Theorem ibl0 25914

Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25945, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ibl0	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11197	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mbfconst 25760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4		ax-icn 11158	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 11648	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
6		elfzelz 13551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		expclz 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9		expne0i 14129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	8, 9	div0d 11989	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
11	4, 5, 7, 10	mp3an12i 1491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
12	11	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
13		re0 15202	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
15	14	itgvallem3 25913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
16		0re 11209	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	eqeltrdi 2877	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
18	17	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
19		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
20		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
21		c0ex 11199	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst 6765	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23		fdm 6716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
24	22, 23	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
25	21	fvconst2 7203	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
26	25	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
27	19, 20, 24, 26	isibl 25892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
28	3, 18, 27	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  ici 11101   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  3c3 12295  ℤcz 12590  ...cfz 13534  ↑cexp 14096  ℜcre 15147  volcvol 25590  MblFncmbf 25741  ∫₂citg2 25743  𝐿¹cibl 25744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-xmet 21483  df-met 21484  df-ovol 25591  df-vol 25592  df-mbf 25746  df-itg1 25747  df-itg2 25748  df-ibl 25749  df-0p 25797

This theorem is referenced by:  itgge0  25938  itgfsum  25954  bddiblnc  25969