Theorem pthdlem2lem 30383

Description: Lemma for pthdlem2 30384. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
3		ralcom 3294	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
4		elfzo1 13874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5		nnne0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
6	5	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
8	4, 7	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
11	9, 10	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
12	11	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
13		nnre 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15		nnre 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	14, 16	ltlend 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗)))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗) → 𝑅 ≠ 𝑗)
19	17, 18	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 → 𝑅 ≠ 𝑗))
20	19	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
21	4, 20	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅 ≠ 𝑗)
23		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝑅 ≠ 𝑗))
24	22, 23	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
25	24	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
26	12, 25	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
27	26	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
28	27	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
29	28	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗)
30		lbfzo0 13861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
31	30	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
33	31, 32	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34		pthd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35		fzo0end 13920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
36	34, 35	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
38	36, 37	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
39	33, 38	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
40	39	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41	40	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
44		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
45	44	neeq1d 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
46	43, 45	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
47	46	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
48	42, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
49	29, 48	mpid 45	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
50		nesym 3015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
51	49, 50	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
52	51	ralimdva 3178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
53	3, 52	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
54	2, 53	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
55		ralnex 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
56	54, 55	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
57		pthd.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
58		wrdf 14690	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59		ffun 6734	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
60	57, 58, 59	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
61	60	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62		fvelima 6973	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
63	62	ex 418	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑃 → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
64	61, 63	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
65	56, 64	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66		df-nel 3066	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
67	65, 66	sylibr 237	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   “ cima 5658  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ℕcn 12362  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  Word cword 14685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686

This theorem is used by:  pthdlem2  30384