Theorem hashfxnn0 14343

Description: The size function is a function into the extended nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashfxnn0	⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Proof of Theorem hashfxnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
3	1, 2	hashkf 14338	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
4		pnfex 11228	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5	4	fconst 6744	. . . 4 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
6	3, 5	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞})
7		disjdif 4423	. . 3 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
8		fun 6720	. . 3 ⊢ (((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}) ∧ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
9	6, 7, 8	mp2an 702	. 2 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		df-hash 14337	. . . 4 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ V = V
12		df-xnn0 12548	. . . 4 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
13		feq123 6675	. . . 4 ⊢ ((♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ∧ V = V ∧ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})) → (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1481	. . 3 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
15		unvdif 4426	. . . 4 ⊢ (Fin ∪ (V ∖ Fin)) = V
16	15	feq2i 6677	. . 3 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
17	14, 16	bitr4i 280	. 2 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
18	9, 17	mpbir 233	1 ⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4579   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641   ↾ cres 5645   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6511  (class class class)co 7390  ωcom 7840  reccrdg 8373  Fincfn 8920  cardccrd 9886  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069  +∞cpnf 11206  ℕ₀cn0 12474  ℕ₀^*cxnn0 12547  ♯chash 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-hash 14337

This theorem is referenced by:  hashf  14344  hashxnn0  14345