Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 34257
Description: Lemma for erdsze 34262. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdszelem7.m (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑂,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑁,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 14300 . . . 4 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
2 ffun 6720 . . . 4 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun β™―
4 erdszelem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 erdsze.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 34255 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
104, 9mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
11 fvelima 6957 . . 3 ((Fun β™― ∧ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})) β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
123, 10, 11sylancr 587 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
13 eqid 2732 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
1413erdszelem1 34251 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠))
15 simprl1 1218 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝐴))
16 elfzuz3 13500 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
17 fzss2 13543 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
2015, 19sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
21 velpw 4607 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 34256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
2524, 4ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ β„•)
26 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2725, 26eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
29 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„• β†’ 𝑅 ∈ β„€)
30 peano2zm 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„€ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
32 elfz5 13495 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3327, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
34 nnltlem1 12631 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ β„•) β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3525, 28, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3633, 35bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
3723, 36mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅)
3828nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 34252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•)
4039simpri 486 . . . . . . . . . . . . 13 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•
41 nnssre 12218 . . . . . . . . . . . . 13 β„• βŠ† ℝ
4240, 41sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ
4342, 10sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 11362 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄) ↔ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
4537, 44mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
47 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
4846, 47breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ))
49 simprl2 1219 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))
5022, 48, 49jca32 516 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5150expr 457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5214, 51sylan2b 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5352expimpd 454 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄)) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5453reximdv2 3164 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  1c1 11113  +∞cpnf 11247   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  β™―chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  erdszelem11  34261
  Copyright terms: Public domain W3C validator