Theorem dimvalfi 33758

Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 33757 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
dimval.1	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dimvalfi	⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3461	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3		dimval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
4	2, 3	eqtr4di 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
5	4	imaeq2d 6019	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
6	5	unieqd 4876	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = ∪ (♯ “ 𝐽))
7		df-dim 33756	. . . . 5 ⊢ dim = (𝑓 ∈ V ↦ ∪ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8		hashf 14261	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9		ffun 6665	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
10	3	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ V
11	10	funimaex 6580	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
12	8, 9, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (♯ “ 𝐽) ∈ V
13	12	uniex 7686	. . . . 5 ⊢ ∪ (♯ “ 𝐽) ∈ V
14	6, 7, 13	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
16	15	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = ∪ (♯ “ 𝐽))
17		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18		simpll2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
19		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑡 ∈ 𝐽)
20		simpll3 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
21	3, 17, 18, 19, 20	lvecdimfi 33752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑡)
22		hasheni 14271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ≈ 𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
26	24, 25	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
27	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ♯
28		fvelima 6899	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
29	27, 28	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡 ∈ 𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
31	26, 30	r19.29a 3144	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
32	31	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33		ne0i 4293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∅)
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35		ffn 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ♯ Fn V
37		ssv 3958	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ⊆ V
38		fnimaeq0 6625	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
39	36, 37, 38	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
40	39	necon3bii 2984	. . . . . 6 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
41	34, 40	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42		eqsn 4785	. . . . 5 ⊢ ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
44	32, 43	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
45	44	unieqd 4876	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ (♯ “ 𝐽) = ∪ {(♯‘𝑆)})
46		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ V
47	46	unisn 4882	. . 3 ⊢ ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
49	16, 45, 48	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   “ cima 5627  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  +∞cpnf 11163  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253  LBasisclbs 21026  LVecclvec 21054  dimcldim 33755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-mri 17507  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lbs 21027  df-lvec 21055  df-dim 33756

This theorem is referenced by:  ply1degltdim  33780