MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 24302
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 24333, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10622 . . 3 0 ∈ ℂ
2 mbfconst 24149 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
31, 2mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4 ax-icn 10585 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 ine0 11064 . . . . . . . 8 i ≠ 0
6 elfzelz 12898 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
76ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 expclz 13444 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9 expne0i 13451 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
108, 9div0d 11404 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
114, 5, 7, 10mp3an12i 1458 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1211fveq2d 6671 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13 re0 14501 . . . . . 6 (ℜ‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2877 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1514itgvallem3 24301 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16 0re 10632 . . . 4 0 ∈ ℝ
1715, 16syl6eqel 2926 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
1817ralrimiva 3187 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19 eqidd 2827 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20 eqidd 2827 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21 c0ex 10624 . . . . 5 0 ∈ V
2221fconst 6562 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23 fdm 6519 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2521fvconst2 6962 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2625adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2719, 20, 24, 26isibl 24281 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
283, 18, 27mpbir2and 709 1 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  dom cdm 5554  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  ici 10528  cle 10665   / cdiv 11286  3c3 11682  cz 11970  ...cfz 12882  cexp 13419  cre 14446  volcvol 23979  MblFncmbf 24130  2citg2 24132  𝐿1cibl 24133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xadd 12498  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-xmet 20454  df-met 20455  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135  df-itg1 24136  df-itg2 24137  df-ibl 24138  df-0p 24186
This theorem is referenced by:  itgge0  24326  itgfsum  24342  bddiblnc  34829
  Copyright terms: Public domain W3C validator