Theorem ibl0 26100

Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 26131, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ibl0	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11291	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mbfconst 25947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4		ax-icn 11252	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11744	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
6		elfzelz 13649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		expclz 14220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		expne0i 14230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	8, 9	div0d 12085	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
11	4, 5, 7, 10	mp3an12i 1494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
12	11	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13		re0 15312	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
15	14	itgvallem3 26099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16		0re 11303	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
18	17	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21		c0ex 11293	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst 6766	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23		fdm 6717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
24	22, 23	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
25	21	fvconst2 7208	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
27	19, 20, 24, 26	isibl 26079	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	3, 18, 27	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  ici 11195   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  3c3 12391  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ↑cexp 14197  ℜcre 15257  volcvol 25777  MblFncmbf 25928  ∫₂citg2 25930  𝐿¹cibl 25931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xadd 13235  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-xmet 21664  df-met 21665  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933  df-itg1 25934  df-itg2 25935  df-ibl 25936  df-0p 25984

This theorem is used by:  itgge0  26124  itgfsum  26140  bddiblnc  26155