Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 30628
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 30627 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3434 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6499 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3syl6eqr 2833 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 5770 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4722 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 30626 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 13513 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6347 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6513 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6274 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7283 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6595 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
16153ad2ant1 1113 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
17 simpll1 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝐽)
19 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑡𝐽)
20 simpll3 1194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 30624 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
22 hasheni 13523 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2423adantr 473 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25 simpr 477 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25eqtr2d 2816 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
28 fvelima 6561 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2927, 28mpan 677 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3029adantl 474 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3126, 30r19.29a 3235 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
3231ralrimiva 3133 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33 ne0i 4187 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
34333ad2ant2 1114 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35 ffn 6344 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
37 ssv 3882 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
38 fnimaeq0 6311 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3936, 37, 38mp2an 679 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
4039necon3bii 3020 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
4134, 40sylibr 226 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42 eqsn 4636 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4432, 43mpbird 249 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4544unieqd 4722 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
46 fvex 6512 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4746unisn 4728 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4916, 45, 483eqtrd 2819 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3416  cun 3828  wss 3830  c0 4179  {csn 4441   cuni 4712   class class class wbr 4929  cima 5410  Fun wfun 6182   Fn wfn 6183  wf 6184  cfv 6188  cen 8303  Fincfn 8306  +∞cpnf 10471  0cn0 11707  chash 13505  LBasisclbs 19568  LVecclvec 19596  dimcldim 30625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-hash 13506  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-0g 16571  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-mri 16717  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lbs 19569  df-lvec 19597  df-dim 30626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator