Theorem dvsid 44776

Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsid	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))

Proof of Theorem dvsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 6621	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
2		rnresi 6034	. . . . . 6 ⊢ ran ( I ↾ ℂ) = ℂ
3	2	eqimssi 3983	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ
4		df-f 6496	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ ↔ (( I ↾ ℂ) Fn ℂ ∧ ran ( I ↾ ℂ) ⊆ ℂ))
5	1, 3, 4	mpbir2an 712	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
6	5	jctr 524	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
7		recnprss 25881	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		dvid 25895	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
9	8	dmeqi 5853	. . . . . 6 ⊢ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = dom (ℂ × {1})
10		1ex 11131	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
11	10	fconst 6720	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
12	11	fdmi 6673	. . . . . 6 ⊢ dom (ℂ × {1}) = ℂ
13	9, 12	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
14	7, 13	sseqtrrdi 3964	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))
15		ssid 3945	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
16	14, 15	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ))))
17		dvres3 25890	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)))) → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
18	6, 16, 17	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆))
19	7	resabs1d 5967	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆) = ( I ↾ 𝑆))
20	19	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (( I ↾ ℂ) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)))
21	8	reseq1i 5934	. . . 4 ⊢ ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆)
22		xpssres 5977	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {1}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
23	21, 22	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
24	7, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {1}))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   I cid 5518   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by: (None)