Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmimaidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmimaidl 33056
Description: The image of an ideal 𝐼 by a surjective ring homomorphism 𝐹 is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmimaidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
rhmimaidl.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
rhmimaidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
rhmimaidl ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem rhmimaidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 rhmimaidl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
31, 2rhmf 20387 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
4 fimass 6732 . . . . 5 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡 β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝐡)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝐡)
65ad2antrr 723 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝐡)
73ffnd 6712 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
87ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
9 rhmrcl1 20378 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
109ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
121, 11ring0cl 20166 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1310, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
15 rhmimaidl.t . . . . . . 7 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
1615, 11lidl0cl 21079 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
1710, 14, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
188, 13, 17fnfvimad 7231 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
1918ne0d 4330 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) β‰  βˆ…)
20 rhmghm 20386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2120ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
229ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
241, 15lidlss 21071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ 𝑇 β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2524ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
26 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
2725, 26sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
28 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
291, 28ringcl 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3022, 23, 27, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
31 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
3225, 31sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
34 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
351, 33, 34ghmlin 19146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑗 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
3621, 30, 32, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((πΉβ€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
37 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
38 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
391, 28, 38rhmmul 20388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)) = ((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–)))
4037, 23, 27, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)) = ((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–)))
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4236, 41eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4342adantl4r 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4443adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4544adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4645adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4746adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
4847ad4ant13 748 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)))
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯)
50 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž)
5149, 50oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž))
52 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏)
5351, 52oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘–))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘—)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
5448, 53eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
558ad9antr 739 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
5614, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5756ad9antr 739 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5814ad9antr 739 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
59 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
60 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
61 simp-6r 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
6215, 1, 33, 28islidl 21074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ 𝑇 ↔ (𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼))
6362simp3bi 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ 𝑇 β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼)
6463r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼)
6564r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼)
6665r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼)
6758, 59, 60, 61, 66syl1111anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ 𝐼)
6857, 67sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ ((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6955, 68, 67fnfvimad 7231 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜((𝑧(.rβ€˜π‘…)𝑖)(+gβ€˜π‘…)𝑗)) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
7054, 69eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) = π‘₯) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
713ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
7271ffund 6715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ Fun 𝐹)
7372ad7antr 735 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) β†’ Fun 𝐹)
743fdmd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘…))
7574imaeq2d 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (𝐹 β€œ dom 𝐹) = (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
76 imadmrn 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 β€œ dom 𝐹) = ran 𝐹
7775, 76eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = ran 𝐹)
7877eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ ((𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = 𝐡 ↔ ran 𝐹 = 𝐡))
7978biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = 𝐡)
8079eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
8180biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
8281adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
8382ad6antr 733 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
84 fvelima 6951 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘§) = π‘₯)
8573, 83, 84syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘§) = π‘₯)
8670, 85r19.29a 3156 . . . . . . . 8 ((((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
8772ad5antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) β†’ Fun 𝐹)
88 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) β†’ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
89 fvelima 6951 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž)
9087, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘–) = π‘Ž)
9186, 90r19.29a 3156 . . . . . . 7 ((((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
9272ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ Fun 𝐹)
93 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
94 fvelima 6951 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏)
9592, 93, 94syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘—) = 𝑏)
9691, 95r19.29a 3156 . . . . . 6 ((((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
9796anasss 466 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
9897ralrimivva 3194 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
9998ralrimiva 3140 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼))
100 rhmimaidl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘†)
101100, 2, 34, 38islidl 21074 . . 3 ((𝐹 β€œ 𝐼) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝐹 β€œ 𝐼) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐹 β€œ 𝐼) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)βˆ€π‘ ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐹 β€œ 𝐼)))
1026, 19, 99, 101syl3anbrc 1340 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ π‘ˆ)
1031023impa 1107 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ran 𝐹 = 𝐡 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β€œ 𝐼) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   GrpHom cghm 19138  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371  LIdealclidl 21065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rhm 20374  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067
This theorem is referenced by:  rhmpreimacnlem  33394  rhmpreimacn  33395
  Copyright terms: Public domain W3C validator