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Theorem sge0iunmptlemre 42994
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemre.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmptlemre.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmptlemre.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemre.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.re ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
sge0iunmptlemre.sxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.ssxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.f (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.iue (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemre (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iunmptlemre.sxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2 sge0iunmptlemre.ssxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
3 elpwinss 41618 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
43resmptd 5886 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → ((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦) = (𝑘𝑦𝐶))
54fveq2d 6656 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
65adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
7 elinel2 4147 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
87adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
93sselda 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
10 eliun 4898 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
119, 10sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1211adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
13 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
14 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
15 nfiu1 4928 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
1615nfpw 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝒫 𝑥𝐴 𝐵
17 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Fin
1816, 17nfin 4167 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
1914, 18nfel 2993 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
2013, 19nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
21 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑘𝑦
2220, 21nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦)
23 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐶 ∈ (0[,)+∞)
24 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
25 sge0iunmptlemre.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
2726fvmpt2 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2824, 25, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2928eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
30253expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3130, 26fmptd 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
32313adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
33 sge0iunmptlemre.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
34333adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐵𝑊)
35 sge0iunmptlemre.re . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
36353adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3734, 32, 36sge0rern 42967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑘𝐵𝐶))
3832, 37fge0iccico 42949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,)+∞))
3938, 24ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
4029, 39eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
41403exp 1116 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4322, 23, 42rexlimd 3303 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
4412, 43mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
458, 44sge0fsummpt 42969 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)) = Σ𝑘𝑦 𝐶)
46 sseqin2 4166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4746biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4847eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
49 iunin1 4969 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
5148, 50eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
523, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
5352sumeq1d 15049 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
5453adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
55 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝜑)
5633adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
57 sge0iunmptlemre.dj . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5857adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
59 rge0ssre 12834 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
60 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
6159, 60sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
6261, 40sseldi 3940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
63623adant1r 1174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
64 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
6556, 58, 63, 64fsumiunss 42157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6655, 8, 65syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6754, 66eqtrd 2857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
686, 45, 673eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6956, 58, 64disjinfi 41759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin)
70 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin)
71 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
73 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7470, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
76 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
77 elrabi 3650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑤𝐴)
7877ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
79 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
81 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤𝐴
82 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑘
83 nfcsb1v 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8482, 83nfel 2993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
8513, 81, 84nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8685, 23nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
87 eleq1w 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑤𝐴))
88 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
8988eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘𝐵𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9087, 893anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
9190imbi1d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
9286, 91, 40chvarfv 2243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9376, 78, 80, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9493adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9575, 94fsumge0cl 42155 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9669, 95sge0fsummpt 42969 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
97 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
99 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
10070, 98, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
102 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝜑)
103 rabid 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
104103biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
105104simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑥𝐴)
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑥𝐴)
107 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) → 𝑘𝐵)
108107adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑘𝐵)
109102, 106, 108, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
110109adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
111101, 110sge0fsummpt 42969 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
112111mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶))
113 nfrab1 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
114 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
115 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶
11683, 14nfin 4167 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)
117 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
118116, 117nfsum 15038 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
11988ineq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑦) = (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦))
120119sumeq1d 15049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
121113, 114, 115, 118, 120cbvmptf 5141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶))
123112, 122eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
124123fveq2d 6656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
125124eqcomd 2828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)))
126120, 114, 113, 115, 118cbvsum 15043 . . . . . . . . . 10 Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
12896, 125, 1273eqtr4d 2867 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
12955, 8, 128syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
130129eqcomd 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
13168, 130eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
132 sge0iunmptlemre.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
13377ssriv 3946 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
134133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
135132, 134ssexd 5204 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ V)
136 vex 3472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
137136inex2 5198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V)
139 icossicc 12814 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
140 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
141 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
14279adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
143140, 141, 142, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
144139, 143sseldi 3940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
145 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
146144, 145fmptd 6860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
147138, 146sge0cl 42960 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
14877, 147sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2979 . . . . . . . . . 10 𝑤^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
150 nfcv 2979 . . . . . . . . . . 11 𝑥Σ^
151116, 117nfmpt 5139 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
152150, 151nffv 6662 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
153119mpteq1d 5131 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
154153fveq2d 6656 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
155113, 114, 149, 152, 154cbvmptf 5141 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
156148, 155fmptd 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}⟶(0[,]+∞))
157135, 156sge0xrcl 42964 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
158157adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
159 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
160147, 159fmptd 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
161132, 160sge0xrcl 42964 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
162161adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
16355, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
164155fveq2i 6655 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
165164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
166132, 147, 134sge0lessmpt 42978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
167165, 166eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
168167adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
169149, 152, 154cbvmpt 5143 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
170169eqcomi 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
171170fveq2i 6655 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
172171a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
173136inex2 5198 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ∈ V
174173a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ∈ V)
175107, 30sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
176 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
177175, 176fmptd 6860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
178174, 177sge0cl 42960 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
17933, 31sge0cl 42960 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
180 inss1 4179 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵)
18233, 30, 181sge0lessmpt 42978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
18313, 132, 178, 179, 182sge0lempt 42989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
184172, 183eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
185184adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
186158, 162, 163, 168, 185xrletrd 12543 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
187131, 186eqbrtrd 5064 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
188187ralrimiva 3174 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
189 sge0iunmptlemre.iue . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
190 sge0iunmptlemre.f . . . 4 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
191189, 190, 2sge0lefi 42977 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
192188, 191mpbird 260 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
193 elpwinss 41618 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
194193resmptd 5886 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
195194fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
196195adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
197 elinel2 4147 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
198197adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
199 0xr 10677 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
200199a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ∈ ℝ*)
201 pnfxr 10684 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
202201a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → +∞ ∈ ℝ*)
203 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
204193sselda 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
205204adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
206203, 205, 33syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵𝑊)
207203, 205, 31syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
208206, 207sge0xrcl 42964 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
209206, 207sge0ge0 42963 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
210203, 205, 35syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
211 ltpnf 12503 . . . . . . . . 9 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
212210, 211syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
213200, 202, 208, 209, 212elicod 12775 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
214198, 213sge0fsummpt 42969 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
215196, 214eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
216 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
217189adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
218190fvmptelrn 6859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
219218adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
220198, 210fsumrecl 15082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
221220rexrd 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
222 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
223 iunss1 4908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
224193, 223syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
225224adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
226217, 225ssexd 5204 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
227226adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
228 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝜑)
229225sselda 3942 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
230228, 229, 218syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
231230adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
232 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑝 ∈ ℝ+)
233193adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
23457adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
235 disjss1 5013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥𝑦 𝐵))
236233, 234, 235sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝑦 𝐵)
2372033adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝜑)
2382053adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑥𝐴)
239 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
240237, 238, 239, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
241198, 206, 236, 240, 210sge0iunmptlemfi 42992 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
242214, 220eqeltrd 2914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
243241, 242eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
244243adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
245222, 227, 231, 232, 244sge0ltfirpmpt 42987 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
246 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑏((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
247 nfre1 3292 . . . . . . . 8 𝑏𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)
248223sspwd 4526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐴 → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
249193, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
250249adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
251 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
252251adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
253250, 252sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
254 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
255254adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
256253, 255elind 4145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
257256ad4ant24 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
2582573adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
259221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2602593adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
261 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin))
262226adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
263230adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
264243adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
265251elpwid 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
266265adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
267261, 262, 263, 264, 266sge0ssrempt 42984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
268267rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
269268adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
270 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ*)
271270ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ*)
272269, 271xaddcld 12682 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
2732723adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
274 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
275241, 214eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
276275adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
2772763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
278267adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
279 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ)
280279ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ)
281 rexadd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
282278, 280, 281syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
2832823adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
284277, 283breq12d 5055 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)))
285274, 284mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
286260, 273, 285xrltled 12531 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
287 rspe 3290 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
288258, 286, 287syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
2892883exp 1116 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))))
290246, 247, 289rexlimd 3303 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)))
291245, 290mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
292216, 217, 219, 221, 291sge0gerpmpt 42981 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
293215, 292eqbrtrd 5064 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
294293ralrimiva 3174 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
295 eqid 2822 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
296179, 295fmptd 6860 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
297132, 296, 1sge0lefi 42977 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))))
298294, 297mpbird 260 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
2991, 2, 192, 298xrletrid 12536 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469  csb 3855  cin 3907  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511   ciun 4894  Disj wdisj 5007   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cres 5534  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  Σcsu 15033  Σ^csumge0 42941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-sumge0 42942
This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  42997
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