Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsid 40653
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))

Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 6469 . . . . 5 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
2 rnresi 5936 . . . . . 6 ran ( I ↾ ℂ) = ℂ
32eqimssi 4023 . . . . 5 ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ
4 df-f 6352 . . . . 5 (( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ ↔ (( I ↾ ℂ) Fn ℂ ∧ ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ))
51, 3, 4mpbir2an 709 . . . 4 ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
65jctr 527 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
7 recnprss 24494 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8 dvid 24507 . . . . . . 7 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
98dmeqi 5766 . . . . . 6 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = dom (ℂ × {1})
10 1ex 10629 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1110fconst 6558 . . . . . . 7 (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
1211fdmi 6517 . . . . . 6 dom (ℂ × {1}) = ℂ
139, 12eqtri 2842 . . . . 5 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
147, 13sseqtrrdi 4016 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))
15 ssid 3987 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
1614, 15jctil 522 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ))))
17 dvres3 24503 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))) → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
186, 16, 17syl2anc 586 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
197resabs1d 5877 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆) = ( I ↾ 𝑆))
2019oveq2d 7164 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)))
218reseq1i 5842 . . . 4 ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆)
22 xpssres 5882 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
2321, 22syl5eq 2866 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
247, 23syl 17 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
2518, 20, 243eqtr3d 2862 1 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3934  {csn 4559  {cpr 4561   I cid 5452   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   D cdv 24453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator