MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfxnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfxnn0 14302
Description: The size function is a function into the extended nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashfxnn0 ♯:V⟶ℕ0*

Proof of Theorem hashfxnn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2 eqid 2726 . . . . 5 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
31, 2hashkf 14297 . . . 4 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
4 pnfex 11271 . . . . 5 +∞ ∈ V
54fconst 6771 . . . 4 ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
63, 5pm3.2i 470 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞})
7 disjdif 4466 . . 3 (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
8 fun 6747 . . 3 (((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}) ∧ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
96, 7, 8mp2an 689 . 2 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10 df-hash 14296 . . . 4 ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
11 eqid 2726 . . . 4 V = V
12 df-xnn0 12549 . . . 4 0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
13 feq123 6701 . . . 4 ((♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ∧ V = V ∧ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})) → (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})))
1410, 11, 12, 13mp3an 1457 . . 3 (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
15 unvdif 4469 . . . 4 (Fin ∪ (V ∖ Fin)) = V
1615feq2i 6703 . . 3 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
1714, 16bitr4i 278 . 2 (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
189, 17mpbir 230 1 ♯:V⟶ℕ0*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  Vcvv 3468  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  c0 4317  {csn 4623  cmpt 5224   × cxp 5667  cres 5671  ccom 5673  wf 6533  (class class class)co 7405  ωcom 7852  reccrdg 8410  Fincfn 8941  cardccrd 9932  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  0cn0 12476  0*cxnn0 12548  chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  hashf  14303  hashxnn0  14304
  Copyright terms: Public domain W3C validator