Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimval 33298
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dimval ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))

Proof of Theorem dimval
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3490 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = (LBasisβ€˜πΉ))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
42, 3eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = 𝐽)
54imaeq2d 6063 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = (β™― β€œ 𝐽))
65unieqd 4921 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
7 df-dim 33297 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)))
8 hashf 14330 . . . . . . 7 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
9 ffun 6725 . . . . . . 7 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
103fvexi 6911 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6641 . . . . . . 7 (Fun β™― β†’ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7746 . . . . 5 βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 7005 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
1615adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
173lvecdim 21045 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
1817ad4ant124 1171 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
19 hasheni 14340 . . . . . . . . 9 (𝑆 β‰ˆ 𝑑 β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2321, 22eqtr2d 2769 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
248, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun β™―
25 fvelima 6964 . . . . . . . 8 ((Fun β™― ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2624, 25mpan 689 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2726adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2823, 27r19.29a 3159 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
2928ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
30 ne0i 4335 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
32 ffn 6722 . . . . . . . . 9 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
338, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 β™― Fn V
34 ssv 4004 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† V
35 fnimaeq0 6688 . . . . . . . 8 ((β™― Fn V ∧ 𝐽 βŠ† V) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…))
3633, 34, 35mp2an 691 . . . . . . 7 ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…)
3736necon3bii 2990 . . . . . 6 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… ↔ 𝐽 β‰  βˆ…)
3831, 37sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ…)
39 eqsn 4833 . . . . 5 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4129, 40mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)})
4241unieqd 4921 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) = βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
43 fvex 6910 . . . 4 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
4443unisn 4929 . . 3 βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†)
4544a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†))
4616, 42, 453eqtrd 2772 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   β€œ cima 5681  Fun wfun 6542   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548   β‰ˆ cen 8961  +∞cpnf 11276  β„•0cn0 12503  β™―chash 14322  LBasisclbs 20959  LVecclvec 20987  dimcldim 33296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-r1 9788  df-rank 9789  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ocomp 17254  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-mri 17568  df-acs 17569  df-proset 18287  df-drs 18288  df-poset 18305  df-ipo 18520  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lbs 20960  df-lvec 20988  df-dim 33297
This theorem is referenced by:  dimcl  33300  lmimdim  33301  lvecdim0i  33303  lvecdim0  33304  lssdimle  33305  dimpropd  33306  rlmdim  33307  rgmoddimOLD  33308  frlmdim  33309  lsatdim  33315  dimkerim  33325  fedgmul  33329  extdg1id  33355  ccfldextdgrr  33360
  Copyright terms: Public domain W3C validator