Theorem dvsconst 44303

Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 𝐴 even if 𝑆 is ℝ. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsconst	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Proof of Theorem dvsconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2	1	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ))
3		recnprss 25821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		c0ex 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
6	5	fdmi 6667	. . . . . . 7 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
7	3, 6	sseqtrrdi 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
9		dvconst 25834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	10	dmeqd 5852	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
12	8, 11	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
13		ssid 3960	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
14	12, 13	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴}))))
15		dvres3 25830	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
16	2, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
17		xpssres 5973	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
19	18	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
21	10	reseq1d 5933	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
22		xpssres 5973	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
25	21, 24	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581   × cxp 5621  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44307