MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 25434
Description: Integration by parts. If 𝐡(π‘₯) is the derivative of 𝐴(π‘₯) and 𝐷(π‘₯) is the derivative of 𝐢(π‘₯), and 𝐸 = (𝐴 Β· 𝐡)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 Β· 𝐡)(π‘Œ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 Β· 𝐷 from 𝑋 to π‘Œ is equal to 𝐹 βˆ’ 𝐸 minus the integral of 𝐡 Β· 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
itgparts.le (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
itgparts.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.c (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.d (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.ad (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
itgparts.dc (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
itgparts.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24279 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
43fvmptelcdm 7065 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 ioossicc 13359 . . . . . . 7 (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
65sseli 3944 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
7 itgparts.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24279 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
109fvmptelcdm 7065 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
116, 10sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
124, 11mulcld 11183 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
13 itgparts.bc . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
1412, 13itgcl 25171 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ ∈ β„‚)
15 itgparts.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24279 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817fvmptelcdm 7065 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
196, 18sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 itgparts.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
21 cncff 24279 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2322fvmptelcdm 7065 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2419, 23mulcld 11183 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐷) ∈ β„‚)
25 itgparts.ad . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
2624, 25itgcl 25171 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ ∈ β„‚)
2714, 26pncan2d 11522 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯)
2812, 13, 24, 25itgadd 25212 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯))
29 fveq2 6846 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘))
30 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯)
31 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ℝ
32 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ D
33 nfmpt1 5217 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
3431, 32, 33nfov 7391 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))
35 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
3634, 35nffv 6856 . . . . . . 7 β„²π‘₯((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘)
3729, 30, 36cbvitg 25163 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑
38 itgparts.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
39 itgparts.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40 itgparts.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
41 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
43 iccssre 13355 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4438, 39, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4518, 10mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4746tgioo2 24189 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
48 iccntr 24207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
4938, 39, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
5042, 44, 45, 47, 46, 49dvmptntr 25358 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))))
51 reelprrecn 11151 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5342, 44, 18, 47, 46, 49dvmptntr 25358 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)))
54 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5553, 54eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5642, 44, 10, 47, 46, 49dvmptntr 25358 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)))
57 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5856, 57eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5952, 19, 4, 55, 11, 23, 58dvmptmul 25348 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))))
6023, 19mulcomd 11184 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐷 Β· 𝐴) = (𝐴 Β· 𝐷))
6160oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴)) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
6261mpteq2dva 5209 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6350, 59, 623eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6446addcn 24251 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
66 resmpt 5995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢))
675, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)
68 rescncf 24283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
695, 7, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7067, 69eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
711, 70mulcncf 24833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
72 resmpt 5995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴))
735, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)
74 rescncf 24283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
755, 15, 74mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7673, 75eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7776, 20mulcncf 24833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7846, 65, 71, 77cncfmpt2f 24301 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7963, 78eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8012, 13, 24, 25ibladd 25208 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ 𝐿1)
8163, 80eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ 𝐿1)
8215, 7mulcncf 24833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8338, 39, 40, 79, 81, 82ftc2 25431 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8437, 83eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8563fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
8685adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
87 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ))
88 ovex 7394 . . . . . . . 8 ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V
89 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9089fvmpt2 6963 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ∧ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9187, 88, 90sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9286, 91eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9392itgeq2dv 25169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯)
9438rexrd 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
9539rexrd 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
96 ubicc2 13391 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
9794, 95, 40, 96syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
98 ovex 7394 . . . . . . . . 9 (𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
9998csbex 5272 . . . . . . . 8 β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
100 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
101100fvmpts 6955 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
10297, 99, 101sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
103 itgparts.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
10439, 103csbied 3897 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
105102, 104eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = 𝐹)
106 lbicc2 13390 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10794, 95, 40, 106syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10898csbex 5272 . . . . . . . 8 ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
109100fvmpts 6955 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
110107, 108, 109sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
111 itgparts.e . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
11238, 111csbied 3897 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
113110, 112eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = 𝐸)
114105, 113oveq12d 7379 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11584, 93, 1143eqtr3d 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11628, 115eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
117116oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
11827, 117eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  β€“cnβ†’ccncf 24262  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  40545  itgsinexplem1  44285  fourierdlem39  44477
  Copyright terms: Public domain W3C validator