Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 33848
Description: Lemma for erdsze 33853. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
erdszelem7.m (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑂,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑁,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 14244 . . . 4 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
2 ffun 6672 . . . 4 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun β™―
4 erdszelem.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 erdsze.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 33846 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
104, 9mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
11 fvelima 6909 . . 3 ((Fun β™― ∧ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})) β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
123, 10, 11sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
13 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
1413erdszelem1 33842 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠))
15 simprl1 1219 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝐴))
16 elfzuz3 13444 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
17 fzss2 13487 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
1918adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
2015, 19sstrd 3955 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
21 velpw 4566 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 βŠ† (1...𝑁))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 33847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
2524, 4ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ β„•)
26 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2725, 26eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
29 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„• β†’ 𝑅 ∈ β„€)
30 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ β„€ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€)
32 elfz5 13439 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑅 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3327, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
34 nnltlem1 12575 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΎβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ β„•) β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3525, 28, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) < 𝑅 ↔ (πΎβ€˜π΄) ≀ (𝑅 βˆ’ 1)))
3633, 35bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) ∈ (1...(𝑅 βˆ’ 1)) ↔ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
3723, 36mtbid 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅)
3828nnred 12173 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 33843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•)
4039simpri 487 . . . . . . . . . . . . 13 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•
41 nnssre 12162 . . . . . . . . . . . . 13 β„• βŠ† ℝ
4240, 41sstri 3954 . . . . . . . . . . . 12 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ
4342, 10sselid 3943 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 11306 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄) ↔ Β¬ (πΎβ€˜π΄) < 𝑅))
4537, 44mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (πΎβ€˜π΄))
47 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))
4846, 47breqtrrd 5134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ 𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ))
49 simprl2 1220 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))
5022, 48, 49jca32 517 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠) ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄))) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5150expr 458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑠)) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5214, 51sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5352expimpd 455 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ∧ (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄)) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))))
5453reximdv2 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹 β€œ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Or wor 5545   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  β„cr 11055  1c1 11057  +∞cpnf 11191   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  β™―chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  erdszelem11  33852
  Copyright terms: Public domain W3C validator