MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 24030
Description: Integration by parts. If 𝐵(𝑥) is the derivative of 𝐴(𝑥) and 𝐷(𝑥) is the derivative of 𝐶(𝑥), and 𝐸 = (𝐴 · 𝐵)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 · 𝐵)(𝑌), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 · 𝐷 from 𝑋 to 𝑌 is equal to 𝐹𝐸 minus the integral of 𝐵 · 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgparts.le (𝜑𝑋𝑌)
itgparts.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.d (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.ad (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgparts.dc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
itgparts.f ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
2 cncff 22916 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
54fmpt 6523 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
63, 5sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ)
76r19.21bi 3081 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 ioossicc 12464 . . . . . . 7 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
98sseli 3748 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 itgparts.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
11 cncff 22916 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
13 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)
1413fmpt 6523 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1512, 14sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 3081 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
187, 17mulcld 10262 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
19 itgparts.bc . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
2018, 19itgcl 23770 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
21 itgparts.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
22 cncff 22916 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
24 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)
2524fmpt 6523 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2623, 25sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ)
2726r19.21bi 3081 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
289, 27sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 itgparts.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
30 cncff 22916 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
32 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷)
3332fmpt 6523 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3431, 33sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ)
3534r19.21bi 3081 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 10262 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
37 itgparts.ad . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
3836, 37itgcl 23770 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 ∈ ℂ)
3920, 38pncan2d 10596 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥)
4018, 19, 36, 37itgadd 23811 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥))
41 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑡 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡))
42 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥)
43 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑥
44 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑥 D
45 nfmpt1 4881 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
4643, 44, 45nfov 6821 . . . . . . . 8 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))
47 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
4846, 47nffv 6339 . . . . . . 7 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡)
4941, 42, 48cbvitg 23762 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡
50 itgparts.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 itgparts.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 itgparts.le . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
53 ax-resscn 10195 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
55 iccssre 12460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5650, 51, 55syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5727, 16mulcld 10262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
58 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5958tgioo2 22826 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60 iccntr 22844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6150, 51, 60syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 23954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))))
63 reelprrecn 10230 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6554, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 23954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
66 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6765, 66eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6854, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 23954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)))
69 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7068, 69eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7164, 28, 7, 67, 17, 35, 70dvmptmul 23944 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
7235, 28mulcomd 10263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
7372oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
7473mpteq2dva 4878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7562, 71, 743eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7658addcn 22888 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7776a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
78 resmpt 5590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶))
798, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)
80 rescncf 22920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
818, 10, 80mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8279, 81syl5eqelr 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
831, 82mulcncf 23434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
84 resmpt 5590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴))
858, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)
86 rescncf 22920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
878, 21, 86mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8885, 87syl5eqelr 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8988, 29mulcncf 23434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9058, 77, 83, 89cncfmpt2f 22937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9175, 90eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9218, 19, 36, 37ibladd 23807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ 𝐿1)
9375, 92eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ 𝐿1)
9421, 10mulcncf 23434 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
9550, 51, 52, 91, 93, 94ftc2 24027 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9649, 95syl5eq 2817 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9775fveq1d 6334 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
9897adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
99 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
100 ovex 6823 . . . . . . . 8 ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V
101 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
102101fvmpt2 6433 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10399, 100, 102sylancl 574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10498, 103eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
105104itgeq2dv 23768 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥)
10650rexrd 10291 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
10751rexrd 10291 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
108 ubicc2 12496 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
109106, 107, 52, 108syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
110 ovex 6823 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝐶) ∈ V
111110csbex 4927 . . . . . . . 8 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
112 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
113112fvmpts 6427 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
114109, 111, 113sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
115 itgparts.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
11651, 115csbied 3709 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
117114, 116eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝐹)
118 lbicc2 12495 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
119106, 107, 52, 118syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
120110csbex 4927 . . . . . . . 8 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
121112fvmpts 6427 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
122119, 120, 121sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
123 itgparts.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
12450, 123csbied 3709 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
125122, 124eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝐸)
126117, 125oveq12d 6811 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)) = (𝐹𝐸))
12796, 105, 1263eqtr3d 2813 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (𝐹𝐸))
12840, 127eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) = (𝐹𝐸))
129128oveq1d 6808 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
13039, 129eqtr3d 2807 1 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  csb 3682  wss 3723  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   + caddc 10141   · cmul 10143  *cxr 10275  cle 10277  cmin 10468  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  intcnt 21042   Cn ccn 21249   ×t ctx 21584  cnccncf 22899  𝐿1cibl 23605  citg 23606   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  40687  fourierdlem39  40880
  Copyright terms: Public domain W3C validator