MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2lem 29024
Description: Lemma for pthdlem2 29025. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2lem ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem
StepHypRef Expression
1 pthd.s . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
213ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
3 ralcom 3287 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
4 elfzo1 13682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
65necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
84, 7sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
119, 10imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
1211expd 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
13 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1714, 16ltlend 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗𝑅𝑅𝑗)))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑅𝑅𝑗) → 𝑅𝑗)
1917, 18syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅𝑅𝑗))
20193impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅𝑗)
214, 20sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅𝑗)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅𝑗)
23 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼𝑗𝑅𝑗))
2422, 23imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
2524expd 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2612, 25jaoi 856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2726impcom 409 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
28273adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
2928imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗)
30 lbfzo0 13672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
3130biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3331, 32imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34 pthd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35 fzo0end 13724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
3634, 35eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3836, 37imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3933, 38jaoi 856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
4039impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41403adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
4241adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
44 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝐼))
4544neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
4643, 45imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4746rspcv 3609 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4929, 48mpid 44 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
50 nesym 2998 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5149, 50imbitrdi 250 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
5251ralimdva 3168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
533, 52biimtrid 241 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
542, 53mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
55 ralnex 3073 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5654, 55sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
57 pthd.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
58 wrdf 14469 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59 ffun 6721 . . . . . 6 (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑃)
61603ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62 fvelima 6958 . . . . 5 ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
6362ex 414 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6461, 63syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6556, 64mtod 197 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66 df-nel 3048 . 2 ((𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
6765, 66sylibr 233 1 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  cima 5680  Fun wfun 6538  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cn 12212  ..^cfzo 13627  chash 14290  Word cword 14464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465
This theorem is referenced by:  pthdlem2  29025
  Copyright terms: Public domain W3C validator