Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 33332
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33331 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = (LBasisβ€˜πΉ))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
42, 3eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = 𝐽)
54imaeq2d 6068 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = (β™― β€œ 𝐽))
65unieqd 4925 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
7 df-dim 33330 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)))
8 hashf 14337 . . . . . . 7 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
9 ffun 6730 . . . . . . 7 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
103fvexi 6916 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6646 . . . . . . 7 (Fun β™― β†’ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7752 . . . . 5 βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 7010 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
16153ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
17 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ 𝐽)
19 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
20 simpll3 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 33328 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
22 hasheni 14347 . . . . . . . . 9 (𝑆 β‰ˆ 𝑑 β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2423adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
25 simpr 483 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2624, 25eqtr2d 2769 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun β™―
28 fvelima 6969 . . . . . . . 8 ((Fun β™― ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2927, 28mpan 688 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
3029adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
3126, 30r19.29a 3159 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
3231ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
33 ne0i 4338 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
34333ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
35 ffn 6727 . . . . . . . . 9 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 β™― Fn V
37 ssv 4006 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† V
38 fnimaeq0 6693 . . . . . . . 8 ((β™― Fn V ∧ 𝐽 βŠ† V) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…))
3936, 37, 38mp2an 690 . . . . . . 7 ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…)
4039necon3bii 2990 . . . . . 6 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… ↔ 𝐽 β‰  βˆ…)
4134, 40sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ…)
42 eqsn 4837 . . . . 5 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4432, 43mpbird 256 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)})
4544unieqd 4925 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) = βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
46 fvex 6915 . . . 4 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
4746unisn 4933 . . 3 βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†))
4916, 45, 483eqtrd 2772 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553   β‰ˆ cen 8967  Fincfn 8970  +∞cpnf 11283  β„•0cn0 12510  β™―chash 14329  LBasisclbs 20966  LVecclvec 20994  dimcldim 33329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-mri 17575  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lbs 20967  df-lvec 20995  df-dim 33330
This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33354
  Copyright terms: Public domain W3C validator