Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsconst Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvsconst 43662
Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 𝐴 even if 𝑆 is ℝ. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsconst ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
Proof of Theorem dvsconst
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6774 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
21anim2i 616 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚))
3 recnprss 25788 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 c0ex 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
54fconst 6771 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {0}):β„‚βŸΆ{0}
65fdmi 6723 . . . . . . 7 dom (β„‚ Γ— {0}) = β„‚
73, 6sseqtrrdi 4028 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ Γ— {0}))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ Γ— {0}))
9 dvconst 25801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
1110dmeqd 5899 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = dom (β„‚ Γ— {0}))
128, 11sseqtrrd 4018 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))
13 ssid 3999 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
1412, 13jctil 519 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴}))))
15 dvres3 25797 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
162, 14, 15syl2anc 583 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
17 xpssres 6012 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
183, 17syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
1918oveq2d 7421 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
2019adantr 480 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
2110reseq1d 5974 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆))
22 xpssres 6012 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
2423adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
2521, 24eqtrd 2766 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
2616, 20, 253eqtr3d 2774 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvconstbi  43666
  Copyright terms: Public domain W3C validator