MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem9 28733
Description: Lemma for axcont 28737. Given the separation assumption, all values of ๐น over ๐ด are less than or equal to all values of ๐น over ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem9.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)๐‘› โ‰ค ๐‘š)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘š,๐‘›,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐น   ๐‘š,๐น   ๐‘ก,๐น   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘š,๐‘,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘–   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘ˆ,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘ˆ   ๐‘–,๐‘   ๐‘š,๐‘,๐‘›,๐‘   ๐‘ก,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘   ๐น,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘–)   ๐ต(๐‘ก,๐‘–)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘š,๐‘›,๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 simprl1 1215 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3 simplr1 1212 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘))
4 simprl2 1216 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด)
53, 4sseldd 3978 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
6 simprr 770 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)
7 axcontlem9.1 . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
8 axcontlem9.2 . . . . . 6 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
97, 8axcontlem2 28726 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1370 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
11 f1ofun 6828 . . . 4 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ Fun ๐น)
12 fvelima 6950 . . . . 5 ((Fun ๐น โˆง ๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›)
1312ex 412 . . . 4 (Fun ๐น โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›))
1410, 11, 133syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘›))
15 fvelima 6950 . . . . 5 ((Fun ๐น โˆง ๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š)
1615ex 412 . . . 4 (Fun ๐น โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
1710, 11, 163syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
18 reeanv 3220 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š))
19 simplr3 1214 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)
20 breq1 5144 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ))
21 opeq2 4869 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
2221breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
2320, 22rspc2v 3617 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
2419, 23mpan9 506 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
25 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
262adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
275adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
2825, 26, 273jca 1125 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
29 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)
307axcontlem4 28728 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โІ ๐ท)
3130sseld 3976 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ท))
32 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)))
337axcontlem3 28727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง (๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โІ ๐ท)
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โІ ๐ท)
3534sseld 3976 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท))
3631, 35anim12d 608 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท)))
3736imp 406 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท))
387, 8axcontlem7 28731 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘)))
3928, 29, 37, 38syl21anc 835 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘)))
4024, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘))
41 breq12 5146 . . . . . 6 (((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘) โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4342rexlimdvva 3205 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4418, 43biimtrrid 242 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘) = ๐‘š) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4514, 17, 44syl2and 607 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘š))
4645ralrimivv 3192 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โІ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ฆโŸฉ)) โˆง ((๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (๐น โ€œ ๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ (๐น โ€œ ๐ต)๐‘› โ‰ค ๐‘š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6530  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6535  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  โ„•cn 12213  [,)cico 13329  ...cfz 13487  ๐”ผcee 28649   Btwn cbtwn 28650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-z 12560  df-uz 12824  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-ee 28652  df-btwn 28653
This theorem is referenced by:  axcontlem10  28734
  Copyright terms: Public domain W3C validator