Theorem intlewftc 42034

Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
intlewftc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
intlewftc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
intlewftc.15	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
intlewftc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intlewftc.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2		cncff 24802	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4		intlewftc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		intlewftc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	4	leidd 11704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
7	4, 5, 6	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		intlewftc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		elicc2 13332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12	3, 11	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
13	8	leidd 11704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14	8, 13, 5	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
15		elicc2 13332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
16	8, 4, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
17	14, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	3, 17	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	12, 18	resubcld 11566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		intlewftc.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21		cncff 24802	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	22, 11	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22, 17	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
26		intlewftc.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐿1)
27		intlewftc.12	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
28	27	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
29	26, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30		intlewftc.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿1)
31		intlewftc.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
32	31	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34		intlewftc.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35		cncff 24802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
37	27	feq1d 6638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
38	36, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
39	38	fvmptelcdm 7051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40		intlewftc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41		cncff 24802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
43	31	feq1d 6638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
44	42, 43	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45	44	fvmptelcdm 7051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46		intlewftc.14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ≤ 𝑄)
47	29, 33, 39, 45, 46	itgle 25727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
48	39	itgmpt 25700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
49	27	fveq1d 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
51	50	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷‘𝑡))
52	51	itgeq2dv 25699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡)
53		intlewftc.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
55	54	fveq1d 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
56	55	itgeq2dv 25699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57		ax-resscn 11085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59		fss 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
60	36, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61		ssidd 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62		cncfcdm 24807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
63	61, 34, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
64	60, 63	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
65	53	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
66	64, 65	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
67	53, 26	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68		fss 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
69	3, 58, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70		cncfcdm 24807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
71	61, 1, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
73	8, 4, 5, 66, 67, 72	ftc2 25967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
74	56, 73	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
75	52, 74	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
76	48, 75	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
77	45	itgmpt 25700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
78	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
79	78	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
80	79	fveq1d 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸‘𝑡))
81	80	itgeq2dv 25699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
82	77, 81	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡)
83		intlewftc.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
85	84	fveq1d 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸‘𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
86	85	itgeq2dv 25699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87		fss 6672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	42, 58, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89		cncfcdm 24807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
90	61, 40, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
92	83	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
93	91, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
94	93, 92	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
95	94, 92	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	83, 30	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97		fss 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
98	22, 58, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99		cncfcdm 24807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
100	61, 20, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
101	98, 100	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
102	8, 4, 5, 95, 96, 101	ftc2 25967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
103	86, 102	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
104	82, 103	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
105	76, 104	breq12d 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
106	47, 105	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ≤ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)))
107		intlewftc.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐴))
108	19, 18, 25, 24, 106, 107	le2addd 11757	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)))
109	57, 12	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
110	57, 18	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
111	109, 110	npcand 11497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
112	57, 23	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
113	57, 24	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
114	112, 113	npcand 11497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) = (𝐺‘𝐵))
115	111, 114	breq12d 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) + (𝐹‘𝐴)) ≤ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) + (𝐺‘𝐴)) ↔ (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵)))
116	108, 115	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11365  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269  –cn→ccncf 24785  𝐿¹cibl 25534  ∫citg 25535   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by: (None)