Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 40372
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (𝜑𝐴𝐵)
intlewftc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
intlewftc.15 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2 cncff 24162 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
64leidd 11647 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
74, 5, 63jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13250 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
108, 4, 9syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
117, 10mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123, 11ffvelcdmd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
138leidd 11647 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
148, 13, 53jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵))
15 elicc2 13250 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
168, 4, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
1714, 16mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
183, 17ffvelcdmd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11509 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21 cncff 24162 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2322, 11ffvelcdmd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11509 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35 cncff 24162 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3727feq1d 6641 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3836, 37mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3938fvmptelcdm 7048 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41 cncff 24162 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4331feq1d 6641 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4442, 43mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4544fvmptelcdm 7048 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25080 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
4839itgmpt 25053 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
4927fveq1d 6832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5150eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷𝑡))
5251itgeq2dv 25052 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
5655itgeq2dv 25052 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57 ax-resscn 11034 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 fss 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6036, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61 ssidd 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62 cncfcdm 24167 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6361, 34, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6553eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6753, 26eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6673 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
693, 58, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70 cncfcdm 24167 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7161, 1, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 25314 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7456, 73eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7552, 74eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7648, 75eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7745itgmpt 25053 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
7831adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸𝑡))
8180itgeq2dv 25052 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
8277, 81eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
8685itgeq2dv 25052 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87 fss 6673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8842, 58, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89 cncfcdm 24167 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9061, 40, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9283eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9493, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9594, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9683, 30eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6673 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9822, 58, 97syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99 cncfcdm 24167 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10061, 20, 99syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10198, 100mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 25314 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10386, 102eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10482, 103eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10576, 104breq12d 5110 . . . 4 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))))
10647, 105mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
107 intlewftc.15 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11700 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)))
10957, 12sselid 3934 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
11057, 18sselid 3934 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11442 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
11257, 23sselid 3934 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
11357, 24sselid 3934 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
114112, 113npcand 11442 . . 3 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) = (𝐺𝐵))
115111, 114breq12d 5110 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
116108, 115mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3902   class class class wbr 5097  cmpt 5180  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976   + caddc 10980  cle 11116  cmin 11311  (,)cioo 13185  [,]cicc 13188  cnccncf 24145  𝐿1cibl 24887  citg 24888   D cdv 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cc 10297  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5063  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-acn 9804  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-itg 24893  df-0p 24940  df-limc 25136  df-dv 25137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator