MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 25807
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25838, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11256 . . 3 0 ∈ ℂ
2 mbfconst 25653 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
31, 2mpan2 689 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4 ax-icn 11217 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 ine0 11699 . . . . . . . 8 i ≠ 0
6 elfzelz 13555 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
76ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 expclz 14104 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9 expne0i 14114 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
108, 9div0d 12040 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
114, 5, 7, 10mp3an12i 1462 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1211fveq2d 6905 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13 re0 15157 . . . . . 6 (ℜ‘0) = 0
1412, 13eqtrdi 2782 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1514itgvallem3 25806 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16 0re 11266 . . . 4 0 ∈ ℝ
1715, 16eqeltrdi 2834 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
1817ralrimiva 3136 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19 eqidd 2727 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20 eqidd 2727 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21 c0ex 11258 . . . . 5 0 ∈ V
2221fconst 6788 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23 fdm 6737 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2521fvconst2 7221 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2625adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2719, 20, 24, 26isibl 25786 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
283, 18, 27mpbir2and 711 1 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  ifcif 4533  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236   × cxp 5680  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  ici 11160  cle 11299   / cdiv 11921  3c3 12320  cz 12610  ...cfz 13538  cexp 14081  cre 15102  volcvol 25483  MblFncmbf 25634  2citg2 25636  𝐿1cibl 25637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-xmet 21336  df-met 21337  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-0p 25690
This theorem is referenced by:  itgge0  25831  itgfsum  25847  bddiblnc  25862
  Copyright terms: Public domain W3C validator