Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 40564
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
intlewftc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
intlewftc.15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2 cncff 24272 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
64leidd 11726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
74, 5, 63jca 1129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
108, 4, 9syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡)))
117, 10mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
123, 11ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
138leidd 11726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
148, 13, 53jca 1129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
15 elicc2 13335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
168, 4, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝐡)))
1714, 16mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
183, 17ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
21 cncff 24272 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2322, 11ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
35 cncff 24272 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3727feq1d 6654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
3836, 37mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3938fvmptelcdm 7062 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
41 cncff 24272 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4331feq1d 6654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
4442, 43mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4544fvmptelcdm 7062 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25190 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯)
4839itgmpt 25163 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑)
4927fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘))
5150eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) = (π·β€˜π‘‘))
5251itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
5655itgeq2dv 25162 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑)
57 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
59 fss 6686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
6036, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
61 ssidd 3968 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
62 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6361, 34, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6460, 63mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6553eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
6753, 26eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6686 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
693, 58, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
70 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7161, 1, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 25424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7456, 73eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(π·β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7552, 74eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑃)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7648, 75eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
7745itgmpt 25163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑)
7831adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) = (πΈβ€˜π‘‘))
8180itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑄)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
8277, 81eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘))
8685itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑)
87 fss 6686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8842, 58, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
89 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9061, 40, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
9188, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9283eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9493, 92mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9594, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
9683, 30eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6686 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9822, 58, 97syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
99 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10061, 20, 99syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
10198, 100mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 25424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐺)β€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10386, 102eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΈβ€˜π‘‘) d𝑑 = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10482, 103eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ = ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
10576, 104breq12d 5119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫(𝐴(,)𝐡)𝑃 dπ‘₯ ≀ ∫(𝐴(,)𝐡)𝑄 dπ‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
10647, 105mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ≀ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
107 intlewftc.15 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΊβ€˜π΄))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11779 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)))
10957, 12sselid 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11057, 18sselid 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
111109, 110npcand 11521 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π΅))
11257, 23sselid 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
11357, 24sselid 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
114112, 113npcand 11521 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) = (πΊβ€˜π΅))
115111, 114breq12d 5119 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) + (πΉβ€˜π΄)) ≀ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) + (πΊβ€˜π΄)) ↔ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅)))
116108, 115mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (πΊβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055   + caddc 11059   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  β€“cnβ†’ccncf 24255  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator