Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 32363
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 32362 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3465 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = (LBasisβ€˜πΉ))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = 𝐽)
54imaeq2d 6017 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = (β™― β€œ 𝐽))
65unieqd 4883 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
7 df-dim 32361 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)))
8 hashf 14247 . . . . . . 7 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
9 ffun 6675 . . . . . . 7 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
103fvexi 6860 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6593 . . . . . . 7 (Fun β™― β†’ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7682 . . . . 5 βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6952 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
16153ad2ant1 1134 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
17 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ 𝐽)
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
20 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 32359 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
22 hasheni 14257 . . . . . . . . 9 (𝑆 β‰ˆ 𝑑 β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2423adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
25 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2624, 25eqtr2d 2774 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun β™―
28 fvelima 6912 . . . . . . . 8 ((Fun β™― ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2927, 28mpan 689 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
3029adantl 483 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
3126, 30r19.29a 3156 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
3231ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
33 ne0i 4298 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
34333ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
35 ffn 6672 . . . . . . . . 9 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 β™― Fn V
37 ssv 3972 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† V
38 fnimaeq0 6638 . . . . . . . 8 ((β™― Fn V ∧ 𝐽 βŠ† V) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…))
3936, 37, 38mp2an 691 . . . . . . 7 ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…)
4039necon3bii 2993 . . . . . 6 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… ↔ 𝐽 β‰  βˆ…)
4134, 40sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ…)
42 eqsn 4793 . . . . 5 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4432, 43mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)})
4544unieqd 4883 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) = βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
46 fvex 6859 . . . 4 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
4746unisn 4891 . . 3 βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†))
4916, 45, 483eqtrd 2777 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500   β‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889  +∞cpnf 11194  β„•0cn0 12421  β™―chash 14239  LBasisclbs 20579  LVecclvec 20607  dimcldim 32360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-mri 17476  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lbs 20580  df-lvec 20608  df-dim 32361
This theorem is referenced by:  ply1degltdim  32382
  Copyright terms: Public domain W3C validator