Theorem hashfxnn0 14485

Description: The size function is a function into the extended nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashfxnn0	⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Proof of Theorem hashfxnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
3	1, 2	hashkf 14480	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
4		pnfex 11366	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5	4	fconst 6769	. . . 4 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
6	3, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞})
7		disjdif 4425	. . 3 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
8		fun 6745	. . 3 ⊢ (((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}) ∧ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		df-hash 14479	. . . 4 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ V = V
12		df-xnn0 12684	. . . 4 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
13		feq123 6700	. . . 4 ⊢ ((♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ∧ V = V ∧ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})) → (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
15		unvdif 4428	. . . 4 ⊢ (Fin ∪ (V ∖ Fin)) = V
16	15	feq2i 6702	. . 3 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
17	14, 16	bitr4i 281	. 2 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
18	9, 17	mpbir 234	1 ⊢ ♯:V⟶ℕ0*

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  (class class class)co 7421  ωcom 7878  reccrdg 8421  Fincfn 8977  cardccrd 10020  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  +∞cpnf 11344  ℕ₀cn0 12610  ℕ₀^*cxnn0 12683  ♯chash 14478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-hash 14479

This theorem is used by:  hashf  14486  hashxnn0  14487