Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 33619
Description: Lemma for erdsze 33624. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem7.m (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 14192 . . . 4 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2 ffun 6668 . . . 4 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ♯
4 erdszelem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 erdsze.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 33617 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
104, 9mpdan 685 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
11 fvelima 6905 . . 3 ((Fun ♯ ∧ (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})) → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
123, 10, 11sylancr 587 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
13 eqid 2736 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
1413erdszelem1 33613 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠))
15 simprl1 1218 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝐴))
16 elfzuz3 13392 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
17 fzss2 13435 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
2015, 19sstrd 3952 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
21 velpw 4563 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 33618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)
2524, 4ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℕ)
26 nnuz 12760 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
29 nnz 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℤ)
30 peano2zm 12504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
32 elfz5 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑅 − 1) ∈ ℤ) → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3327, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
34 nnltlem1 12528 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3525, 28, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3633, 35bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) < 𝑅))
3723, 36mtbid 323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅)
3828nnred 12126 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 33614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ)
4039simpri 486 . . . . . . . . . . . . 13 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ
41 nnssre 12115 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
4240, 41sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℝ
4342, 10sselid 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 11259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ≤ (𝐾𝐴) ↔ ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅))
4537, 44mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
47 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
4846, 47breqtrrd 5131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (♯‘𝑠))
49 simprl2 1219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))
5022, 48, 49jca32 516 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5150expr 457 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠)) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5214, 51sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5352expimpd 454 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5453reximdv2 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443  cun 3906  wss 3908  𝒫 cpw 4558  {csn 4584   class class class wbr 5103  cmpt 5186   Or wor 5542  cres 5633  cima 5634  Fun wfun 6487  wf 6489  1-1wf1 6490  cfv 6493   Isom wiso 6494  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  supcsup 9334  cr 11008  1c1 11010  +∞cpnf 11144   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457  cuz 12721  ...cfz 13378  chash 14184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185
This theorem is referenced by:  erdszelem11  33623
  Copyright terms: Public domain W3C validator