MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem9 28803
Description: Lemma for axcont 28807. Given the separation assumption, all values of ๐น over ๐ด are less than or equal to all values of ๐น over ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem9.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)๐‘› โ‰ค ๐‘š)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘š,๐‘›,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐น   ๐‘š,๐น   ๐‘ก,๐น   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘š,๐‘,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘–   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘ˆ,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘ˆ   ๐‘–,๐‘   ๐‘š,๐‘,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘   ๐น,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘–)   ๐ต(๐‘ก,๐‘–)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘›,๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 simprl1 1215 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3 simplr1 1212 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘))
4 simprl2 1216 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด)
53, 4sseldd 3983 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
6 simprr 771 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)
7 axcontlem9.1 . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
8 axcontlem9.2 . . . . . 6 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
97, 8axcontlem2 28796 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1370 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
11 f1ofun 6846 . . . 4 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ Fun ๐น)
12 fvelima 6969 . . . . 5 ((Fun ๐น โˆง ๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›)
1312ex 411 . . . 4 (Fun ๐น โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›))
1410, 11, 133syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›))
15 fvelima 6969 . . . . 5 ((Fun ๐น โˆง ๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š)
1615ex 411 . . . 4 (Fun ๐น โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
1710, 11, 163syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
18 reeanv 3224 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
19 simplr3 1214 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)
20 breq1 5155 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ))
21 opeq2 4879 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
2221breq2d 5164 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
2320, 22rspc2v 3622 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
2419, 23mpan9 505 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
25 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
262adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
275adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
2825, 26, 273jca 1125 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
29 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)
307axcontlem4 28798 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โІ ๐ท)
3130sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ท))
32 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)))
337axcontlem3 28797 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง (๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โІ ๐ท)
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โІ ๐ท)
3534sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท))
3631, 35anim12d 607 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท)))
3736imp 405 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท))
387, 8axcontlem7 28801 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘)))
3928, 29, 37, 38syl21anc 836 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘)))
4024, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘))
41 breq12 5157 . . . . . 6 (((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘) โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4342rexlimdvva 3209 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4418, 43biimtrrid 242 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4514, 17, 44syl2and 606 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4645ralrimivv 3196 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)๐‘› โ‰ค ๐‘š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  {crab 3430   โІ wss 3949  โˆ…c0 4326  โŸจcop 4638   class class class wbr 5152  {copab 5214   โ€œ cima 5685  Fun wfun 6547  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  [,)cico 13366  ...cfz 13524  ๐”ผcee 28719   Btwn cbtwn 28720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-z 12597  df-uz 12861  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-ee 28722  df-btwn 28723
This theorem is referenced by:  axcontlem10  28804
  Copyright terms: Public domain W3C validator