Theorem pthdlem2lem 28036

Description: Lemma for pthdlem2 28037. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
2	1	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
3		ralcom 3280	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
4		elfzo1 13365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
6	5	necomd 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
8	4, 7	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10		neeq1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
11	9, 10	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
12	11	expd 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
13		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	14, 16	ltlend 11050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗) → 𝑅 ≠ 𝑗)
19	17, 18	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 → 𝑅 ≠ 𝑗))
20	19	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
21	4, 20	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅 ≠ 𝑗)
23		neeq1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝑅 ≠ 𝑗))
24	22, 23	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
25	24	expd 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
26	12, 25	jaoi 853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
27	26	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
28	27	3adant1 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
29	28	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗)
30		lbfzo0 13355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
31	30	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
33	31, 32	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34		pthd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35		fzo0end 13407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
36	34, 35	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
38	36, 37	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
39	33, 38	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
40	39	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41	40	3adant1 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43		neeq1 3005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
44		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
45	44	neeq1d 3002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
46	43, 45	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
47	46	rspcv 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
48	42, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
49	29, 48	mpid 44	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
50		nesym 2999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
51	49, 50	syl6ib 250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
52	51	ralimdva 3102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
53	3, 52	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
54	2, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
55		ralnex 3163	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
56	54, 55	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
57		pthd.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
58		wrdf 14150	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59		ffun 6587	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
60	57, 58, 59	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
61	60	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62		fvelima 6817	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
63	62	ex 412	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑃 → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
64	61, 63	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
65	56, 64	mtod 197	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66		df-nel 3049	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
67	65, 66	sylibr 233	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146

This theorem is referenced by:  pthdlem2  28037