Theorem pthdlem2lem 30153

Description: Lemma for pthdlem2 30154. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
3		ralcom 3296	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
4		elfzo1 13760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5		nnne0 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
6	5	necomd 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
8	4, 7	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10		neeq1 3023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
11	9, 10	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
12	11	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
13		nnre 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15		nnre 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	14, 16	ltlend 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗)))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗) → 𝑅 ≠ 𝑗)
19	17, 18	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 → 𝑅 ≠ 𝑗))
20	19	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
21	4, 20	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅 ≠ 𝑗)
23		neeq1 3023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝑅 ≠ 𝑗))
24	22, 23	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
25	24	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
26	12, 25	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
27	26	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
28	27	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
29	28	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗)
30		lbfzo0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
31	30	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32		eleq1 2854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
33	31, 32	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34		pthd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35		fzo0end 13806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
36	34, 35	eqeltrid 2870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37		eleq1 2854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
38	36, 37	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
39	33, 38	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
40	39	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41	40	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43		neeq1 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
44		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
45	44	neeq1d 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
46	43, 45	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
47	46	rspcv 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
48	42, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
49	29, 48	mpid 45	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
50		nesym 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
51	49, 50	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
52	51	ralimdva 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
53	3, 52	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
54	2, 53	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
55		ralnex 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
56	54, 55	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
57		pthd.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
58		wrdf 14575	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59		ffun 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
60	57, 58, 59	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
61	60	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62		fvelima 6953	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
63	62	ex 418	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑃 → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
64	61, 63	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
65	56, 64	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66		df-nel 3068	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
67	65, 66	sylibr 237	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   “ cima 5669  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571

This theorem is used by:  pthdlem2  30154