Theorem dvsconst 44897

Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 𝐴 even if 𝑆 is ℝ. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsconst	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Proof of Theorem dvsconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2	1	anim2i 626	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ))
3		recnprss 25973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		c0ex 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6750	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
6	5	fdmi 6703	. . . . . . 7 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
7	3, 6	sseqtrrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
8	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
9		dvconst 25986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
10	9	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	10	dmeqd 5882	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
12	8, 11	sseqtrrd 3974	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
13		ssid 3959	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
14	12, 13	jctil 527	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴}))))
15		dvres3 25982	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
16	2, 14, 15	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
17		xpssres 6004	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
19	18	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
21	10	reseq1d 5964	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
22		xpssres 6004	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
24	23	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
25	21, 24	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4583  {cpr 4585   × cxp 5646  dom cdm 5648   ↾ cres 5650  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084   D cdv 25932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13366  df-fz 13523  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-rest 17461  df-topn 17462  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-cncf 24947  df-limc 25935  df-dv 25936

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44901