Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem7 35165
Description: Lemma for erdsze 35170. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem7.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem7.m (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
Assertion
Ref Expression
erdszelem7 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑠,𝐹   𝐾,𝑠   𝐴,𝑠,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem7
StepHypRef Expression
1 hashf 14387 . . . 4 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2 ffun 6750 . . . 4 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ♯
4 erdszelem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 erdsze.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . 5 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 35163 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
104, 9mpdan 686 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}))
11 fvelima 6987 . . 3 ((Fun ♯ ∧ (𝐾𝐴) ∈ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})) → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
123, 10, 11sylancr 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
13 eqid 2740 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
1413erdszelem1 35159 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠))
15 simprl1 1218 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝐴))
16 elfzuz3 13581 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
17 fzss2 13624 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
184, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (1...𝐴) ⊆ (1...𝑁))
2015, 19sstrd 4019 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
21 velpw 4627 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ↔ 𝑠 ⊆ (1...𝑁))
2220, 21sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁))
23 erdszelem7.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
245, 6, 7, 8erdszelem6 35164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶ℕ)
2524, 4ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℕ)
26 nnuz 12946 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleqtrdi 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1))
28 erdszelem7.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
29 nnz 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℤ)
30 peano2zm 12686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℤ)
32 elfz5 13576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑅 − 1) ∈ ℤ) → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3327, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
34 nnltlem1 12710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3525, 28, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐾𝐴) ≤ (𝑅 − 1)))
3633, 35bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾𝐴) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ↔ (𝐾𝐴) < 𝑅))
3723, 36mtbid 324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅)
3828nnred 12308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3913erdszelem2 35160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ∈ Fin ∧ (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ)
4039simpri 485 . . . . . . . . . . . . 13 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℕ
41 nnssre 12297 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
4240, 41sstri 4018 . . . . . . . . . . . 12 (♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) ⊆ ℝ
4342, 10sselid 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐴) ∈ ℝ)
4438, 43lenltd 11436 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ≤ (𝐾𝐴) ↔ ¬ (𝐾𝐴) < 𝑅))
4537, 44mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (𝐾𝐴))
47 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))
4846, 47breqtrrd 5194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → 𝑅 ≤ (♯‘𝑠))
49 simprl2 1219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))
5022, 48, 49jca32 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠) ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5150expr 456 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)) ∧ 𝐴𝑠)) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5214, 51sylan2b 593 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}) → ((♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5352expimpd 453 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ∧ (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∧ (𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))))
5453reximdv2 3170 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} (♯‘𝑠) = (𝐾𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠)))))
5512, 54mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , 𝑂 (𝑠, (𝐹𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  cun 3974  wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249   Or wor 5606  cres 5702  cima 5703  Fun wfun 6567  wf 6569  1-1wf1 6570  cfv 6573   Isom wiso 6574  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  supcsup 9509  cr 11183  1c1 11185  +∞cpnf 11321   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520  cn 12293  0cn0 12553  cz 12639  cuz 12903  ...cfz 13567  chash 14379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380
This theorem is referenced by:  erdszelem11  35169
  Copyright terms: Public domain W3C validator