Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvsid 43579
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 6669 . . . . 5 ( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚
2 rnresi 6064 . . . . . 6 ran ( I β†Ύ β„‚) = β„‚
32eqimssi 4034 . . . . 5 ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚
4 df-f 6537 . . . . 5 (( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚ ∧ ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚))
51, 3, 4mpbir2an 708 . . . 4 ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
65jctr 524 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
7 recnprss 25755 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 dvid 25769 . . . . . . 7 (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = (β„‚ Γ— {1})
98dmeqi 5894 . . . . . 6 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = dom (β„‚ Γ— {1})
10 1ex 11207 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1110fconst 6767 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {1}):β„‚βŸΆ{1}
1211fdmi 6719 . . . . . 6 dom (β„‚ Γ— {1}) = β„‚
139, 12eqtri 2752 . . . . 5 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = β„‚
147, 13sseqtrrdi 4025 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))
15 ssid 3996 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
1614, 15jctil 519 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚))))
17 dvres3 25764 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))) β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
186, 16, 17syl2anc 583 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
197resabs1d 6002 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆) = ( I β†Ύ 𝑆))
2019oveq2d 7417 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)))
218reseq1i 5967 . . . 4 ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆)
22 xpssres 6008 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2321, 22eqtrid 2776 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
247, 23syl 17 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2518, 20, 243eqtr3d 2772 1 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622   I cid 5563   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  1c1 11107   D cdv 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator