Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 42062
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (𝜑𝐴𝐵)
intlewftc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
intlewftc.15 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2 cncff 24919 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
64leidd 11829 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
74, 5, 63jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13452 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
108, 4, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
117, 10mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123, 11ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
138leidd 11829 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
148, 13, 53jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵))
15 elicc2 13452 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
168, 4, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
1714, 16mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
183, 17ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11691 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21 cncff 24919 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2322, 11ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11691 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35 cncff 24919 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3727feq1d 6720 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3836, 37mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3938fvmptelcdm 7133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41 cncff 24919 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4331feq1d 6720 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4442, 43mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4544fvmptelcdm 7133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25845 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
4839itgmpt 25818 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
4927fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5150eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷𝑡))
5251itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
5655itgeq2dv 25817 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 fss 6752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6036, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6361, 34, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6553eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
6664, 65mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6753, 26eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
693, 58, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7161, 1, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 26085 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7456, 73eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7552, 74eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7648, 75eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7745itgmpt 25818 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
7831adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6908 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸𝑡))
8180itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
8277, 81eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6908 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
8685itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87 fss 6752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8842, 58, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9061, 40, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9283eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
9391, 92mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9493, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9594, 92mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9683, 30eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6752 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9822, 58, 97syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10061, 20, 99syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10198, 100mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 26085 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10386, 102eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10482, 103eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10576, 104breq12d 5156 . . . 4 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))))
10647, 105mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
107 intlewftc.15 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11882 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)))
10957, 12sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
11057, 18sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11624 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
11257, 23sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
11357, 24sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
114112, 113npcand 11624 . . 3 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) = (𝐺𝐵))
115111, 114breq12d 5156 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
116108, 115mpbid 232 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902  𝐿1cibl 25652  citg 25653   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator