Theorem dvsconst 39362

Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 𝐴 even if 𝑆 is ℝ. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsconst	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Proof of Theorem dvsconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6331	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2	1	anim2i 610	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ))
3		recnprss 24067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		c0ex 10350	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6328	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
6	5	fdmi 6288	. . . . . . 7 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
7	3, 6	syl6sseqr 3877	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
8	7	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
9		dvconst 24079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
10	9	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	10	dmeqd 5558	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
12	8, 11	sseqtr4d 3867	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
13		ssid 3848	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
14	12, 13	jctil 515	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴}))))
15		dvres3 24076	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
16	2, 14, 15	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
17		xpssres 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
19	18	oveq2d 6921	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
20	19	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
21	10	reseq1d 5628	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
22		xpssres 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
24	23	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
25	21, 24	eqtrd 2861	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2869	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  {csn 4397  {cpr 4399   × cxp 5340  dom cdm 5342   ↾ cres 5344  ⟶wf 6119  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252   D cdv 24026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-icc 12470  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030

This theorem is referenced by:  dvconstbi  39366