Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimval 31400
Description: The dimension of a vector space 𝐹 is the cardinality of one of its bases. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
dimval.1 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dimval ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))

Proof of Theorem dimval
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3426 . . . 4 (𝐹 ∈ LVec → 𝐹 ∈ V)
2 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = (LBasis‘𝐹))
3 dimval.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
42, 3eqtr4di 2796 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (LBasis‘𝑓) = 𝐽)
54imaeq2d 5929 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
65unieqd 4833 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 (♯ “ (LBasis‘𝑓)) = (♯ “ 𝐽))
7 df-dim 31399 . . . . 5 dim = (𝑓 ∈ V ↦ (♯ “ (LBasis‘𝑓)))
8 hashf 13904 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
9 ffun 6548 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
103fvexi 6731 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ V
1110funimaex 6467 . . . . . . 7 (Fun ♯ → (♯ “ 𝐽) ∈ V)
128, 9, 11mp2b 10 . . . . . 6 (♯ “ 𝐽) ∈ V
1312uniex 7529 . . . . 5 (♯ “ 𝐽) ∈ V
146, 7, 13fvmpt 6818 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
151, 14syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ LVec → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
1615adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯ “ 𝐽))
173lvecdim 20194 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
1817ad4ant124 1175 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → 𝑆𝑡)
19 hasheni 13914 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑡 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
2120adantr 484 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑡))
22 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → (♯‘𝑡) = 𝑥)
2321, 22eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) ∧ 𝑡𝐽) ∧ (♯‘𝑡) = 𝑥) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
248, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ♯
25 fvelima 6778 . . . . . . . 8 ((Fun ♯ ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2624, 25mpan 690 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2726adantl 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → ∃𝑡𝐽 (♯‘𝑡) = 𝑥)
2823, 27r19.29a 3208 . . . . 5 (((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)) → 𝑥 = (♯‘𝑆))
2928ralrimiva 3105 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆))
30 ne0i 4249 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝐽 ≠ ∅)
3130adantl 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → 𝐽 ≠ ∅)
32 ffn 6545 . . . . . . . . 9 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
338, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 ♯ Fn V
34 ssv 3925 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ V
35 fnimaeq0 6511 . . . . . . . 8 ((♯ Fn V ∧ 𝐽 ⊆ V) → ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅))
3633, 34, 35mp2an 692 . . . . . . 7 ((♯ “ 𝐽) = ∅ ↔ 𝐽 = ∅)
3736necon3bii 2993 . . . . . 6 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ ↔ 𝐽 ≠ ∅)
3831, 37sylibr 237 . . . . 5 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) ≠ ∅)
39 eqsn 4742 . . . . 5 ((♯ “ 𝐽) ≠ ∅ → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → ((♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)} ↔ ∀𝑥 ∈ (♯ “ 𝐽)𝑥 = (♯‘𝑆)))
4129, 40mpbird 260 . . 3 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
4241unieqd 4833 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (♯ “ 𝐽) = {(♯‘𝑆)})
43 fvex 6730 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ V
4443unisn 4841 . . 3 {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆)
4544a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → {(♯‘𝑆)} = (♯‘𝑆))
4616, 42, 453eqtrd 2781 1 ((𝐹 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (dim‘𝐹) = (♯‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cun 3864  wss 3866  c0 4237  {csn 4541   cuni 4819   class class class wbr 5053  cima 5554  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  cen 8623  +∞cpnf 10864  0cn0 12090  chash 13896  LBasisclbs 20111  LVecclvec 20139  dimcldim 31398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-reg 9208  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-oi 9126  df-r1 9380  df-rank 9381  df-card 9555  df-acn 9558  df-ac 9730  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ocomp 16823  df-0g 16946  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-mri 17091  df-acs 17092  df-proset 17802  df-drs 17803  df-poset 17820  df-ipo 18034  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lbs 20112  df-lvec 20140  df-dim 31399
This theorem is referenced by:  dimcl  31402  lvecdim0i  31403  lvecdim0  31404  lssdimle  31405  dimpropd  31406  rgmoddim  31407  frlmdim  31408  lsatdim  31414  dimkerim  31422  fedgmul  31426  extdg1id  31452  ccfldextdgrr  31456
  Copyright terms: Public domain W3C validator