Theorem dvsconst 44428

Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 𝐴 even if 𝑆 is ℝ. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvsconst	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Proof of Theorem dvsconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6718	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2	1	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ))
3		recnprss 25838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		c0ex 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fconst 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
6	5	fdmi 6668	. . . . . . 7 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
7	3, 6	sseqtrrdi 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ × {0}))
9		dvconst 25851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	10	dmeqd 5850	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
12	8, 11	sseqtrrd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
13		ssid 3952	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
14	12, 13	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴}))))
15		dvres3 25847	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
16	2, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
17		xpssres 5972	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
19	18	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
21	10	reseq1d 5932	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
22		xpssres 5972	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
25	21, 24	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {csn 4575  {cpr 4577   × cxp 5617  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ⟶wf 6483  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012   D cdv 25797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-icc 13258  df-fz 13414  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-rest 17332  df-topn 17333  df-topgen 17353  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44432