MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem3 24381
Description: Lemma for elqaa 24382. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
elqaa.4 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
elqaalem3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqaa.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cnex 10274 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4 elqaa.6 . . . . . . . . 9 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
54fvexi 6393 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
7 fvexd 6394 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ V)
8 fconstmpt 5335 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
10 elqaa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
1110eldifad 3746 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12 plyf 24259 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1413feqmptd 6442 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
153, 6, 7, 9, 14offval2 7116 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))))
16 fzfid 12985 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
17 nn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
18 0zd 11640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
20 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑚))
2120oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵𝑘) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · 𝑛))
2221eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
2322rabbidv 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
2423infeq1d 8594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25 elqaa.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26 ltso 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ
2726infex 8610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
2824, 25, 27fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30 nnuz 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
3119, 30sseqtri 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1)
32 0z 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℤ
33 zq 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℚ
35 elqaa.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐵 = (coeff‘𝐹)
3635coef2 24292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3711, 34, 36sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℚ)
3837ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℚ)
39 qmulz 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41 rabn0 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
4240, 41sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
43 infssuzcl 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4431, 42, 43sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4529, 44eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
4619, 45sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
47 nnmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
4917, 18, 46, 48seqf 13034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
50 dgrcl 24294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5111, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
5249, 51ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
534, 52syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
5453nncnd 11296 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5554adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
56 elfznn0 12645 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5735coef3 24293 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
5811, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
6059ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
61 expcl 13090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6261adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑚) ∈ ℂ)
6360, 62mulcld 10318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6456, 63sylan2 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) ∈ ℂ)
6516, 55, 64fsummulc2 14814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
66 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
6735, 66coeid2 24300 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
6811, 67sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)))
6968oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7055adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
7170, 60, 62mulassd 10321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7256, 71sylan2 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7372sumeq2dv 14732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))))
7465, 69, 733eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚)))
7574mpteq2dva 4905 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
7615, 75eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))))
77 zsscn 11636 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
7954adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
8046nncnd 11296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ∈ ℂ)
8146nnne0d 11326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑚) ≠ 0)
8279, 80, 81divcan2d 11061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = 𝑅)
8382oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8458ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑚) ∈ ℂ)
8579, 80, 81divcld 11059 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℂ)
8684, 80, 85mulassd 10321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) = ((𝐵𝑚) · ((𝑁𝑚) · (𝑅 / (𝑁𝑚)))))
8779, 84mulcomd 10319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = ((𝐵𝑚) · 𝑅))
8883, 86, 873eqtr4rd 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
8956, 88sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) = (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))))
90 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑁𝑚) → ((𝐵𝑚) · 𝑛) = ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)))
9190eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁𝑚) → (((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9291elrab 3521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
9392simprbi 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9445, 93syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
9556, 94sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
96 elqaa.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
97 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁𝑚)))
981, 10, 96, 35, 25, 4, 97elqaalem2 24380 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0)
9953adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
10056, 46sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁𝑚) ∈ ℕ)
101 nnre 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
102 nnrp 12046 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑚) ∈ ℕ → (𝑁𝑚) ∈ ℝ+)
103 mod0 12888 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
104101, 102, 103syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
10599, 100, 104syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ))
10698, 105mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁𝑚)) ∈ ℤ)
10795, 106zmulcld 11740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵𝑚) · (𝑁𝑚)) · (𝑅 / (𝑁𝑚))) ∈ ℤ)
10889, 107eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵𝑚)) ∈ ℤ)
10978, 51, 108elplyd 24263 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵𝑚)) · (𝑧𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
11076, 109eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
111 eldifsn 4474 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
11210, 111sylib 209 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113112simprd 489 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
114 oveq1 6853 . . . . . . 7 (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})))
11513ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
11653nnne0d 11326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ≠ 0)
117116adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
118115, 55, 117divcan3d 11064 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅) = (𝐹𝑧))
119118mpteq2dva 4905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
120 ovexd 6880 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹𝑧)) ∈ V)
1213, 120, 6, 15, 9offval2 7116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹𝑧)) / 𝑅)))
122119, 121, 143eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
12354, 116div0d 11058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
124123mpteq2dv 4906 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
125 0cnd 10290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
126 df-0p 23742 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
127 fconstmpt 5335 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
128126, 127eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
1303, 125, 6, 129, 9offval2 7116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
131124, 130, 1293eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
132122, 131eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝𝑓 / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
133114, 132syl5ib 235 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
134133necon3d 2958 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
135113, 134mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝)
136 eldifsn 4474 . . . 4 (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
137110, 135, 136sylanbrc 578 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
1385fconst 6275 . . . . . . 7 (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
139 ffn 6225 . . . . . . 7 ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
140138, 139mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
14113ffnd 6226 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
142 inidm 3984 . . . . . 6 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1435fvconst2 6666 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
144143adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
14596adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) = 0)
146140, 141, 3, 3, 142, 144, 145ofval 7108 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
1471, 146mpdan 678 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
14854mul01d 10493 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
149147, 148eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0)
150 fveq1 6378 . . . . 5 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → (𝑓𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴))
151150eqeq1d 2767 . . . 4 (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0))
152151rspcev 3462 . . 3 ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
153137, 149, 152syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
154 elaa 24376 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
1551, 153, 154sylanbrc 578 1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3731  wss 3734  c0 4081  {csn 4336  cmpt 4890   × cxp 5277   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cmpt2 6848  𝑓 cof 7097  infcinf 8558  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   · cmul 10198   < clt 10332   / cdiv 10942  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  cq 11994  +crp 12033  ...cfz 12538   mod cmo 12881  seqcseq 13013  cexp 13072  Σcsu 14715  0𝑝c0p 23741  Polycply 24245  coeffccoe 24247  degcdgr 24248  𝔸caa 24374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-0p 23742  df-ply 24249  df-coe 24251  df-dgr 24252  df-aa 24375
This theorem is referenced by:  elqaa  24382
  Copyright terms: Public domain W3C validator