MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 25640
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25671, this does not require š“ to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (š“ ∈ dom vol → (š“ Ɨ {0}) ∈ šæ1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables š‘„ š‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11204 . . 3 0 ∈ ā„‚
2 mbfconst 25486 . . 3 ((š“ ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ā„‚) → (š“ Ɨ {0}) ∈ MblFn)
31, 2mpan2 688 . 2 (š“ ∈ dom vol → (š“ Ɨ {0}) ∈ MblFn)
4 ax-icn 11166 . . . . . . . 8 i ∈ ā„‚
5 ine0 11647 . . . . . . . 8 i ≠ 0
6 elfzelz 13499 . . . . . . . . 9 (š‘˜ ∈ (0...3) → š‘˜ ∈ ℤ)
76ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) ∧ š‘„ ∈ š“) → š‘˜ ∈ ℤ)
8 expclz 14048 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ā„‚ ∧ i ≠ 0 ∧ š‘˜ ∈ ℤ) → (iā†‘š‘˜) ∈ ā„‚)
9 expne0i 14058 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ā„‚ ∧ i ≠ 0 ∧ š‘˜ ∈ ℤ) → (iā†‘š‘˜) ≠ 0)
108, 9div0d 11987 . . . . . . . 8 ((i ∈ ā„‚ ∧ i ≠ 0 ∧ š‘˜ ∈ ℤ) → (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
114, 5, 7, 10mp3an12i 1461 . . . . . . 7 (((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) ∧ š‘„ ∈ š“) → (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
1211fveq2d 6886 . . . . . 6 (((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) ∧ š‘„ ∈ š“) → (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜0))
13 re0 15097 . . . . . 6 (ā„œā€˜0) = 0
1412, 13eqtrdi 2780 . . . . 5 (((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) ∧ š‘„ ∈ š“) → (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = 0)
1514itgvallem3 25639 . . . 4 ((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) → (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) = 0)
16 0re 11214 . . . 4 0 ∈ ā„
1715, 16eqeltrdi 2833 . . 3 ((š“ ∈ dom vol ∧ š‘˜ ∈ (0...3)) → (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) ∈ ā„)
1817ralrimiva 3138 . 2 (š“ ∈ dom vol → āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) ∈ ā„)
19 eqidd 2725 . . 3 (š“ ∈ dom vol → (š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)) = (š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)))
20 eqidd 2725 . . 3 ((š“ ∈ dom vol ∧ š‘„ ∈ š“) → (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
21 c0ex 11206 . . . . 5 0 ∈ V
2221fconst 6768 . . . 4 (š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0}
23 fdm 6717 . . . 4 ((š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0} → dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (š“ ∈ dom vol → dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2521fvconst2 7198 . . . 4 (š‘„ ∈ š“ → ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2625adantl 481 . . 3 ((š“ ∈ dom vol ∧ š‘„ ∈ š“) → ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2719, 20, 24, 26isibl 25619 . 2 (š“ ∈ dom vol → ((š“ Ɨ {0}) ∈ šæ1 ↔ ((š“ Ɨ {0}) ∈ MblFn ∧ āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ š“ ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) ∈ ā„)))
283, 18, 27mpbir2and 710 1 (š“ ∈ dom vol → (š“ Ɨ {0}) ∈ šæ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  āˆ€wral 3053  ifcif 4521  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Ɨ cxp 5665  dom cdm 5667  āŸ¶wf 6530  ā€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  ā„‚cc 11105  ā„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   ≤ cle 11247   / cdiv 11869  3c3 12266  ā„¤cz 12556  ...cfz 13482  ā†‘cexp 14025  ā„œcre 15042  volcvol 25316  MblFncmbf 25467  āˆ«2citg2 25469  šæ1cibl 25470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xadd 13091  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-sum 15631  df-xmet 21223  df-met 21224  df-ovol 25317  df-vol 25318  df-mbf 25472  df-itg1 25473  df-itg2 25474  df-ibl 25475  df-0p 25523
This theorem is referenced by:  itgge0  25664  itgfsum  25680  bddiblnc  25695
  Copyright terms: Public domain W3C validator