MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 25932
Description: Integration by parts. If 𝐡(π‘₯) is the derivative of 𝐴(π‘₯) and 𝐷(π‘₯) is the derivative of 𝐢(π‘₯), and 𝐸 = (𝐴 Β· 𝐡)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 Β· 𝐡)(π‘Œ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 Β· 𝐷 from 𝑋 to π‘Œ is equal to 𝐹 βˆ’ 𝐸 minus the integral of 𝐡 Β· 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
itgparts.le (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
itgparts.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.c (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.d (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.ad (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
itgparts.dc (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
itgparts.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24763 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
43fvmptelcdm 7107 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 ioossicc 13413 . . . . . . 7 (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
65sseli 3973 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
7 itgparts.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24763 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
109fvmptelcdm 7107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
116, 10sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
124, 11mulcld 11235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
13 itgparts.bc . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
1412, 13itgcl 25663 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ ∈ β„‚)
15 itgparts.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24763 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817fvmptelcdm 7107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
196, 18sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 itgparts.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
21 cncff 24763 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2322fvmptelcdm 7107 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2419, 23mulcld 11235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐷) ∈ β„‚)
25 itgparts.ad . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
2624, 25itgcl 25663 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ ∈ β„‚)
2714, 26pncan2d 11574 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯)
2812, 13, 24, 25itgadd 25704 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯))
29 fveq2 6884 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘))
30 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯)
31 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ℝ
32 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ D
33 nfmpt1 5249 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
3431, 32, 33nfov 7434 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))
35 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
3634, 35nffv 6894 . . . . . . 7 β„²π‘₯((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘)
3729, 30, 36cbvitg 25655 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑
38 itgparts.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
39 itgparts.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40 itgparts.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
41 ax-resscn 11166 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
43 iccssre 13409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4438, 39, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4518, 10mulcld 11235 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
46 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4746tgioo2 24669 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
48 iccntr 24687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
4938, 39, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
5042, 44, 45, 47, 46, 49dvmptntr 25853 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))))
51 reelprrecn 11201 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5342, 44, 18, 47, 46, 49dvmptntr 25853 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)))
54 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5553, 54eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5642, 44, 10, 47, 46, 49dvmptntr 25853 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)))
57 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5856, 57eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5952, 19, 4, 55, 11, 23, 58dvmptmul 25843 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))))
6023, 19mulcomd 11236 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐷 Β· 𝐴) = (𝐴 Β· 𝐷))
6160oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴)) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
6261mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6350, 59, 623eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6446addcn 24731 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
66 resmpt 6030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢))
675, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)
68 rescncf 24767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
695, 7, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7067, 69eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
711, 70mulcncf 25324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
72 resmpt 6030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴))
735, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)
74 rescncf 24767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
755, 15, 74mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7673, 75eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7776, 20mulcncf 25324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7846, 65, 71, 77cncfmpt2f 24785 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7963, 78eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8012, 13, 24, 25ibladd 25700 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ 𝐿1)
8163, 80eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ 𝐿1)
8215, 7mulcncf 25324 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8338, 39, 40, 79, 81, 82ftc2 25929 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8437, 83eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8563fveq1d 6886 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
8685adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
87 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ))
88 ovex 7437 . . . . . . . 8 ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V
89 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9089fvmpt2 7002 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ∧ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9187, 88, 90sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9286, 91eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9392itgeq2dv 25661 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯)
9438rexrd 11265 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
9539rexrd 11265 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
96 ubicc2 13445 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
9794, 95, 40, 96syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
98 ovex 7437 . . . . . . . . 9 (𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
9998csbex 5304 . . . . . . . 8 β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
100 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
101100fvmpts 6994 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
10297, 99, 101sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
103 itgparts.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
10439, 103csbied 3926 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
105102, 104eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = 𝐹)
106 lbicc2 13444 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10794, 95, 40, 106syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10898csbex 5304 . . . . . . . 8 ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
109100fvmpts 6994 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
110107, 108, 109sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
111 itgparts.e . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
11238, 111csbied 3926 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
113110, 112eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = 𝐸)
114105, 113oveq12d 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11584, 93, 1143eqtr3d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11628, 115eqtr3d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
117116oveq1d 7419 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
11827, 117eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  (,)cioo 13327  [,]cicc 13330  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  β„‚fldccnfld 21235  intcnt 22871   Cn ccn 23078   Γ—t ctx 23414  β€“cnβ†’ccncf 24746  πΏ1cibl 25496  βˆ«citg 25497   D cdv 25742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500  df-ibl 25501  df-itg 25502  df-0p 25549  df-limc 25745  df-dv 25746
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  41418  itgsinexplem1  45224  fourierdlem39  45416
  Copyright terms: Public domain W3C validator