Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimvalfi 31793
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. This version of dimval 31792 does not depend on the axiom of choice, but it is limited to the case where the base 𝑆 is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimvalfi ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimvalfi
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3459 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6811 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 5986 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4864 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 31791 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 14125 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6640 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6825 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6558 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7634 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6914 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
16153ad2ant1 1132 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
17 simpll1 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝐹 ∈ LVec)
18 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝐽)
19 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑡𝐽)
20 simpll3 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆 ∈ Fin)
213, 17, 18, 19, 20lvecdimfi 31789 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
22 hasheni 14135 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2423adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
25 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
278, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
28 fvelima 6874 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2927, 28mpan 687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3029adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
3126, 30r19.29a 3156 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
3231ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
33 ne0i 4279 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
34333ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → 𝐽 ≠ ∅)
35 ffn 6637 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
37 ssv 3955 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
38 fnimaeq0 6603 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3936, 37, 38mp2an 689 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
4039necon3bii 2994 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
4134, 40sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
42 eqsn 4774 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4341, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4432, 43mpbird 256 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4544unieqd 4864 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
46 fvex 6824 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4746unisn 4872 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4847a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4916, 45, 483eqtrd 2781 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑆 ∈ Fin) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3441  cun 3895  wss 3897  c0 4267  {csn 4571   cuni 4850   class class class wbr 5087  cima 5610  Fun wfun 6459   Fn wfn 6460  wf 6461  cfv 6465  cen 8778  Fincfn 8781  +∞cpnf 11079  0cn0 12306  chash 14117  LBasisclbs 20408  LVecclvec 20436  dimcldim 31790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-tpos 8089  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-xnn0 12379  df-z 12393  df-uz 12656  df-hash 14118  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-0g 17222  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-mri 17367  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-subg 18821  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-oppr 19930  df-dvdsr 19951  df-unit 19952  df-invr 19982  df-drng 20065  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-lsp 20306  df-lbs 20409  df-lvec 20437  df-dim 31791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator