Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimval 33193
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dimval ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))

Proof of Theorem dimval
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3485 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = (LBasisβ€˜πΉ))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜πΉ)
42, 3eqtr4di 2782 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (LBasisβ€˜π‘“) = 𝐽)
54imaeq2d 6050 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = (β™― β€œ 𝐽))
65unieqd 4913 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
7 df-dim 33192 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ βˆͺ (β™― β€œ (LBasisβ€˜π‘“)))
8 hashf 14299 . . . . . . 7 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
9 ffun 6711 . . . . . . 7 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
103fvexi 6896 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6627 . . . . . . 7 (Fun β™― β†’ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7725 . . . . 5 βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6989 . . . 4 (𝐹 ∈ V β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
1615adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = βˆͺ (β™― β€œ 𝐽))
173lvecdim 21004 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
1817ad4ant124 1170 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑆 β‰ˆ 𝑑)
19 hasheni 14309 . . . . . . . . 9 (𝑆 β‰ˆ 𝑑 β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘‘))
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2321, 22eqtr2d 2765 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
248, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun β™―
25 fvelima 6948 . . . . . . . 8 ((Fun β™― ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2624, 25mpan 687 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2726adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 (β™―β€˜π‘‘) = π‘₯)
2823, 27r19.29a 3154 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)) β†’ π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
2928ralrimiva 3138 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†))
30 ne0i 4327 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
32 ffn 6708 . . . . . . . . 9 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
338, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 β™― Fn V
34 ssv 3999 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† V
35 fnimaeq0 6674 . . . . . . . 8 ((β™― Fn V ∧ 𝐽 βŠ† V) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…))
3633, 34, 35mp2an 689 . . . . . . 7 ((β™― β€œ 𝐽) = βˆ… ↔ 𝐽 = βˆ…)
3736necon3bii 2985 . . . . . 6 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… ↔ 𝐽 β‰  βˆ…)
3831, 37sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ…)
39 eqsn 4825 . . . . 5 ((β™― β€œ 𝐽) β‰  βˆ… β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ ((β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β™― β€œ 𝐽)π‘₯ = (β™―β€˜π‘†)))
4129, 40mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (β™― β€œ 𝐽) = {(β™―β€˜π‘†)})
4241unieqd 4913 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ (β™― β€œ 𝐽) = βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
43 fvex 6895 . . . 4 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
4443unisn 4921 . . 3 βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†)
4544a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)} = (β™―β€˜π‘†))
4616, 42, 453eqtrd 2768 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) β†’ (dimβ€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {csn 4621  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139   β€œ cima 5670  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534   β‰ˆ cen 8933  +∞cpnf 11244  β„•0cn0 12471  β™―chash 14291  LBasisclbs 20918  LVecclvec 20946  dimcldim 33191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-mri 17537  df-acs 17538  df-proset 18256  df-drs 18257  df-poset 18274  df-ipo 18489  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lbs 20919  df-lvec 20947  df-dim 33192
This theorem is referenced by:  dimcl  33195  lmimdim  33196  lvecdim0i  33198  lvecdim0  33199  lssdimle  33200  dimpropd  33201  rlmdim  33202  rgmoddimOLD  33203  frlmdim  33204  lsatdim  33210  dimkerim  33220  fedgmul  33224  extdg1id  33250  ccfldextdgrr  33255
  Copyright terms: Public domain W3C validator