MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 25303
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25334, this does not require š“ to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables š‘„ š‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11205 . . 3 0 āˆˆ ā„‚
2 mbfconst 25149 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ 0 āˆˆ ā„‚) ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn)
31, 2mpan2 689 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn)
4 ax-icn 11168 . . . . . . . 8 i āˆˆ ā„‚
5 ine0 11648 . . . . . . . 8 i ā‰  0
6 elfzelz 13500 . . . . . . . . 9 (š‘˜ āˆˆ (0...3) ā†’ š‘˜ āˆˆ ā„¤)
76ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ š‘˜ āˆˆ ā„¤)
8 expclz 14049 . . . . . . . . 9 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (iā†‘š‘˜) āˆˆ ā„‚)
9 expne0i 14059 . . . . . . . . 9 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (iā†‘š‘˜) ā‰  0)
108, 9div0d 11988 . . . . . . . 8 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
114, 5, 7, 10mp3an12i 1465 . . . . . . 7 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
1211fveq2d 6895 . . . . . 6 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜0))
13 re0 15098 . . . . . 6 (ā„œā€˜0) = 0
1412, 13eqtrdi 2788 . . . . 5 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = 0)
1514itgvallem3 25302 . . . 4 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) ā†’ (āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) = 0)
16 0re 11215 . . . 4 0 āˆˆ ā„
1715, 16eqeltrdi 2841 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) ā†’ (āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)
1817ralrimiva 3146 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ āˆ€š‘˜ āˆˆ (0...3)(āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)
19 eqidd 2733 . . 3 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)) = (š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)))
20 eqidd 2733 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
21 c0ex 11207 . . . . 5 0 āˆˆ V
2221fconst 6777 . . . 4 (š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0}
23 fdm 6726 . . . 4 ((š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0} ā†’ dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2521fvconst2 7204 . . . 4 (š‘„ āˆˆ š“ ā†’ ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2625adantl 482 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2719, 20, 24, 26isibl 25282 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ ((š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1 ā†” ((š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn āˆ§ āˆ€š‘˜ āˆˆ (0...3)(āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)))
283, 18, 27mpbir2and 711 1 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ā†’ wi 4   āˆ§ wa 396   āˆ§ w3a 1087   = wceq 1541   āˆˆ wcel 2106   ā‰  wne 2940  āˆ€wral 3061  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ā†¦ cmpt 5231   Ɨ cxp 5674  dom cdm 5676  āŸ¶wf 6539  ā€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  ā„‚cc 11107  ā„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   ā‰¤ cle 11248   / cdiv 11870  3c3 12267  ā„¤cz 12557  ...cfz 13483  ā†‘cexp 14026  ā„œcre 15043  volcvol 24979  MblFncmbf 25130  āˆ«2citg2 25132  šæ1cibl 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  itgge0  25327  itgfsum  25343  bddiblnc  25358
  Copyright terms: Public domain W3C validator