| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0iunmptlemre.sxr |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 2 | | sge0iunmptlemre.ssxr |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 3 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 4 | 3 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶)) |
| 5 | 4 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶))) |
| 6 | 5 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶))) |
| 7 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 8 | 7 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 9 | 3 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 10 | | eliun 4995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 11 | 9, 10 | sylib 218 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 12 | 11 | adantll 714 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 13 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
| 14 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥𝑦 |
| 15 | | nfiu1 5027 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
| 16 | 15 | nfpw 4619 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥𝒫 ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
| 17 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥Fin |
| 18 | 16, 17 | nfin 4224 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) |
| 19 | 14, 18 | nfel 2920 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) |
| 20 | 13, 19 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
| 21 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 |
| 22 | 20, 21 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) |
| 23 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥 𝐶 ∈
(0[,)+∞) |
| 24 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 25 | | sge0iunmptlemre.c |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 26 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) |
| 27 | 26 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶) |
| 28 | 24, 25, 27 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶) |
| 29 | 28 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘)) |
| 30 | 25 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 31 | 30, 26 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 32 | 31 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 33 | | sge0iunmptlemre.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
| 34 | 33 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
| 35 | | sge0iunmptlemre.re |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 36 | 35 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 37 | 34, 32, 36 | sge0rern 46403 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) |
| 38 | 32, 37 | fge0iccico 46385 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,)+∞)) |
| 39 | 38, 24 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) ∈ (0[,)+∞)) |
| 40 | 29, 39 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 41 | 40 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
| 42 | 41 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
| 43 | 22, 23, 42 | rexlimd 3266 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))) |
| 44 | 12, 43 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 45 | 8, 44 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶) |
| 46 | | sseqin2 4223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) = 𝑦) |
| 47 | 46 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) = 𝑦) |
| 48 | 47 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑦 = (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦)) |
| 49 | | iunin1 5072 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦) = (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) |
| 50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦) = (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦)) |
| 51 | 48, 50 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)) |
| 52 | 3, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)) |
| 53 | 52 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 54 | 53 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 55 | | simpl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝜑) |
| 56 | 33 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
| 57 | | sge0iunmptlemre.dj |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 58 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 59 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 60 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 61 | 59, 60 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℂ |
| 62 | 61, 40 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 63 | 62 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 64 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 65 | 56, 58, 63, 64 | fsumiunss 45590 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 66 | 55, 8, 65 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 67 | 54, 66 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 68 | 6, 45, 67 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 69 | 56, 58, 64 | disjinfi 45197 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin) |
| 70 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin) |
| 71 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(⦋𝑤 /
𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦 |
| 72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ Fin →
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) |
| 73 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 74 | 70, 72, 73 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ Fin →
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 75 | 74 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 76 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
| 77 | | elrabi 3687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 78 | 77 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 79 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 80 | 79 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 81 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐴 |
| 82 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥𝑘 |
| 83 | | nfcsb1v 3923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
| 84 | 82, 83 | nfel 2920 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
| 85 | 13, 81, 84 | nf3an 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 86 | 85, 23 | nfim 1896 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 87 | | eleq1w 2824 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴)) |
| 88 | | csbeq1a 3913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 89 | 88 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) |
| 90 | 87, 89 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))) |
| 91 | 90 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
| 92 | 86, 91, 40 | chvarfv 2240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 93 | 76, 78, 80, 92 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 94 | 93 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 95 | 75, 94 | fsumge0cl 45588 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 96 | 69, 95 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 97 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦 |
| 98 | 97 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) |
| 99 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 100 | 70, 98, 99 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 101 | 100 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
| 102 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
| 103 | | rabid 3458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)) |
| 104 | 103 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)) |
| 105 | 104 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 106 | 105 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 107 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 108 | 107 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 109 | 102, 106,
108, 40 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 110 | 109 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 111 | 101, 110 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 112 | 111 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) |
| 113 | | nfrab1 3457 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} |
| 114 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑤{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} |
| 115 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
| 116 | 83, 14 | nfin 4224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) |
| 117 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥𝐶 |
| 118 | 116, 117 | nfsum 15727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
| 119 | 88 | ineq1d 4219 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) |
| 120 | 119 | sumeq1d 15736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 121 | 113, 114,
115, 118, 120 | cbvmptf 5251 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) |
| 123 | 112, 122 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
| 124 | 123 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 125 | 124 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶))) |
| 126 | 120, 115,
118 | cbvsum 15731 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Σ𝑥 ∈
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
| 127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 128 | 96, 125, 127 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 129 | 55, 8, 128 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
| 130 | 129 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 131 | 68, 130 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 132 | | sge0iunmptlemre.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 133 | 77 | ssriv 3987 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 |
| 134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) |
| 135 | 132, 134 | ssexd 5324 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ∈ V) |
| 136 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑦 ∈ V |
| 137 | 136 | inex2 5318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⦋𝑤 /
𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V |
| 138 | 137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V) |
| 139 | | icossicc 13476 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) |
| 140 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
| 141 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 142 | 79 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
| 143 | 140, 141,
142, 92 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
| 144 | 139, 143 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 145 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
| 146 | 144, 145 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶):(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)⟶(0[,]+∞)) |
| 147 | 138, 146 | sge0cl 46396 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
| 148 | 77, 147 | sylan2 593 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
| 149 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑤(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
| 150 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥Σ^ |
| 151 | 116, 117 | nfmpt 5249 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
| 152 | 150, 151 | nffv 6916 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
| 153 | 119 | mpteq1d 5237 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
| 154 | 153 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑤 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
| 155 | 113, 114,
149, 152, 154 | cbvmptf 5251 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
| 156 | 148, 155 | fmptd 7134 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠
∅}⟶(0[,]+∞)) |
| 157 | 135, 156 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 158 | 157 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 159 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
| 160 | 147, 159 | fmptd 7134 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 161 | 132, 160 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 162 | 161 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 163 | 55, 2 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
| 164 | 155 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
| 165 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 166 | 132, 147,
134 | sge0lessmpt 46414 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 167 | 165, 166 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 168 | 167 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 169 | 149, 152,
154 | cbvmpt 5253 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
| 170 | 169 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
| 171 | 170 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
| 172 | 171 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
| 173 | 136 | inex2 5318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V |
| 174 | 173 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V) |
| 175 | 107, 30 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 176 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
| 177 | 175, 176 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶):(𝐵 ∩ 𝑦)⟶(0[,]+∞)) |
| 178 | 174, 177 | sge0cl 46396 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
| 179 | 33, 31 | sge0cl 46396 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
| 180 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 |
| 181 | 180 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵) |
| 182 | 33, 30, 181 | sge0lessmpt 46414 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 183 | 13, 132, 178, 179, 182 | sge0lempt 46425 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 184 | 172, 183 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 185 | 184 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 186 | 158, 162,
163, 168, 185 | xrletrd 13204 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 187 | 131, 186 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 188 | 187 | ralrimiva 3146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 189 | | sge0iunmptlemre.iue |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 190 | | sge0iunmptlemre.f |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶):∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 191 | 189, 190,
2 | sge0lefi 46413 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
| 192 | 188, 191 | mpbird 257 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 193 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 194 | 193 | resmptd 6058 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 195 | 194 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 196 | 195 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 197 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 198 | 197 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 199 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 200 | 199 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ∈
ℝ*) |
| 201 | | pnfxr 11315 |
. . . . . . . . 9
⊢ +∞
∈ ℝ* |
| 202 | 201 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → +∞ ∈
ℝ*) |
| 203 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑) |
| 204 | 193 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 205 | 204 | adantll 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 206 | 203, 205,
33 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
| 207 | 203, 205,
31 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
| 208 | 206, 207 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 209 | 206, 207 | sge0ge0 46399 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 210 | 203, 205,
35 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 211 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) < +∞) |
| 212 | 210, 211 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) < +∞) |
| 213 | 200, 202,
208, 209, 212 | elicod 13437 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞)) |
| 214 | 198, 213 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 215 | 196, 214 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 216 | | nfv 1914 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 217 | 189 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
| 218 | 190 | fvmptelcdm 7133 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 219 | 218 | adantlr 715 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 220 | 198, 210 | fsumrecl 15770 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 221 | 220 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 222 | | nfv 1914 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) |
| 223 | | iunss1 5006 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 224 | 193, 223 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 225 | 224 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 226 | 217, 225 | ssexd 5324 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
| 227 | 226 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
| 228 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝜑) |
| 229 | 225 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 230 | 228, 229,
218 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 231 | 230 | adantlr 715 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 232 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑝 ∈
ℝ+) |
| 233 | 193 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 234 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 235 | | disjss1 5116 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 236 | 233, 234,
235 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 237 | 203 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑) |
| 238 | 205 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 239 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
| 240 | 237, 238,
239, 25 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 241 | 198, 206,
236, 240, 210 | sge0iunmptlemfi 46428 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
| 242 | 214, 220 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ) |
| 243 | 241, 242 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 244 | 243 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 245 | 222, 227,
231, 232, 244 | sge0ltfirpmpt 46423 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
| 246 | | nfv 1914 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) |
| 247 | | nfre1 3285 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) |
| 248 | 223 | sspwd 4613 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 249 | 193, 248 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 250 | 249 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 251 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 252 | 251 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 253 | 250, 252 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
| 254 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin) |
| 255 | 254 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin) |
| 256 | 253, 255 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
| 257 | 256 | ad4ant24 754 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
| 258 | 257 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
| 259 | 221 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 260 | 259 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 261 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) |
| 262 | 226 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
| 263 | 230 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
| 264 | 243 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 265 | 251 | elpwid 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 266 | 265 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 267 | 261, 262,
263, 264, 266 | sge0ssrempt 46420 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 268 | 267 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 269 | 268 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
| 270 | | rpxr 13044 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 ∈ ℝ+
→ 𝑝 ∈
ℝ*) |
| 271 | 270 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ*) |
| 272 | 269, 271 | xaddcld 13343 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈
ℝ*) |
| 273 | 272 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈
ℝ*) |
| 274 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
| 275 | 241, 214 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 276 | 275 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 277 | 276 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 278 | 267 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
| 279 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑝 ∈ ℝ+
→ 𝑝 ∈
ℝ) |
| 280 | 279 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ) |
| 281 | | rexadd 13274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
| 282 | 278, 280,
281 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
| 283 | 282 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
| 284 | 277, 283 | breq12d 5156 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → (Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝))) |
| 285 | 274, 284 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
| 286 | 260, 273,
285 | xrltled 13192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
| 287 | | rspe 3249 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
| 288 | 258, 286,
287 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
| 289 | 288 | 3exp 1120 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)))) |
| 290 | 246, 247,
289 | rexlimd 3266 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
(∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝))) |
| 291 | 245, 290 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
| 292 | 216, 217,
219, 221, 291 | sge0gerpmpt 46417 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 293 | 215, 292 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 294 | 293 | ralrimiva 3146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 295 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 296 | 179, 295 | fmptd 7134 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 297 | 132, 296,
1 | sge0lefi 46413 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
| 298 | 294, 297 | mpbird 257 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
| 299 | 1, 2, 192, 298 | xrletrid 13197 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |