Theorem hashinf 13745

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		eldif 3868	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3		df-hash 13741	. . . . . . 7 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
4	3	reseq1i 5819	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin))
5		resundir 5838	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)))
6		disjdif 4368	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
7		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
9	7, 8	hashkf 13742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
10		ffn 6498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
11		fnresdisj 6450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅)
13	6, 12	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅
14		pnfex 10732	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ V
15	14	fconst 6550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
16		ffn 6498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
17		fnresdm 6449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞}))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
19	13, 18	uneq12i 4066	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20		uncom 4058	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) = (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅)
21		un0 4286	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
22	19, 20, 21	3eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
23	4, 5, 22	3eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
24	23	fveq1i 6659	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴)
25		fvres 6677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (♯‘𝐴))
26	14	fvconst2 6957	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴) = +∞)
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 27	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
29	1, 28	sylan 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  {csn 4522   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522   ↾ cres 5526   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ωcom 7579  reccrdg 8055  Fincfn 8527  cardccrd 9397  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  +∞cpnf 10710  ℕ₀cn0 11934  ♯chash 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-hash 13741

This theorem is referenced by:  hashbnd  13746  hasheni  13758  hasheqf1oi  13762  hashclb  13769  nfile  13770  hasheq0  13774  hashdom  13790  hashdomi  13791  hashunx  13797  hashge1  13800  hashss  13820  hash1snb  13830  hashge2el2dif  13890  odhash  18766  lt6abl  19083  upgrfi  26983  hashxpe  30651  esumpinfsum  31564  hasheuni  31572  hashfundm  32582  pgrpgt2nabl  45135