Theorem hashinf 14300

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		eldif 3924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3		df-hash 14296	. . . . . . 7 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
4	3	reseq1i 5946	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin))
5		resundir 5965	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)))
6		disjdif 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
9	7, 8	hashkf 14297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
10		ffn 6688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
11		fnresdisj 6638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅)
13	6, 12	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅
14		pnfex 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ V
15	14	fconst 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
16		ffn 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
17		fnresdm 6637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞}))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
19	13, 18	uneq12i 4129	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20		uncom 4121	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) = (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅)
21		un0 4357	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
22	19, 20, 21	3eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
23	4, 5, 22	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
24	23	fveq1i 6859	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴)
25		fvres 6877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (♯‘𝐴))
26	14	fvconst2 7178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴) = +∞)
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 27	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
29	1, 28	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377  Fincfn 8918  cardccrd 9888  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  +∞cpnf 11205  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashbnd  14301  hasheni  14313  hasheqf1oi  14316  hashclb  14323  nfile  14324  hasheq0  14328  hashdom  14344  hashdomi  14345  hashunx  14351  hashge1  14354  hashss  14374  hash1snb  14384  hashfundm  14407  hashge2el2dif  14445  odhash  19504  lt6abl  19825  upgrfi  29018  hashxpe  32732  lbslelsp  33593  esumpinfsum  34067  hasheuni  34075  pgrpgt2nabl  48354