Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem3 24828
 Description: Lemma for elqaa 24829. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
elqaa.4 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
elqaalem3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqaa.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cnex 10607 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4 elqaa.6 . . . . . . . . 9 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
54fvexi 6681 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
7 fvexd 6682 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ V)
8 fconstmpt 5613 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
10 elqaa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
1110eldifad 3952 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12 plyf 24706 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1413feqmptd 6730 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
153, 6, 7, 9, 14offval2 7416 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))))
16 fzfid 13331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
17 nn0uz 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
18 0zd 11982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19 ssrab2 4060 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
20 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑚))
2120oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵𝑘) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · 𝑛))
2221eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
2322rabbidv 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
2423infeq1d 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25 elqaa.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26 ltso 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ
2726infex 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30 nnuz 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
3119, 30sseqtri 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1)
32 0z 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℤ
33 zq 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℚ
35 elqaa.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵 = (coeff‘𝐹)
3635coef2 24739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3711, 34, 36sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3837ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℚ)
39 qmulz 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41 rabn0 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4240, 41sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
43 infssuzcl 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4431, 42, 43sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4529, 44eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4619, 45sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
47 nnmulcl 11650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
4917, 18, 46, 48seqf 13381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
50 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5111, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5249, 51ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
534, 52eqeltrid 2922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5453nncnd 11643 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
56 elfznn0 12990 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5735coef3 24740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
5811, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
6059ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
61 expcl 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6261adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6360, 62mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6456, 63sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6516, 55, 64fsummulc2 15129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
66 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
6735, 66coeid2 24747 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
6811, 67sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
6968oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7055adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
7170, 60, 62mulassd 10653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7256, 71sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7372sumeq2dv 15050 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7465, 69, 733eqtr4d 2871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)))
7574mpteq2dva 5158 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
7615, 75eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
77 zsscn 11978 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
7954adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
8046nncnd 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℂ)
8146nnne0d 11676 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ≠ 0)
8279, 80, 81divcan2d 11407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = 𝑅)
8382oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8458ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
8579, 80, 81divcld 11405 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℂ)
8684, 80, 85mulassd 10653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))))
8779, 84mulcomd 10651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8883, 86, 873eqtr4rd 2872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
8956, 88sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
90 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑁𝑚) → ((𝐵𝑚) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)))
9190eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁𝑚) → (((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9291elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9392simprbi 497 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9445, 93syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9556, 94sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
96 elqaa.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
97 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚)))
981, 10, 96, 35, 25, 4, 97elqaalem2 24827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0)
9953adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
10056, 46sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
101 nnre 11634 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
102 nnrp 12390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ ℕ → (𝑁𝑚) ∈ ℝ+)
103 mod0 13234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
104101, 102, 103syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
10599, 100, 104syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
10698, 105mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
10795, 106zmulcld 12082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) ∈ ℤ)
10889, 107eqeltrd 2918 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) ∈ ℤ)
10978, 51, 108elplyd 24710 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
11076, 109eqeltrd 2918 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
111 eldifsn 4718 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
11210, 111sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113112simprd 496 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
114 oveq1 7155 . . . . . . 7 (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝f / (ℂ × {𝑅})))
11513ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
11653nnne0d 11676 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ≠ 0)
117116adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
118115, 55, 117divcan3d 11410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅) = (𝐹𝑧))
119118mpteq2dva 5158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
120 ovexd 7183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) ∈ V)
1213, 120, 6, 15, 9offval2 7416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)))
122119, 121, 143eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
12354, 116div0d 11404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
124123mpteq2dv 5159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
125 0cnd 10623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
126 df-0p 24189 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
127 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
128126, 127eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
1303, 125, 6, 129, 9offval2 7416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0𝑝f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
131124, 130, 1293eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0𝑝f / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
132122, 131eqeq12d 2842 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝f / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
133114, 132syl5ib 245 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
134133necon3d 3042 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
135113, 134mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝)
136 eldifsn 4718 . . . 4 (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
137110, 135, 136sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
1385fconst 6562 . . . . . . 7 (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
139 ffn 6511 . . . . . . 7 ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
140138, 139mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
14113ffnd 6512 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
142 inidm 4199 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1435fvconst2 6962 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
144143adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
14596adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) = 0)
146140, 141, 3, 3, 142, 144, 145ofval 7408 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
1471, 146mpdan 683 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
14854mul01d 10828 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
149147, 148eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0)
150 fveq1 6666 . . . . 5 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → (𝑓𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴))
151150eqeq1d 2828 . . . 4 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0))
152151rspcev 3627 . . 3 ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
153137, 149, 152syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
154 elaa 24823 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
1551, 153, 154sylanbrc 583 1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∃wrex 3144  {crab 3147  Vcvv 3500   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  {csn 4564   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150   ∘f cof 7397  infcinf 8894  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   / cdiv 11286  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  ℚcq 12337  ℝ+crp 12379  ...cfz 12882   mod cmo 13227  seqcseq 13359  ↑cexp 13419  Σcsu 15032  0𝑝c0p 24188  Polycply 24692  coeffccoe 24694  degcdgr 24695  𝔸caa 24821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-0p 24189  df-ply 24696  df-coe 24698  df-dgr 24699  df-aa 24822 This theorem is referenced by:  elqaa  24829
 Copyright terms: Public domain W3C validator