Theorem hashinf 14362

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3478	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		eldif 3917	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3		df-hash 14358	. . . . . . 7 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
4	3	reseq1i 5965	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin))
5		resundir 5984	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)))
6		disjdif 4429	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
7		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
9	7, 8	hashkf 14359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
10		ffn 6695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
11		fnresdisj 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅)
13	6, 12	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅
14		pnfex 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ V
15	14	fconst 6754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
16		ffn 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
17		fnresdm 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞}))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
19	13, 18	uneq12i 4122	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20		uncom 4114	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) = (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅)
21		un0 4351	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
22	19, 20, 21	3eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
23	4, 5, 22	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
24	23	fveq1i 6872	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴)
25		fvres 6890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (♯‘𝐴))
26	14	fvconst2 7192	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴) = +∞)
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 27	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
29	1, 28	sylan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ωcom 7850  reccrdg 8384  Fincfn 8931  cardccrd 9909  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  +∞cpnf 11228  ℕ₀cn0 12495  ♯chash 14357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-hash 14358

This theorem is referenced by:  hashbnd  14363  hasheni  14375  hasheqf1oi  14378  hashclb  14385  nfile  14386  hasheq0  14390  hashdom  14406  hashdomi  14407  hashunx  14413  hashge1  14416  hashss  14436  hash1snb  14446  hashfundm  14469  hashge2el2dif  14507  odhash  19635  lt6abl  19956  upgrfi  29350  hashxpe  33064  lbslelsp  33905  esumpinfsum  34384  hasheuni  34392  pgrpgt2nabl  48997