Theorem elqaalem3 26210

Description: Lemma for elqaa 26211. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnex 11078	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
5	4	fvexi 6830	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
7		fvexd 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ V)
8		fconstmpt 5675	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
10		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
11	10	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		plyf 26084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	13	feqmptd 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
15	3, 6, 7, 9, 14	offval2 7624	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))))
16		fzfid 13868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
17		nn0uz 12765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		0zd 12471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
19		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
20		fveq2 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
21	20	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
22	21	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
23	22	rabbidv 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
24	23	infeq1d 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
25		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26		ltso 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ
27	26	infex 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
28	24, 25, 27	fvmpt 6923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30		nnuz 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31	19, 30	sseqtri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
32		0z 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		zq 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℚ
35		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
36	35	coef2 26117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
37	11, 34, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
38	37	ffvelcdmda 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℚ)
39		qmulz 12840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41		rabn0 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
43		infssuzcl 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
44	31, 42, 43	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
45	29, 44	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
46	19, 45	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
47		nnmulcl 12140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
49	17, 18, 46, 48	seqf 13918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
50		dgrcl 26119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
51	11, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	49, 51	ffvelcdmd 7012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
53	4, 52	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
54	53	nncnd 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
56		elfznn0 13511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
57	35	coef3 26118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
58	11, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
60	59	ffvelcdmda 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
61		expcl 13974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
62	61	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
64	56, 63	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
65	16, 55, 64	fsummulc2 15678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
66		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
67	35, 66	coeid2 26125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
68	11, 67	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
69	68	oveq2d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
70	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
71	70, 60, 62	mulassd 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
72	56, 71	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
73	72	sumeq2dv 15596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
74	65, 69, 73	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)))
75	74	mpteq2dva 5181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
76	15, 75	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
77		zsscn 12467	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
79	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
80	46	nncnd 12132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℂ)
81	46	nnne0d 12166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ≠ 0)
82	79, 80, 81	divcan2d 11890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = 𝑅)
83	82	oveq2d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
84	58	ffvelcdmda 7011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
85	79, 80, 81	divcld 11888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℂ)
86	84, 80, 85	mulassd 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))))
87	79, 84	mulcomd 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
88	83, 86, 87	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
89	56, 88	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
90		oveq2 7348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)))
91	90	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → (((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
92	91	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
93	92	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
94	45, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
95	56, 94	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
96		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
97		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚)))
98	1, 10, 96, 35, 25, 4, 97	elqaalem2 26209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0)
99	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
100	56, 46	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
101		nnre 12123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
102		nnrp 12893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ → (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+)
103		mod0 13768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
104	101, 102, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
105	99, 100, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
106	98, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
107	95, 106	zmulcld 12574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) ∈ ℤ)
108	89, 107	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) ∈ ℤ)
109	78, 51, 108	elplyd 26088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
110	76, 109	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
111		eldifsn 4735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
112	10, 111	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113	112	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
114		oveq1 7347	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})))
115	13	ffvelcdmda 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
116	53	nnne0d 12166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
118	115, 55, 117	divcan3d 11893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅) = (𝐹‘𝑧))
119	118	mpteq2dva 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
120		ovexd 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
121	3, 120, 6, 15, 9	offval2 7624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)))
122	119, 121, 14	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
123	54, 116	div0d 11887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
124	123	mpteq2dv 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
125		0cnd 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
126		df-0p 25552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
127		fconstmpt 5675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
128	126, 127	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
130	3, 125, 6, 129, 9	offval2 7624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
131	124, 130, 129	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
132	122, 131	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∘f / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘f / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
133	114, 132	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) = 0𝑝 → 𝐹 = 0𝑝))
134	133	necon3d 2946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
135	113, 134	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝)
136		eldifsn 4735	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ≠ 0𝑝))
137	110, 135, 136	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
138	5	fconst 6704	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
139		ffn 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
140	138, 139	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
141	13	ffnd 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
142		inidm 4174	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
143	5	fvconst2 7132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
144	143	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
145	96	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = 0)
146	140, 141, 3, 3, 142, 144, 145	ofval 7615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
147	1, 146	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
148	54	mul01d 11303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
149	147, 148	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0)
150		fveq1 6815	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴))
151	150	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0))
152	151	rspcev 3574	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘f · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
153	137, 149, 152	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
154		elaa 26205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
155	1, 153, 154	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3392  Vcvv 3433   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4573   ↦ cmpt 5169   × cxp 5611   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ∈ cmpo 7342   ∘_f cof 7602  infcinf 9319  ℂcc 10995  ℝcr 10996  0cc0 10997  1c1 10998   · cmul 11002   < clt 11137   / cdiv 11765  ℕcn 12116  ℕ₀cn0 12372  ℤcz 12459  ℤ_≥cuz 12723  ℚcq 12837  ℝ⁺crp 12881  ...cfz 13398   mod cmo 13761  seqcseq 13896  ↑cexp 13956  Σcsu 15580  0_𝑝c0p 25551  Polycply 26070  coeffccoe 26072  degcdgr 26073  𝔸caa 26203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15581  df-0p 25552  df-ply 26074  df-coe 26076  df-dgr 26077  df-aa 26204

This theorem is referenced by:  elqaa  26211