Theorem elqaalem3 26378

Description: Lemma for elqaa 26379. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnex 11234	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
5	4	fvexi 6921	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
7		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ V)
8		fconstmpt 5751	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
10		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
11	10	eldifad 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		plyf 26252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	13	feqmptd 6977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	3, 6, 7, 9, 14	offval2 7717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))))
16		fzfid 14011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
17		nn0uz 12918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		0zd 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19		ssrab2 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
20		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
21	20	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
22	21	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
23	22	rabbidv 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
24	23	infeq1d 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26		ltso 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ
27	26	infex 9531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	19, 30	sseqtri 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
32		0z 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		zq 12994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℚ
35		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
36	35	coef2 26285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
37	11, 34, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
38	37	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℚ)
39		qmulz 12991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41		rabn0 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
43		infssuzcl 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
44	31, 42, 43	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
45	29, 44	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
46	19, 45	sselid 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
47		nnmulcl 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
49	17, 18, 46, 48	seqf 14061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
50		dgrcl 26287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
51	11, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	49, 51	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
53	4, 52	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
54	53	nncnd 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
56		elfznn0 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
57	35	coef3 26286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
58	11, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
60	59	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
61		expcl 14117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
62	61	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
64	56, 63	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
65	16, 55, 64	fsummulc2 15817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
66		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
67	35, 66	coeid2 26293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
68	11, 67	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
69	68	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
70	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
71	70, 60, 62	mulassd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
72	56, 71	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
73	72	sumeq2dv 15735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
74	65, 69, 73	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)))
75	74	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
76	15, 75	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
77		zsscn 12619	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
79	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
80	46	nncnd 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℂ)
81	46	nnne0d 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ≠ 0)
82	79, 80, 81	divcan2d 12043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = 𝑅)
83	82	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
84	58	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
85	79, 80, 81	divcld 12041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℂ)
86	84, 80, 85	mulassd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))))
87	79, 84	mulcomd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
88	83, 86, 87	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
89	56, 88	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
90		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)))
91	90	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → (((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
92	91	elrab 3695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
93	92	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
94	45, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
95	56, 94	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
96		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
97		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚)))
98	1, 10, 96, 35, 25, 4, 97	elqaalem2 26377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0)
99	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
100	56, 46	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
101		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
102		nnrp 13044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ → (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+)
103		mod0 13913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
104	101, 102, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
105	99, 100, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
106	98, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
107	95, 106	zmulcld 12726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) ∈ ℤ)
108	89, 107	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) ∈ ℤ)
109	78, 51, 108	elplyd 26256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
110	76, 109	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
111		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
112	10, 111	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113	112	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
114		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})))
115	13	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
116	53	nnne0d 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
118	115, 55, 117	divcan3d 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅) = (𝐹‘𝑧))
119	118	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
120		ovexd 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
121	3, 120, 6, 15, 9	offval2 7717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)))
122	119, 121, 14	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
123	54, 116	div0d 12040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
124	123	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
125		0cnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
126		df-0p 25719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
127		fconstmpt 5751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
128	126, 127	eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
130	3, 125, 6, 129, 9	offval2 7717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
131	124, 130, 129	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
132	122, 131	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
133	114, 132	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → 𝐹 = 0𝑝))
134	133	necon3d 2959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
135	113, 134	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝)
136		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
137	110, 135, 136	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
138	5	fconst 6795	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
139		ffn 6737	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
140	138, 139	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
141	13	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
142		inidm 4235	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
143	5	fvconst2 7224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
144	143	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
145	96	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = 0)
146	140, 141, 3, 3, 142, 144, 145	ofval 7708	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
147	1, 146	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
148	54	mul01d 11458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
149	147, 148	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0)
150		fveq1 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴))
151	150	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0))
152	151	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
153	137, 149, 152	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
154		elaa 26373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
155	1, 153, 154	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695  infcinf 9479  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℚcq 12988  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544   mod cmo 13906  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  Σcsu 15719  0_𝑝c0p 25718  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241  𝔸caa 26371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-aa 26372

This theorem is referenced by:  elqaa  26379