Theorem dimvalfi 33896

Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33895 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
dimval.1	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dimvalfi	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3		dimval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
4	2, 3	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
5	4	imaeq2d 6049	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
6	5	unieqd 4878	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = ∪ (♯ “ 𝐽))
7		df-dim 33894	. . . . 5 ⊢ dim = (𝑓 ∈ V ↦ ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8		hashf 14351	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffun 6694	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
10	3	fvexi 6881	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ V
11	10	funimaex 6609	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
12	8, 9, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (♯ “ 𝐽) ∈ V
13	12	uniex 7724	. . . . 5 ⊢ ∪ (♯ “ 𝐽) ∈ V
14	6, 7, 13	fvmpt 6975	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
16	15	3ad2ant1 1146	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
17		simpll1 1226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18		simpll2 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
19		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑡 ∈ 𝐽)
20		simpll3 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
21	3, 17, 18, 19, 20	lvecdimfi 33890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑡)
22		hasheni 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≈ 𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
26	24, 25	eqtr2d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
27	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ♯
28		fvelima 6932	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
29	27, 28	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
30	29	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
31	26, 30	r19.29a 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
32	31	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33		ne0i 4293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∅)
34	33	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35		ffn 6691	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ♯ Fn V
37		ssv 3960	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ⊆ V
38		fnimaeq0 6654	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
39	36, 37, 38	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
40	39	necon3bii 3009	. . . . . 6 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
41	34, 40	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42		eqsn 4787	. . . . 5 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
44	32, 43	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
45	44	unieqd 4878	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ (♯ “ 𝐽) = ∪ {(♯‘𝑆)})
46		fvex 6880	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ V
47	46	unisn 4884	. . 3 ⊢ ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
49	16, 45, 48	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   “ cima 5650  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521   ≈ cen 8924  Fincfn 8927  +∞cpnf 11213  ℕ₀cn0 12481  ♯chash 14343  LBasisclbs 21138  LVecclvec 21166  dimcldim 33893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-hash 14344  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-mri 17616  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-lbs 21139  df-lvec 21167  df-dim 33894

This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33917