Theorem hashinf 13977

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3440	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		eldif 3893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3		df-hash 13973	. . . . . . 7 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
4	3	reseq1i 5876	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin))
5		resundir 5895	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)))
6		disjdif 4402	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
7		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
9	7, 8	hashkf 13974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
10		ffn 6584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
11		fnresdisj 6536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅)
13	6, 12	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅
14		pnfex 10959	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ V
15	14	fconst 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
16		ffn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
17		fnresdm 6535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞}))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
19	13, 18	uneq12i 4091	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20		uncom 4083	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) = (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅)
21		un0 4321	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
22	19, 20, 21	3eqtri 2770	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
23	4, 5, 22	3eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
24	23	fveq1i 6757	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴)
25		fvres 6775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (♯‘𝐴))
26	14	fvconst2 7061	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴) = +∞)
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 27	sylbir 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
29	1, 28	sylan 579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687  reccrdg 8211  Fincfn 8691  cardccrd 9624  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashbnd  13978  hasheni  13990  hasheqf1oi  13994  hashclb  14001  nfile  14002  hasheq0  14006  hashdom  14022  hashdomi  14023  hashunx  14029  hashge1  14032  hashss  14052  hash1snb  14062  hashge2el2dif  14122  odhash  19094  lt6abl  19411  upgrfi  27364  hashxpe  31029  esumpinfsum  31945  hasheuni  31953  hashfundm  32974  pgrpgt2nabl  45590