MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 26002
Description: Integration by parts. If 𝐡(π‘₯) is the derivative of 𝐴(π‘₯) and 𝐷(π‘₯) is the derivative of 𝐢(π‘₯), and 𝐸 = (𝐴 Β· 𝐡)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 Β· 𝐡)(π‘Œ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 Β· 𝐷 from 𝑋 to π‘Œ is equal to 𝐹 βˆ’ 𝐸 minus the integral of 𝐡 Β· 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
itgparts.le (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
itgparts.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.c (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.d (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
itgparts.ad (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
itgparts.dc (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
itgparts.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24833 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
43fvmptelcdm 7128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 ioossicc 13450 . . . . . . 7 (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
65sseli 3978 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
7 itgparts.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24833 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
109fvmptelcdm 7128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
116, 10sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
124, 11mulcld 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
13 itgparts.bc . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ 𝐿1)
1412, 13itgcl 25733 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ ∈ β„‚)
15 itgparts.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
16 cncff 24833 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1817fvmptelcdm 7128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
196, 18sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 itgparts.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
21 cncff 24833 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2322fvmptelcdm 7128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2419, 23mulcld 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐷) ∈ β„‚)
25 itgparts.ad . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ 𝐿1)
2624, 25itgcl 25733 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ ∈ β„‚)
2714, 26pncan2d 11611 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯)
2812, 13, 24, 25itgadd 25774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯))
29 fveq2 6902 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘))
30 nfcv 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯)
31 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ℝ
32 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ D
33 nfmpt1 5260 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
3431, 32, 33nfov 7456 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))
35 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
3634, 35nffv 6912 . . . . . . 7 β„²π‘₯((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘)
3729, 30, 36cbvitg 25725 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑
38 itgparts.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
39 itgparts.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40 itgparts.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
41 ax-resscn 11203 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
43 iccssre 13446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4438, 39, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
4518, 10mulcld 11272 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
46 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4746tgioo2 24739 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
48 iccntr 24757 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
4938, 39, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
5042, 44, 45, 47, 46, 49dvmptntr 25923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))))
51 reelprrecn 11238 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5342, 44, 18, 47, 46, 49dvmptntr 25923 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)))
54 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5553, 54eqtr3d 2770 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
5642, 44, 10, 47, 46, 49dvmptntr 25923 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)))
57 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5856, 57eqtr3d 2770 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐷))
5952, 19, 4, 55, 11, 23, 58dvmptmul 25913 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))))
6023, 19mulcomd 11273 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (𝐷 Β· 𝐴) = (𝐴 Β· 𝐷))
6160oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴)) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
6261mpteq2dva 5252 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐷 Β· 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6350, 59, 623eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))))
6446addcn 24801 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
66 resmpt 6046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢))
675, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢)
68 rescncf 24837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
695, 7, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7067, 69eqeltrrid 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
711, 70mulcncf 25394 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
72 resmpt 6046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴))
735, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)
74 rescncf 24837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
755, 15, 74mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7673, 75eqeltrrid 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7776, 20mulcncf 25394 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7846, 65, 71, 77cncfmpt2f 24855 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
7963, 78eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8012, 13, 24, 25ibladd 25770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) ∈ 𝐿1)
8163, 80eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))) ∈ 𝐿1)
8215, 7mulcncf 25394 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
8338, 39, 40, 79, 81, 82ftc2 25999 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8437, 83eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)))
8563fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
8685adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯))
87 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ))
88 ovex 7459 . . . . . . . 8 ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V
89 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9089fvmpt2 7021 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ∧ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9187, 88, 90sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9286, 91eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)))
9392itgeq2dv 25731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯)
9438rexrd 11302 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
9539rexrd 11302 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
96 ubicc2 13482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
9794, 95, 40, 96syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
98 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
9998csbex 5315 . . . . . . . 8 β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
100 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))
101100fvmpts 7013 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
10297, 99, 101sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
103 itgparts.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
10439, 103csbied 3932 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐹)
105102, 104eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) = 𝐹)
106 lbicc2 13481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10794, 95, 40, 106syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
10898csbex 5315 . . . . . . . 8 ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V
109100fvmpts 7013 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
110107, 108, 109sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢))
111 itgparts.e . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
11238, 111csbied 3932 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐢) = 𝐸)
113110, 112eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹) = 𝐸)
114105, 113oveq12d 7444 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (𝐴 Β· 𝐢))β€˜π‘‹)) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11584, 93, 1143eqtr3d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· 𝐷)) dπ‘₯ = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
11628, 115eqtr3d 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
117116oveq1d 7441 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯ + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯) = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
11827, 117eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐴 Β· 𝐷) dπ‘₯ = ((𝐹 βˆ’ 𝐸) βˆ’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐡 Β· 𝐢) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145   + caddc 11149   Β· cmul 11151  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  β„‚fldccnfld 21286  intcnt 22941   Cn ccn 23148   Γ—t ctx 23484  β€“cnβ†’ccncf 24816  πΏ1cibl 25566  βˆ«citg 25567   D cdv 25812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4245  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572  df-0p 25619  df-limc 25815  df-dv 25816
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  41541  itgsinexplem1  45371  fourierdlem39  45563
  Copyright terms: Public domain W3C validator