Theorem ibl0 25756

Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25787, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ibl0	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11136	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mbfconst 25602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11584	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
6		elfzelz 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		expclz 14019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		expne0i 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	8, 9	div0d 11928	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
11	4, 5, 7, 10	mp3an12i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
12	11	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13		re0 15087	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
15	14	itgvallem3 25755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
18	17	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst 6728	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23		fdm 6679	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
25	21	fvconst2 7160	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
27	19, 20, 24, 26	isibl 25734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	3, 18, 27	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  ici 11040   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  3c3 12213  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  ℜcre 15032  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  ∫₂citg2 25585  𝐿¹cibl 25586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-itg2 25590  df-ibl 25591  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  itgge0  25780  itgfsum  25796  bddiblnc  25811