Theorem fvmptelrn 6854

Description: The value of a function at a point of its domain belongs to its codomain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmptelrn.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fvmptelrn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fvmptelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptelrn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	fmpt 6851	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
4	1, 3	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	r19.21bi 3173	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  rlimmptrcl  14956  lo1mptrcl  14970  o1mptrcl  14971  frlmgsum  20461  uvcresum  20482  psrass1lem  20615  txcnp  22225  ptcnp  22227  ptcn  22232  cnmpt11  22268  cnmpt1t  22270  cnmpt12  22272  cnmptkp  22285  cnmptk1  22286  cnmptkk  22288  cnmptk1p  22290  cnmptk2  22291  cnmpt1plusg  22692  cnmpt1vsca  22799  cnmpt1ds  23447  cncfcompt2  23513  cncfmpt2ss  23521  cnmpt1ip  23851  divcncf  24051  mbfmptcl  24240  i1fposd  24311  itgss3  24418  dvmptcl  24562  dvmptco  24575  dvle  24610  dvfsumle  24624  dvfsumge  24625  dvmptrecl  24627  itgparts  24650  itgsubstlem  24651  itgsubst  24652  ulmss  24992  ulmdvlem2  24996  itgulm2  25004  logtayl  25251  intlewftc  39344  cncfcompt  42525  cncficcgt0  42530  itgsubsticclem  42617  sge0iunmptlemre  43054  hoicvrrex  43195  smfadd  43398  smfpimioompt  43418  smfsupmpt  43446  smfinfmpt  43450