Theorem intlewftc 39997

Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
intlewftc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
intlewftc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
intlewftc.15	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
intlewftc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intlewftc.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2		cncff 23962	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4		intlewftc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		intlewftc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4	leidd 11471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		intlewftc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		elicc2 13073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
10	8, 4, 9	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	7, 10	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	3, 11	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
13	8	leidd 11471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14	8, 13, 5	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
15		elicc2 13073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
16	8, 4, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
17	14, 16	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	3, 17	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	12, 18	resubcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		intlewftc.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21		cncff 23962	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	22, 11	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22, 17	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
26		intlewftc.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
27		intlewftc.12	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
28	27	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
29	26, 28	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30		intlewftc.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
31		intlewftc.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
32	31	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34		intlewftc.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35		cncff 23962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
37	27	feq1d 6569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
38	36, 37	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
39	38	fvmptelrn 6969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40		intlewftc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41		cncff 23962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
43	31	feq1d 6569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
44	42, 43	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45	44	fvmptelrn 6969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46		intlewftc.14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
47	29, 33, 39, 45, 46	itgle 24879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
48	39	itgmpt 24852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
49	27	fveq1d 6758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
51	50	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷‘𝑡))
52	51	itgeq2dv 24851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡)
53		intlewftc.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
55	54	fveq1d 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
56	55	itgeq2dv 24851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57		ax-resscn 10859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		fss 6601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
60	36, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61		ssidd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62		cncffvrn 23967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
63	61, 34, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
64	60, 63	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
65	53	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
66	64, 65	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
67	53, 26	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68		fss 6601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
69	3, 58, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70		cncffvrn 23967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
71	61, 1, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
73	8, 4, 5, 66, 67, 72	ftc2 25113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
74	56, 73	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
75	52, 74	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
76	48, 75	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
77	45	itgmpt 24852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
78	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
79	78	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
80	79	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸‘𝑡))
81	80	itgeq2dv 24851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
82	77, 81	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
83		intlewftc.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
85	84	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸‘𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
86	85	itgeq2dv 24851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87		fss 6601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	42, 58, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89		cncffvrn 23967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
90	61, 40, 89	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
91	88, 90	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
92	83	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
93	91, 92	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
94	93, 92	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
95	94, 92	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	83, 30	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97		fss 6601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
98	22, 58, 97	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99		cncffvrn 23967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
100	61, 20, 99	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
101	98, 100	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
102	8, 4, 5, 95, 96, 101	ftc2 25113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
103	86, 102	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
104	82, 103	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
105	76, 104	breq12d 5083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
106	47, 105	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
107		intlewftc.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))
108	19, 18, 25, 24, 106, 107	le2addd 11524	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)))
109	57, 12	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
110	57, 18	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
111	109, 110	npcand 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
112	57, 23	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
113	57, 24	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
114	112, 113	npcand 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) = (𝐺‘𝐵))
115	111, 114	breq12d 5083	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) ↔ (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵)))
116	108, 115	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011  –cn→ccncf 23945  𝐿¹cibl 24686  ∫citg 24687   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by: (None)