Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 33496
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33495 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3482 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 6069 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4926 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 33494 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 14355 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6731 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6915 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6647 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7752 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 7009 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
16153ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
17 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝐽)
19 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑡𝐽)
20 simpll3 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 33492 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
22 hasheni 14365 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2423adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25 simpr 483 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25eqtr2d 2767 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
28 fvelima 6968 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2927, 28mpan 688 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3029adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3126, 30r19.29a 3152 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
3231ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33 ne0i 4337 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
34333ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35 ffn 6728 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
37 ssv 4004 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
38 fnimaeq0 6694 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3936, 37, 38mp2an 690 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
4039necon3bii 2983 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
4134, 40sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42 eqsn 4838 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4432, 43mpbird 256 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4544unieqd 4926 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
46 fvex 6914 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4746unisn 4934 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4916, 45, 483eqtrd 2770 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  cun 3945  wss 3947  c0 4325  {csn 4633   cuni 4913   class class class wbr 5153  cima 5685  Fun wfun 6548   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  cen 8971  Fincfn 8974  +∞cpnf 11295  0cn0 12524  chash 14347  LBasisclbs 21052  LVecclvec 21080  dimcldim 33493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-hash 14348  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-mri 17601  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lbs 21053  df-lvec 21081  df-dim 33494
This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33518
  Copyright terms: Public domain W3C validator