Theorem dimvalfi 33904

Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33903 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
dimval.1	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dimvalfi	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3478	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3		dimval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
4	2, 3	eqtr4di 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
5	4	imaeq2d 6052	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
6	5	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = ∪ (♯ “ 𝐽))
7		df-dim 33902	. . . . 5 ⊢ dim = (𝑓 ∈ V ↦ ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8		hashf 14362	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffun 6698	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
10	3	fvexi 6885	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ V
11	10	funimaex 6613	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
12	8, 9, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (♯ “ 𝐽) ∈ V
13	12	uniex 7728	. . . . 5 ⊢ ∪ (♯ “ 𝐽) ∈ V
14	6, 7, 13	fvmpt 6979	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
15	1, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
16	15	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
17		simpll1 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18		simpll2 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
19		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑡 ∈ 𝐽)
20		simpll3 1231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
21	3, 17, 18, 19, 20	lvecdimfi 33898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑡)
22		hasheni 14372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≈ 𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
24	23	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
26	24, 25	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
27	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ♯
28		fvelima 6936	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
29	27, 28	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
30	29	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
31	26, 30	r19.29a 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
32	31	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33		ne0i 4296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∅)
34	33	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35		ffn 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ♯ Fn V
37		ssv 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ⊆ V
38		fnimaeq0 6658	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
39	36, 37, 38	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
40	39	necon3bii 3012	. . . . . 6 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
41	34, 40	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42		eqsn 4790	. . . . 5 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
43	41, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
44	32, 43	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
45	44	unieqd 4880	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ (♯ “ 𝐽) = ∪ {(♯‘𝑆)})
46		fvex 6884	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ V
47	46	unisn 4886	. . 3 ⊢ ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
49	16, 45, 48	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5104   “ cima 5654  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525   ≈ cen 8928  Fincfn 8931  +∞cpnf 11228  ℕ₀cn0 12492  ♯chash 14354  LBasisclbs 21161  LVecclvec 21189  dimcldim 33901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-hash 14355  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-mri 17628  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lbs 21162  df-lvec 21190  df-dim 33902

This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33925