Theorem intlewftc 42074

Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
intlewftc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
intlewftc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
intlewftc.15	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
intlewftc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intlewftc.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2		cncff 24837	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4		intlewftc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		intlewftc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4	leidd 11803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		intlewftc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		elicc2 13428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	3, 11	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
13	8	leidd 11803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14	8, 13, 5	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
15		elicc2 13428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
16	8, 4, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
17	14, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	3, 17	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	12, 18	resubcld 11665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		intlewftc.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21		cncff 24837	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	22, 11	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22, 17	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
26		intlewftc.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
27		intlewftc.12	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
28	27	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
29	26, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30		intlewftc.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
31		intlewftc.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
32	31	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34		intlewftc.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35		cncff 24837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
37	27	feq1d 6690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
38	36, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
39	38	fvmptelcdm 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40		intlewftc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41		cncff 24837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
43	31	feq1d 6690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
44	42, 43	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45	44	fvmptelcdm 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46		intlewftc.14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
47	29, 33, 39, 45, 46	itgle 25763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
48	39	itgmpt 25736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
49	27	fveq1d 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
51	50	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷‘𝑡))
52	51	itgeq2dv 25735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡)
53		intlewftc.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
55	54	fveq1d 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
56	55	itgeq2dv 25735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57		ax-resscn 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		fss 6722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
60	36, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61		ssidd 3982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62		cncfcdm 24842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
63	61, 34, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
64	60, 63	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
65	53	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
66	64, 65	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
67	53, 26	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68		fss 6722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
69	3, 58, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70		cncfcdm 24842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
71	61, 1, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
73	8, 4, 5, 66, 67, 72	ftc2 26003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
74	56, 73	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
75	52, 74	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
76	48, 75	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
77	45	itgmpt 25736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
78	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
79	78	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
80	79	fveq1d 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸‘𝑡))
81	80	itgeq2dv 25735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
82	77, 81	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
83		intlewftc.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
85	84	fveq1d 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸‘𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
86	85	itgeq2dv 25735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87		fss 6722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	42, 58, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89		cncfcdm 24842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
90	61, 40, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
92	83	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
93	91, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
94	93, 92	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
95	94, 92	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	83, 30	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97		fss 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
98	22, 58, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99		cncfcdm 24842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
100	61, 20, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
101	98, 100	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
102	8, 4, 5, 95, 96, 101	ftc2 26003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
103	86, 102	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
104	82, 103	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
105	76, 104	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
106	47, 105	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
107		intlewftc.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))
108	19, 18, 25, 24, 106, 107	le2addd 11856	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)))
109	57, 12	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
110	57, 18	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
111	109, 110	npcand 11598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
112	57, 23	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
113	57, 24	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
114	112, 113	npcand 11598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) = (𝐺‘𝐵))
115	111, 114	breq12d 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) ↔ (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵)))
116	108, 115	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  (,)cioo 13362  [,]cicc 13365  –cn→ccncf 24820  𝐿¹cibl 25570  ∫citg 25571   D cdv 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-symdif 4228  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-ovol 25417  df-vol 25418  df-mbf 25572  df-itg1 25573  df-itg2 25574  df-ibl 25575  df-itg 25576  df-0p 25623  df-limc 25819  df-dv 25820

This theorem is referenced by: (None)