MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2lem 29062
Description: Lemma for pthdlem2 29063. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2lem ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem
StepHypRef Expression
1 pthd.s . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
213ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
3 ralcom 3286 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
4 elfzo1 13684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5 nnne0 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
65necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
763ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
84, 7sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
119, 10imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
1211expd 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
13 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1714, 16ltlend 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗𝑅𝑅𝑗)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑅𝑅𝑗) → 𝑅𝑗)
1917, 18syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅𝑅𝑗))
20193impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅𝑗)
214, 20sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅𝑗)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅𝑗)
23 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼𝑗𝑅𝑗))
2422, 23imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
2524expd 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2612, 25jaoi 855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2726impcom 408 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
28273adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
2928imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗)
30 lbfzo0 13674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
3130biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3331, 32imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34 pthd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35 fzo0end 13726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
3634, 35eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3836, 37imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3933, 38jaoi 855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
4039impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41403adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
44 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝐼))
4544neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
4643, 45imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4746rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4929, 48mpid 44 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
50 nesym 2997 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5149, 50imbitrdi 250 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
5251ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
533, 52biimtrid 241 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
542, 53mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
55 ralnex 3072 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5654, 55sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
57 pthd.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
58 wrdf 14471 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59 ffun 6720 . . . . . 6 (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑃)
61603ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62 fvelima 6957 . . . . 5 ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
6362ex 413 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6461, 63syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6556, 64mtod 197 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66 df-nel 3047 . 2 ((𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
6765, 66sylibr 233 1 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  cima 5679  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  cn 12214  ..^cfzo 13629  chash 14292  Word cword 14466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467
This theorem is referenced by:  pthdlem2  29063
  Copyright terms: Public domain W3C validator