MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashinf 14291
Description: The value of the β™― function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
Proof of Theorem hashinf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
2 eldif 3957 . . 3 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin))
3 df-hash 14287 . . . . . . 7 β™― = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
43reseq1i 5975 . . . . . 6 (β™― β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ (V βˆ– Fin))
5 resundir 5994 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)))
6 disjdif 4470 . . . . . . . . 9 (Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ…
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
97, 8hashkf 14288 . . . . . . . . . 10 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0
10 ffn 6714 . . . . . . . . . 10 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin)
11 fnresdisj 6667 . . . . . . . . . 10 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin β†’ ((Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ… ↔ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ… ↔ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…)
136, 12mpbi 229 . . . . . . . 8 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…
14 pnfex 11263 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ V
1514fconst 6774 . . . . . . . . 9 ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞}
16 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞} β†’ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin))
17 fnresdm 6666 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
1913, 18uneq12i 4160 . . . . . . 7 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin))) = (βˆ… βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
20 uncom 4152 . . . . . . 7 (βˆ… βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) = (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) βˆͺ βˆ…)
21 un0 4389 . . . . . . 7 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) βˆͺ βˆ…) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
2219, 20, 213eqtri 2764 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin))) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
234, 5, 223eqtri 2764 . . . . 5 (β™― β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
2423fveq1i 6889 . . . 4 ((β™― β†Ύ (V βˆ– Fin))β€˜π΄) = (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})β€˜π΄)
25 fvres 6907 . . . 4 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ ((β™― β†Ύ (V βˆ– Fin))β€˜π΄) = (β™―β€˜π΄))
2614fvconst2 7201 . . . 4 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})β€˜π΄) = +∞)
2724, 25, 263eqtr3a 2796 . . 3 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
282, 27sylbir 234 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
291, 28sylan 580 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851  reccrdg 8405  Fincfn 8935  cardccrd 9926  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  hashbnd  14292  hasheni  14304  hasheqf1oi  14307  hashclb  14314  nfile  14315  hasheq0  14319  hashdom  14335  hashdomi  14336  hashunx  14342  hashge1  14345  hashss  14365  hash1snb  14375  hashfundm  14398  hashge2el2dif  14437  odhash  19436  lt6abl  19757  upgrfi  28340  hashxpe  32006  esumpinfsum  33063  hasheuni  33071  pgrpgt2nabl  46995
  Copyright terms: Public domain W3C validator