Theorem elqaalem3 26306

Description: Lemma for elqaa 26307. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnex 11111	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
5	4	fvexi 6842	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
7		fvexd 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ V)
8		fconstmpt 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
10		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
11	10	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		plyf 26182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	13	feqmptd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	3, 6, 7, 9, 14	offval2 7641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))))
16		fzfid 13927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
17		nn0uz 12818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		0zd 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19		ssrab2 4012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
20		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
21	20	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
22	21	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
23	22	rabbidv 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
24	23	infeq1d 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26		ltso 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ
27	26	infex 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30		nnuz 12819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	19, 30	sseqtri 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
32		0z 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		zq 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℚ
35		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
36	35	coef2 26215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
37	11, 34, 36	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
38	37	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℚ)
39		qmulz 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41		rabn0 4318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
42	40, 41	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
43		infssuzcl 12874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
44	31, 42, 43	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
45	29, 44	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
46	19, 45	sselid 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
47		nnmulcl 12190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
49	17, 18, 46, 48	seqf 13977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
50		dgrcl 26217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
51	11, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	49, 51	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
53	4, 52	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
54	53	nncnd 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
56		elfznn0 13566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
57	35	coef3 26216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
58	11, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
60	59	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
61		expcl 14033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
62	61	adantll 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
64	56, 63	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
65	16, 55, 64	fsummulc2 15738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
66		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
67	35, 66	coeid2 26223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
68	11, 67	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
69	68	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
70	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
71	70, 60, 62	mulassd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
72	56, 71	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
73	72	sumeq2dv 15656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
74	65, 69, 73	3eqtr4d 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)))
75	74	mpteq2dva 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
76	15, 75	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
77		zsscn 12524	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
79	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
80	46	nncnd 12182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℂ)
81	46	nnne0d 12219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ≠ 0)
82	79, 80, 81	divcan2d 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = 𝑅)
83	82	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
84	58	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
85	79, 80, 81	divcld 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℂ)
86	84, 80, 85	mulassd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))))
87	79, 84	mulcomd 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
88	83, 86, 87	3eqtr4rd 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
89	56, 88	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
90		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)))
91	90	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → (((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
92	91	elrab 3629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
93	92	simprbi 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
94	45, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
95	56, 94	sylan2 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
96		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
97		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚)))
98	1, 10, 96, 35, 25, 4, 97	elqaalem2 26305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0)
99	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
100	56, 46	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
101		nnre 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
102		nnrp 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ → (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+)
103		mod0 13827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
104	101, 102, 103	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
105	99, 100, 104	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
106	98, 105	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
107	95, 106	zmulcld 12631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) ∈ ℤ)
108	89, 107	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) ∈ ℤ)
109	78, 51, 108	elplyd 26186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
110	76, 109	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
111		eldifsn 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
112	10, 111	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113	112	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
114		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})))
115	13	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
116	53	nnne0d 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
118	115, 55, 117	divcan3d 11928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅) = (𝐹‘𝑧))
119	118	mpteq2dva 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
120		ovexd 7392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
121	3, 120, 6, 15, 9	offval2 7641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)))
122	119, 121, 14	3eqtr4d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
123	54, 116	div0d 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
124	123	mpteq2dv 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
125		0cnd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
126		df-0p 25656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
127		fconstmpt 5681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
128	126, 127	eqtri 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
130	3, 125, 6, 129, 9	offval2 7641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
131	124, 130, 129	3eqtr4d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
132	122, 131	eqeq12d 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
133	114, 132	imbitrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → 𝐹 = 0𝑝))
134	133	necon3d 2955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
135	113, 134	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝)
136		eldifsn 4720	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
137	110, 135, 136	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
138	5	fconst 6714	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
139		ffn 6656	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
140	138, 139	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
141	13	ffnd 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
142		inidm 4156	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
143	5	fvconst2 7149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
144	143	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
145	96	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = 0)
146	140, 141, 3, 3, 142, 144, 145	ofval 7632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
147	1, 146	mpdan 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
148	54	mul01d 11337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
149	147, 148	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0)
150		fveq1 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴))
151	150	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0))
152	151	rspcev 3560	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
153	137, 149, 152	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
154		elaa 26301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
155	1, 153, 154	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  {csn 4556   ↦ cmpt 5154   × cxp 5617   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ∘_f cof 7619  infcinf 9345  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11171   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ℚcq 12890  ℝ⁺crp 12934  ...cfz 13453   mod cmo 13820  seqcseq 13955  ↑cexp 14015  Σcsu 15640  0_𝑝c0p 25655  Polycply 26168  coeffccoe 26170  degcdgr 26171  𝔸caa 26299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-0p 25656  df-ply 26172  df-coe 26174  df-dgr 26175  df-aa 26300

This theorem is referenced by:  elqaa  26307