Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvsid 43080
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 6679 . . . . 5 ( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚
2 rnresi 6074 . . . . . 6 ran ( I β†Ύ β„‚) = β„‚
32eqimssi 4042 . . . . 5 ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚
4 df-f 6547 . . . . 5 (( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (( I β†Ύ β„‚) Fn β„‚ ∧ ran ( I β†Ύ β„‚) βŠ† β„‚))
51, 3, 4mpbir2an 709 . . . 4 ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
65jctr 525 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
7 recnprss 25420 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
8 dvid 25434 . . . . . . 7 (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = (β„‚ Γ— {1})
98dmeqi 5904 . . . . . 6 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = dom (β„‚ Γ— {1})
10 1ex 11209 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1110fconst 6777 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {1}):β„‚βŸΆ{1}
1211fdmi 6729 . . . . . 6 dom (β„‚ Γ— {1}) = β„‚
139, 12eqtri 2760 . . . . 5 dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) = β„‚
147, 13sseqtrrdi 4033 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))
15 ssid 4004 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
1614, 15jctil 520 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚))))
17 dvres3 25429 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ( I β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)))) β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
186, 16, 17syl2anc 584 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆))
197resabs1d 6012 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆) = ( I β†Ύ 𝑆))
2019oveq2d 7424 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (( I β†Ύ β„‚) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)))
218reseq1i 5977 . . . 4 ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆)
22 xpssres 6018 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {1}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2321, 22eqtrid 2784 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
247, 23syl 17 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ ((β„‚ D ( I β†Ύ β„‚)) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {1}))
2518, 20, 243eqtr3d 2780 1 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 Γ— {1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   I cid 5573   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  1c1 11110   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator