Theorem hashfxnn0 14336

Description: The size function is a function into the extended nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashfxnn0	⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Proof of Theorem hashfxnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
3	1, 2	hashkf 14331	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
4		pnfex 11305	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5	4	fconst 6788	. . . 4 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
6	3, 5	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞})
7		disjdif 4475	. . 3 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
8		fun 6764	. . 3 ⊢ (((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}) ∧ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
9	6, 7, 8	mp2an 690	. 2 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		df-hash 14330	. . . 4 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ V = V
12		df-xnn0 12583	. . . 4 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
13		feq123 6717	. . . 4 ⊢ ((♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ∧ V = V ∧ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})) → (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
15		unvdif 4478	. . . 4 ⊢ (Fin ∪ (V ∖ Fin)) = V
16	15	feq2i 6719	. . 3 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
17	14, 16	bitr4i 277	. 2 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
18	9, 17	mpbir 230	1 ⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948  ∅c0 4326  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6549  (class class class)co 7426  ωcom 7876  reccrdg 8436  Fincfn 8970  cardccrd 9966  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283  ℕ₀cn0 12510  ℕ₀^*cxnn0 12582  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  hashf  14337  hashxnn0  14338