Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 24691
 Description: Integration by parts. If 𝐵(𝑥) is the derivative of 𝐴(𝑥) and 𝐷(𝑥) is the derivative of 𝐶(𝑥), and 𝐸 = (𝐴 · 𝐵)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 · 𝐵)(𝑌), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 · 𝐷 from 𝑋 to 𝑌 is equal to 𝐹 − 𝐸 minus the integral of 𝐵 · 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgparts.le (𝜑𝑋𝑌)
itgparts.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.d (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.ad (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgparts.dc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
itgparts.f ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
2 cncff 23539 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
43fvmptelrn 6864 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 ioossicc 12831 . . . . . . 7 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
65sseli 3913 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
7 itgparts.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
8 cncff 23539 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
109fvmptelrn 6864 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
116, 10sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
124, 11mulcld 10668 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
13 itgparts.bc . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
1412, 13itgcl 24428 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
15 itgparts.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
16 cncff 23539 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1817fvmptelrn 6864 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
196, 18sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20 itgparts.d . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
21 cncff 23539 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
2322fvmptelrn 6864 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2419, 23mulcld 10668 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
25 itgparts.ad . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
2624, 25itgcl 24428 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 ∈ ℂ)
2714, 26pncan2d 11006 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥)
2812, 13, 24, 25itgadd 24469 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥))
29 fveq2 6655 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑡 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡))
30 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥)
31 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑥
32 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑥 D
33 nfmpt1 5132 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
3431, 32, 33nfov 7175 . . . . . . . 8 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))
35 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
3634, 35nffv 6665 . . . . . . 7 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡)
3729, 30, 36cbvitg 24420 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡
38 itgparts.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
39 itgparts.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40 itgparts.le . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
41 ax-resscn 10601 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
43 iccssre 12827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
4438, 39, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
4518, 10mulcld 10668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
46 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746tgioo2 23449 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
48 iccntr 23467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
4938, 39, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
5042, 44, 45, 47, 46, 49dvmptntr 24615 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))))
51 reelprrecn 10636 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5342, 44, 18, 47, 46, 49dvmptntr 24615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
54 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
5553, 54eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
5642, 44, 10, 47, 46, 49dvmptntr 24615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)))
57 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
5856, 57eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
5952, 19, 4, 55, 11, 23, 58dvmptmul 24605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
6023, 19mulcomd 10669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
6160oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
6261mpteq2dva 5129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
6350, 59, 623eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
6446addcn 23511 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
66 resmpt 5876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶))
675, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)
68 rescncf 23543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
695, 7, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7067, 69eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
711, 70mulcncf 24091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
72 resmpt 5876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴))
735, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)
74 rescncf 23543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
755, 15, 74mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7673, 75eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7776, 20mulcncf 24091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7846, 65, 71, 77cncfmpt2f 23561 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7963, 78eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8012, 13, 24, 25ibladd 24465 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ 𝐿1)
8163, 80eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ 𝐿1)
8215, 7mulcncf 24091 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
8338, 39, 40, 79, 81, 82ftc2 24688 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
8437, 83syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
8563fveq1d 6657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
8685adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
87 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
88 ovex 7178 . . . . . . . 8 ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V
89 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
9089fvmpt2 6766 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
9187, 88, 90sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
9286, 91eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
9392itgeq2dv 24426 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥)
9438rexrd 10698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
9539rexrd 10698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
96 ubicc2 12863 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9794, 95, 40, 96syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
98 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝐶) ∈ V
9998csbex 5183 . . . . . . . 8 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
100 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
101100fvmpts 6758 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
10297, 99, 101sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
103 itgparts.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
10439, 103csbied 3866 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
105102, 104eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝐹)
106 lbicc2 12862 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10794, 95, 40, 106syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10898csbex 5183 . . . . . . . 8 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
109100fvmpts 6758 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
110107, 108, 109sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
111 itgparts.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
11238, 111csbied 3866 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
113110, 112eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝐸)
114105, 113oveq12d 7163 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)) = (𝐹𝐸))
11584, 93, 1143eqtr3d 2841 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (𝐹𝐸))
11628, 115eqtr3d 2835 . . 3 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) = (𝐹𝐸))
117116oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
11827, 117eqtr3d 2835 1 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ⦋csb 3830   ⊆ wss 3883  {cpr 4530   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543   + caddc 10547   · cmul 10549  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683   − cmin 10877  (,)cioo 12746  [,]cicc 12749  TopOpenctopn 16707  topGenctg 16723  ℂfldccnfld 20112  intcnt 21663   Cn ccn 21870   ×t ctx 22206  –cn→ccncf 23522  𝐿1cibl 24262  ∫citg 24263   D cdv 24507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4172  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-cmp 22033  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-ovol 24109  df-vol 24110  df-mbf 24264  df-itg1 24265  df-itg2 24266  df-ibl 24267  df-itg 24268  df-0p 24315  df-limc 24510  df-dv 24511 This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  39477  itgsinexplem1  42764  fourierdlem39  42956
 Copyright terms: Public domain W3C validator