Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 33652
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33651 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3501 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 6078 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4920 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 33650 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 14377 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6739 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6655 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7761 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 7016 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
16153ad2ant1 1134 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
17 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝐽)
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑡𝐽)
20 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 33646 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
22 hasheni 14387 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2423adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
28 fvelima 6974 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2927, 28mpan 690 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3029adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3126, 30r19.29a 3162 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
3231ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33 ne0i 4341 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
34333ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
37 ssv 4008 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
38 fnimaeq0 6701 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3936, 37, 38mp2an 692 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
4039necon3bii 2993 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
4134, 40sylibr 234 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42 eqsn 4829 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4432, 43mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4544unieqd 4920 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
46 fvex 6919 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4746unisn 4926 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4916, 45, 483eqtrd 2781 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  cen 8982  Fincfn 8985  +∞cpnf 11292  0cn0 12526  chash 14369  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-dim 33650
This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33674
  Copyright terms: Public domain W3C validator