MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 25174
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25205, this does not require š“ to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables š‘„ š‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11155 . . 3 0 āˆˆ ā„‚
2 mbfconst 25020 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ 0 āˆˆ ā„‚) ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn)
31, 2mpan2 690 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn)
4 ax-icn 11118 . . . . . . . 8 i āˆˆ ā„‚
5 ine0 11598 . . . . . . . 8 i ā‰  0
6 elfzelz 13450 . . . . . . . . 9 (š‘˜ āˆˆ (0...3) ā†’ š‘˜ āˆˆ ā„¤)
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ š‘˜ āˆˆ ā„¤)
8 expclz 13999 . . . . . . . . 9 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (iā†‘š‘˜) āˆˆ ā„‚)
9 expne0i 14009 . . . . . . . . 9 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (iā†‘š‘˜) ā‰  0)
108, 9div0d 11938 . . . . . . . 8 ((i āˆˆ ā„‚ āˆ§ i ā‰  0 āˆ§ š‘˜ āˆˆ ā„¤) ā†’ (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
114, 5, 7, 10mp3an12i 1466 . . . . . . 7 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (0 / (iā†‘š‘˜)) = 0)
1211fveq2d 6850 . . . . . 6 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜0))
13 re0 15046 . . . . . 6 (ā„œā€˜0) = 0
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . 5 (((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = 0)
1514itgvallem3 25173 . . . 4 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) ā†’ (āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) = 0)
16 0re 11165 . . . 4 0 āˆˆ ā„
1715, 16eqeltrdi 2842 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘˜ āˆˆ (0...3)) ā†’ (āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)
1817ralrimiva 3140 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ āˆ€š‘˜ āˆˆ (0...3)(āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)
19 eqidd 2734 . . 3 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)) = (š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)))
20 eqidd 2734 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
21 c0ex 11157 . . . . 5 0 āˆˆ V
2221fconst 6732 . . . 4 (š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0}
23 fdm 6681 . . . 4 ((š“ Ɨ {0}):š“āŸ¶{0} ā†’ dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ dom (š“ Ɨ {0}) = š“)
2521fvconst2 7157 . . . 4 (š‘„ āˆˆ š“ ā†’ ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2625adantl 483 . . 3 ((š“ āˆˆ dom vol āˆ§ š‘„ āˆˆ š“) ā†’ ((š“ Ɨ {0})ā€˜š‘„) = 0)
2719, 20, 24, 26isibl 25153 . 2 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ ((š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1 ā†” ((š“ Ɨ {0}) āˆˆ MblFn āˆ§ āˆ€š‘˜ āˆˆ (0...3)(āˆ«2ā€˜(š‘„ āˆˆ ā„ ā†¦ if((š‘„ āˆˆ š“ āˆ§ 0 ā‰¤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))) āˆˆ ā„)))
283, 18, 27mpbir2and 712 1 (š“ āˆˆ dom vol ā†’ (š“ Ɨ {0}) āˆˆ šæ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ā†’ wi 4   āˆ§ wa 397   āˆ§ w3a 1088   = wceq 1542   āˆˆ wcel 2107   ā‰  wne 2940  āˆ€wral 3061  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ā†¦ cmpt 5192   Ɨ cxp 5635  dom cdm 5637  āŸ¶wf 6496  ā€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  ā„‚cc 11057  ā„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ā‰¤ cle 11198   / cdiv 11820  3c3 12217  ā„¤cz 12507  ...cfz 13433  ā†‘cexp 13976  ā„œcre 14991  volcvol 24850  MblFncmbf 25001  āˆ«2citg2 25003  šæ1cibl 25004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgge0  25198  itgfsum  25214  bddiblnc  25229
  Copyright terms: Public domain W3C validator