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dvid 26086	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
9	8	dmeqi 5894	. . . . . 6 ⊢ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = dom (ℂ × {1})
10		1ex 11207	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
11	10	fconst 6764	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
12	11	fdmi 6717	. . . . . 6 ⊢ dom (ℂ × {1}) = ℂ
13	9, 12	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
14	7, 13	sseqtrrdi 3978	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))
15		ssid 3959	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
16	14, 15	jctil 528	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ))))
17		dvres3 26081	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))) → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
18	6, 16, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
19	7	resabs1d 6007	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆) = ( I ↾ 𝑆))
20	19	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)))
21	8	reseq1i 5974	. . . 4 ⊢ ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆)
22		xpssres 6017	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
23	21, 22	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
24	7, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591   I cid 5555   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  1c1 11105   D cdv 26031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13383  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-rest 17479  df-topn 17480  df-topgen 17500  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035

This theorem is used by: (None)