Theorem pthdlem2lem 30335

Description: Lemma for pthdlem2 30336. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
3		ralcom 3291	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
4		elfzo1 13827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5		nnne0 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
6	5	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
8	4, 7	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
11	9, 10	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
12	11	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
13		nnre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15		nnre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	14, 16	ltlend 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗)))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗) → 𝑅 ≠ 𝑗)
19	17, 18	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 → 𝑅 ≠ 𝑗))
20	19	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
21	4, 20	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅 ≠ 𝑗)
23		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝑅 ≠ 𝑗))
24	22, 23	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
25	24	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
26	12, 25	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
27	26	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
28	27	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
29	28	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗)
30		lbfzo0 13814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
31	30	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
33	31, 32	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34		pthd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35		fzo0end 13873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
36	34, 35	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
38	36, 37	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
39	33, 38	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
40	39	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41	40	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
44		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
45	44	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
46	43, 45	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
47	46	rspcv 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
48	42, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
49	29, 48	mpid 45	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
50		nesym 3012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
51	49, 50	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
52	51	ralimdva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
53	3, 52	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
54	2, 53	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
55		ralnex 3089	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
56	54, 55	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
57		pthd.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
58		wrdf 14643	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59		ffun 6704	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
60	57, 58, 59	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
61	60	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62		fvelima 6942	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
63	62	ex 418	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑃 → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
64	61, 63	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
65	56, 64	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66		df-nel 3063	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
67	65, 66	sylibr 237	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   “ cima 5654  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕcn 12316  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639

This theorem is used by:  pthdlem2  30336