Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 32872
Description: Lemma for erdsze 32877. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem7.m (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 13904 . . . 4 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2 ffun 6548 . . . 4 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ♯
4 erdszelem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 erdsze.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 32870 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
104, 9mpdan 687 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
11 fvelima 6778 . . 3 ((Fun ♯ ∧ (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})) → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
123, 10, 11sylancr 590 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
13 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
1413erdszelem1 32866 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠))
15 simprl1 1220 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝐴))
16 elfzuz3 13109 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
17 fzss2 13152 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
2015, 19sstrd 3911 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
21 velpw 4518 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
2220, 21sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 32871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)
2524, 4ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℕ)
26 nnuz 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
29 nnz 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℤ)
30 peano2zm 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
32 elfz5 13104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑅 − 1) ∈ ℤ) → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3327, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
34 nnltlem1 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3525, 28, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3633, 35bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) < 𝑅))
3723, 36mtbid 327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅)
3828nnred 11845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 32867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ)
4039simpri 489 . . . . . . . . . . . . 13 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ
41 nnssre 11834 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
4240, 41sstri 3910 . . . . . . . . . . . 12 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℝ
4342, 10sseldi 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 10978 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ≤ (𝐾𝐴) ↔ ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅))
4537, 44mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
4645adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
47 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
4846, 47breqtrrd 5081 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (♯‘𝑠))
49 simprl2 1221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))
5022, 48, 49jca32 519 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5150expr 460 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠)) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5214, 51sylan2b 597 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5352expimpd 457 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5453reximdv2 3190 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  cun 3864  wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   class class class wbr 5053  cmpt 5135   Or wor 5467  cres 5553  cima 5554  Fun wfun 6374  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380   Isom wiso 6381  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  supcsup 9056  cr 10728  1c1 10730  +∞cpnf 10864   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  chash 13896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897
This theorem is referenced by:  erdszelem11  32876
  Copyright terms: Public domain W3C validator