Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 34483
Description: Lemma for erdsze 34488. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdszelem7.m (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑂,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑁,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 14303 . . . 4 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
2 ffun 6721 . . . 4 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun β™―
4 erdszelem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 erdsze.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 34481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
104, 9mpdan 684 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
11 fvelima 6958 . . 3 ((Fun β™― ∧ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})) β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
123, 10, 11sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
13 eqid 2731 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
1413erdszelem1 34477 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠))
15 simprl1 1217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝐴))
16 elfzuz3 13503 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
17 fzss2 13546 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
2015, 19sstrd 3993 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
21 velpw 4608 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 34482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
2524, 4ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ β„•)
26 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2725, 26eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
29 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„• β†’ 𝑅 ∈ β„€)
30 peano2zm 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„€ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
32 elfz5 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3327, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
34 nnltlem1 12634 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ β„•) β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3525, 28, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3633, 35bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
3723, 36mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅)
3828nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 34478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•)
4039simpri 485 . . . . . . . . . . . . 13 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•
41 nnssre 12221 . . . . . . . . . . . . 13 β„• βŠ† ℝ
4240, 41sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ
4342, 10sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 11365 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄) ↔ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
4537, 44mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
47 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
4846, 47breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ))
49 simprl2 1218 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))
5022, 48, 49jca32 515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5150expr 456 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5214, 51sylan2b 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5352expimpd 453 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄)) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5453reximdv2 3163 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„cr 11112  1c1 11114  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  erdszelem11  34487
  Copyright terms: Public domain W3C validator