Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 41233
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
intlewftc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
intlewftc.15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2 cncff 24634 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
64leidd 11785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
74, 5, 63jca 1127 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13394 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
108, 4, 9syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
117, 10mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
123, 11ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
138leidd 11785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
148, 13, 53jca 1127 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
15 elicc2 13394 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
168, 4, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
1714, 16mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
183, 17ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11647 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
21 cncff 24634 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2322, 11ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11647 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2817 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2817 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
35 cncff 24634 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3727feq1d 6702 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
3836, 37mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3938fvmptelcdm 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
41 cncff 24634 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4331feq1d 6702 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
4442, 43mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4544fvmptelcdm 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25560 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯)
4839itgmpt 25533 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑)
4927fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5150eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) = (π·β€˜π‘‘))
5251itgeq2dv 25532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
5655itgeq2dv 25532 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
57 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
59 fss 6734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
6036, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
61 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
62 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6361, 34, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6553eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6753, 26eqeltrrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
693, 58, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
70 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7161, 1, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 25797 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7456, 73eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7552, 74eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7648, 75eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7745itgmpt 25533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑)
7831adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) = (πΈβ€˜π‘‘))
8180itgeq2dv 25532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
8277, 81eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘))
8685itgeq2dv 25532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑)
87 fss 6734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8842, 58, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
89 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9061, 40, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9283eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9493, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9594, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9683, 30eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9822, 58, 97syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
99 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10061, 20, 99syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10198, 100mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 25797 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10386, 102eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10482, 103eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10576, 104breq12d 5161 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
10647, 105mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
107 intlewftc.15 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11838 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)))
10957, 12sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11057, 18sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
111109, 110npcand 11580 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π΅))
11257, 23sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11357, 24sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
114112, 113npcand 11580 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) = (πΊβ€˜π΅))
115111, 114breq12d 5161 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅)))
116108, 115mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113   + caddc 11117   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  β€“cnβ†’ccncf 24617  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator