Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvsid 43691
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 6678 . . . . 5 ( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚
2 rnresi 6072 . . . . . 6 ran ( I β†Ύ β„‚) = β„‚
32eqimssi 4038 . . . . 5 ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚
4 df-f 6546 . . . . 5 (( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚ ∧ ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚))
51, 3, 4mpbir2an 710 . . . 4 ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
65jctr 524 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
7 recnprss 25820 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 dvid 25834 . . . . . . 7 (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = (β„‚ Γ— {1})
98dmeqi 5901 . . . . . 6 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = dom (β„‚ Γ— {1})
10 1ex 11232 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1110fconst 6777 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {1}):β„‚βŸΆ{1}
1211fdmi 6728 . . . . . 6 dom (β„‚ Γ— {1}) = β„‚
139, 12eqtri 2755 . . . . 5 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = β„‚
147, 13sseqtrrdi 4029 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))
15 ssid 4000 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
1614, 15jctil 519 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚))))
17 dvres3 25829 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))) β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
186, 16, 17syl2anc 583 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
197resabs1d 6010 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆) = ( I β†Ύ 𝑆))
2019oveq2d 7430 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)))
218reseq1i 5975 . . . 4 ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆)
22 xpssres 6016 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2321, 22eqtrid 2779 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
247, 23syl 17 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2518, 20, 243eqtr3d 2775 1 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   I cid 5569   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  1c1 11131   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-topn 17396  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator