Theorem ibl0 25744

Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25775, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ibl0	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11124	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mbfconst 25590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4		ax-icn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11572	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
6		elfzelz 13440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		expclz 14007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		expne0i 14017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	8, 9	div0d 11916	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
11	4, 5, 7, 10	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
12	11	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13		re0 15075	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
15	14	itgvallem3 25743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
18	17	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21		c0ex 11126	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst 6720	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23		fdm 6671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
25	21	fvconst2 7150	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
27	19, 20, 24, 26	isibl 25722	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	3, 18, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  ici 11028   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  3c3 12201  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  ℜcre 15020  volcvol 25420  MblFncmbf 25571  ∫₂citg2 25573  𝐿¹cibl 25574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-0p 25627

This theorem is referenced by:  itgge0  25768  itgfsum  25784  bddiblnc  25799