MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashinf 14242
Description: The value of the β™― function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)

Proof of Theorem hashinf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3466 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
2 eldif 3925 . . 3 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin))
3 df-hash 14238 . . . . . . 7 β™― = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
43reseq1i 5938 . . . . . 6 (β™― β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ (V βˆ– Fin))
5 resundir 5957 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)))
6 disjdif 4436 . . . . . . . . 9 (Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ…
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
8 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
97, 8hashkf 14239 . . . . . . . . . 10 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0
10 ffn 6673 . . . . . . . . . 10 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin)
11 fnresdisj 6626 . . . . . . . . . 10 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin β†’ ((Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ… ↔ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((Fin ∩ (V βˆ– Fin)) = βˆ… ↔ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…)
136, 12mpbi 229 . . . . . . . 8 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = βˆ…
14 pnfex 11215 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ V
1514fconst 6733 . . . . . . . . 9 ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞}
16 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞} β†’ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin))
17 fnresdm 6625 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
1913, 18uneq12i 4126 . . . . . . 7 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin))) = (βˆ… βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
20 uncom 4118 . . . . . . 7 (βˆ… βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) = (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) βˆͺ βˆ…)
21 un0 4355 . . . . . . 7 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) βˆͺ βˆ…) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
2219, 20, 213eqtri 2769 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ (V βˆ– Fin)) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ (V βˆ– Fin))) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
234, 5, 223eqtri 2769 . . . . 5 (β™― β†Ύ (V βˆ– Fin)) = ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})
2423fveq1i 6848 . . . 4 ((β™― β†Ύ (V βˆ– Fin))β€˜π΄) = (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})β€˜π΄)
25 fvres 6866 . . . 4 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ ((β™― β†Ύ (V βˆ– Fin))β€˜π΄) = (β™―β€˜π΄))
2614fvconst2 7158 . . . 4 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})β€˜π΄) = +∞)
2724, 25, 263eqtr3a 2801 . . 3 (𝐴 ∈ (V βˆ– Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
282, 27sylbir 234 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
291, 28sylan 581 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  reccrdg 8360  Fincfn 8890  cardccrd 9878  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„•0cn0 12420  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashbnd  14243  hasheni  14255  hasheqf1oi  14258  hashclb  14265  nfile  14266  hasheq0  14270  hashdom  14286  hashdomi  14287  hashunx  14293  hashge1  14296  hashss  14316  hash1snb  14326  hashge2el2dif  14386  odhash  19363  lt6abl  19679  upgrfi  28084  hashxpe  31751  esumpinfsum  32716  hasheuni  32724  hashfundm  33746  pgrpgt2nabl  46516
  Copyright terms: Public domain W3C validator