Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlewftc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlewftc 40518
Description: Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
intlewftc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
intlewftc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
intlewftc.3 (𝜑𝐴𝐵)
intlewftc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.5 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.6 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
intlewftc.7 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
intlewftc.8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
intlewftc.10 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
intlewftc.11 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
intlewftc.12 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
intlewftc.13 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
intlewftc.14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
intlewftc.15 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
Assertion
Ref Expression
intlewftc (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem intlewftc
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intlewftc.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
2 cncff 24256 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
4 intlewftc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 intlewftc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
64leidd 11721 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
74, 5, 63jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵))
8 intlewftc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 elicc2 13329 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
108, 4, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐵)))
117, 10mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
123, 11ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
138leidd 11721 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
148, 13, 53jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵))
15 elicc2 13329 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
168, 4, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐴𝐴𝐵)))
1714, 16mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
183, 17ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
1912, 18resubcld 11583 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
20 intlewftc.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
21 cncff 24256 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2322, 11ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2422, 17ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2523, 24resubcld 11583 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
26 intlewftc.10 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ 𝐿1)
27 intlewftc.12 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃))
2827eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1))
2926, 28mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃) ∈ 𝐿1)
30 intlewftc.11 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ 𝐿1)
31 intlewftc.13 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
3231eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) ∈ 𝐿1)
34 intlewftc.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
35 cncff 24256 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3727feq1d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3836, 37mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3938fvmptelcdm 7061 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃 ∈ ℝ)
40 intlewftc.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
41 cncff 24256 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4331feq1d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4442, 43mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4544fvmptelcdm 7061 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑄 ∈ ℝ)
46 intlewftc.14 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑃𝑄)
4729, 33, 39, 45, 46itgle 25174 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥)
4839itgmpt 25147 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡)
4927fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡))
5150eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) = (𝐷𝑡))
5251itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡)
53 intlewftc.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 = (ℝ D 𝐹))
5554fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
5655itgeq2dv 25146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
57 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
59 fss 6685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6036, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
61 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
62 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6361, 34, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐷:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6460, 63mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6553eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
6664, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6753, 26eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
68 fss 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
693, 58, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
70 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7161, 1, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
7269, 71mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
738, 4, 5, 66, 67, 72ftc2 25408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7456, 73eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐷𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7552, 74eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑃)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7648, 75eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
7745itgmpt 25147 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡)
7831adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄))
7978eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄) = 𝐸)
8079fveq1d 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) = (𝐸𝑡))
8180itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑄)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
8277, 81eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡)
83 intlewftc.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐸 = (ℝ D 𝐺))
8584fveq1d 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐸𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑡))
8685itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡)
87 fss 6685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8842, 58, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
89 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9061, 40, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐸:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
9188, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9283eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ↔ (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9493, 92mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9594, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9683, 30eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
97 fss 6685 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9822, 58, 97syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
99 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10061, 20, 99syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
10198, 100mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1028, 4, 5, 95, 96, 101ftc2 25408 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10386, 102eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐸𝑡) d𝑡 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10482, 103eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
10576, 104breq12d 5118 . . . 4 (𝜑 → (∫(𝐴(,)𝐵)𝑃 d𝑥 ≤ ∫(𝐴(,)𝐵)𝑄 d𝑥 ↔ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))))
10647, 105mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ≤ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
107 intlewftc.15 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
10819, 18, 25, 24, 106, 107le2addd 11774 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)))
10957, 12sselid 3942 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
11057, 18sselid 3942 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11516 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
11257, 23sselid 3942 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
11357, 24sselid 3942 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
114112, 113npcand 11516 . . 3 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) = (𝐺𝐵))
115111, 114breq12d 5118 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) + (𝐹𝐴)) ≤ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) + (𝐺𝐴)) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
116108, 115mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cnccncf 24239  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator