Theorem intlewftc 42806

Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
intlewftc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
intlewftc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
intlewftc.15	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
intlewftc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intlewftc.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2		cncff 25033	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4		intlewftc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		intlewftc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4	leidd 11781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		intlewftc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		elicc2 13439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
10	8, 4, 9	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	7, 10	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	3, 11	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
13	8	leidd 11781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14	8, 13, 5	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
15		elicc2 13439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
16	8, 4, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
17	14, 16	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	3, 17	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	12, 18	resubcld 11643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		intlewftc.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21		cncff 25033	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	22, 11	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22, 17	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
26		intlewftc.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
27		intlewftc.12	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
28	27	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
29	26, 28	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30		intlewftc.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
31		intlewftc.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
32	31	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
33	30, 32	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34		intlewftc.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35		cncff 25033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
37	27	feq1d 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
38	36, 37	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
39	38	fvmptelcdm 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40		intlewftc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41		cncff 25033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42	40, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
43	31	feq1d 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
44	42, 43	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45	44	fvmptelcdm 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46		intlewftc.14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
47	29, 33, 39, 45, 46	itgle 25950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
48	39	itgmpt 25923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
49	27	fveq1d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
50	49	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
51	50	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷‘𝑡))
52	51	itgeq2dv 25922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡)
53		intlewftc.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
55	54	fveq1d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
56	55	itgeq2dv 25922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57		ax-resscn 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		fss 6724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
60	36, 58, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61		ssidd 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62		cncfcdm 25038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
63	61, 34, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
64	60, 63	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
65	53	eleq1d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
66	64, 65	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
67	53, 26	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68		fss 6724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
69	3, 58, 68	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70		cncfcdm 25038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
71	61, 1, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
73	8, 4, 5, 66, 67, 72	ftc2 26184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
74	56, 73	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
75	52, 74	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
76	48, 75	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
77	45	itgmpt 25923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
78	31	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
79	78	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
80	79	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸‘𝑡))
81	80	itgeq2dv 25922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
82	77, 81	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
83		intlewftc.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
84	83	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
85	84	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸‘𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
86	85	itgeq2dv 25922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87		fss 6724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	42, 58, 87	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89		cncfcdm 25038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
90	61, 40, 89	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
91	88, 90	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
92	83	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
93	91, 92	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
94	93, 92	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
95	94, 92	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	83, 30	eqeltrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97		fss 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
98	22, 58, 97	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99		cncfcdm 25038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
100	61, 20, 99	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
102	8, 4, 5, 95, 96, 101	ftc2 26184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
103	86, 102	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
104	82, 103	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
105	76, 104	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
106	47, 105	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
107		intlewftc.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))
108	19, 18, 25, 24, 106, 107	le2addd 11834	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)))
109	57, 12	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
110	57, 18	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
111	109, 110	npcand 11574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
112	57, 23	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
113	57, 24	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
114	112, 113	npcand 11574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) = (𝐺‘𝐵))
115	111, 114	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) ↔ (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵)))
116	108, 115	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442  (,)cioo 13373  [,]cicc 13376  –cn→ccncf 25016  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758   D cdv 26003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by: (None)