Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 41012
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
intlewftc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
intlewftc.15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2 cncff 24416 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
64leidd 11782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
74, 5, 63jca 1128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13391 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
108, 4, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
117, 10mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
123, 11ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
138leidd 11782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
148, 13, 53jca 1128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
15 elicc2 13391 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
168, 4, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
1714, 16mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
183, 17ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11644 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
21 cncff 24416 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2322, 11ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11644 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2818 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2818 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
35 cncff 24416 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3727feq1d 6702 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
3836, 37mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3938fvmptelcdm 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
41 cncff 24416 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4331feq1d 6702 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
4442, 43mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4544fvmptelcdm 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25334 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯)
4839itgmpt 25307 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑)
4927fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5150eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) = (π·β€˜π‘‘))
5251itgeq2dv 25306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
5655itgeq2dv 25306 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
57 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
59 fss 6734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
6036, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
61 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
62 cncfcdm 24421 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6361, 34, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6460, 63mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6553eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6753, 26eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
693, 58, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
70 cncfcdm 24421 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7161, 1, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7269, 71mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 25568 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7456, 73eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7552, 74eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7648, 75eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7745itgmpt 25307 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑)
7831adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) = (πΈβ€˜π‘‘))
8180itgeq2dv 25306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
8277, 81eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘))
8685itgeq2dv 25306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑)
87 fss 6734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8842, 58, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
89 cncfcdm 24421 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9061, 40, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9188, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9283eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9493, 92mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9594, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9683, 30eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6734 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9822, 58, 97syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
99 cncfcdm 24421 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10061, 20, 99syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10198, 100mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 25568 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10386, 102eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10482, 103eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10576, 104breq12d 5161 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
10647, 105mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
107 intlewftc.15 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11835 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)))
10957, 12sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11057, 18sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
111109, 110npcand 11577 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π΅))
11257, 23sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11357, 24sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
114112, 113npcand 11577 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) = (πΊβ€˜π΅))
115111, 114breq12d 5161 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅)))
116108, 115mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329  β€“cnβ†’ccncf 24399  πΏ1cibl 25141  βˆ«citg 25142   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator