Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimval 31155
 Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimval ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimval
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3460 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3eqtr4di 2851 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 5900 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4818 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 31154 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 13714 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6498 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6669 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6419 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7460 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6755 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
1615adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
173lvecdim 19943 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
1817ad4ant124 1170 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
19 hasheni 13724 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2120adantr 484 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
22 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2321, 22eqtr2d 2834 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
248, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
25 fvelima 6716 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25mpan 689 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2726adantl 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2823, 27r19.29a 3249 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
2928ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
30 ne0i 4253 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
3130adantl 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → 𝐽 ≠ ∅)
32 ffn 6495 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
338, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
34 ssv 3941 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
35 fnimaeq0 6461 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3633, 34, 35mp2an 691 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
3736necon3bii 3039 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
3831, 37sylibr 237 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
39 eqsn 4725 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4129, 40mpbird 260 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4241unieqd 4818 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
43 fvex 6668 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4443unisn 4824 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4544a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4616, 42, 453eqtrd 2837 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3442   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  {csn 4528  ∪ cuni 4804   class class class wbr 5034   “ cima 5526  Fun wfun 6326   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332   ≈ cen 8507  +∞cpnf 10679  ℕ0cn0 11903  ♯chash 13706  LBasisclbs 19860  LVecclvec 19888  dimcldim 31153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-reg 9058  ax-inf2 9106  ax-ac2 9892  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-oi 8976  df-r1 9195  df-rank 9196  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9545  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ocomp 16598  df-0g 16727  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-mri 16871  df-acs 16872  df-proset 17550  df-drs 17551  df-poset 17568  df-ipo 17774  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-subg 18289  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-lbs 19861  df-lvec 19889  df-dim 31154 This theorem is referenced by:  dimcl  31157  lvecdim0i  31158  lvecdim0  31159  lssdimle  31160  dimpropd  31161  rgmoddim  31162  frlmdim  31163  lsatdim  31169  dimkerim  31177  fedgmul  31181  extdg1id  31207  ccfldextdgrr  31211
 Copyright terms: Public domain W3C validator