Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sge0iunmptlemre.sxr |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
2 | | sge0iunmptlemre.ssxr |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
3 | | elpwinss 42567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
4 | 3 | resmptd 5947 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → ((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶)) |
5 | 4 | fveq2d 6775 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶))) |
6 | 5 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶))) |
7 | | elinel2 4135 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
8 | 7 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
9 | 3 | sselda 3926 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
10 | | eliun 4934 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
11 | 9, 10 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
12 | 11 | adantll 711 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵) |
13 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
14 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥𝑦 |
15 | | nfiu1 4964 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
16 | 15 | nfpw 4560 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥𝒫 ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
17 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥Fin |
18 | 16, 17 | nfin 4156 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) |
19 | 14, 18 | nfel 2923 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) |
20 | 13, 19 | nfan 1906 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
21 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 |
22 | 20, 21 | nfan 1906 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) |
23 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥 𝐶 ∈
(0[,)+∞) |
24 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
25 | | sge0iunmptlemre.c |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
26 | | eqid 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) |
27 | 26 | fvmpt2 6883 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶) |
28 | 24, 25, 27 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶) |
29 | 28 | eqcomd 2746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘)) |
30 | 25 | 3expa 1117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
31 | 30, 26 | fmptd 6985 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
32 | 31 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
33 | | sge0iunmptlemre.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
34 | 33 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
35 | | sge0iunmptlemre.re |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
36 | 35 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
37 | 34, 32, 36 | sge0rern 43897 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) |
38 | 32, 37 | fge0iccico 43879 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,)+∞)) |
39 | 38, 24 | ffvelrnd 6959 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) ∈ (0[,)+∞)) |
40 | 29, 39 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
41 | 40 | 3exp 1118 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
42 | 41 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
43 | 22, 23, 42 | rexlimd 3248 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))) |
44 | 12, 43 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
45 | 8, 44 | sge0fsummpt 43899 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶) |
46 | | sseqin2 4155 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) = 𝑦) |
47 | 46 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) = 𝑦) |
48 | 47 | eqcomd 2746 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑦 = (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦)) |
49 | | iunin1 5006 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦) = (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦) |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦) = (∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ 𝑦)) |
51 | 48, 50 | eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)) |
52 | 3, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)) |
53 | 52 | sumeq1d 15411 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
54 | 53 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
55 | | simpl 483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝜑) |
56 | 33 | adantlr 712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
57 | | sge0iunmptlemre.dj |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
59 | | rge0ssre 13187 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
60 | | ax-resscn 10929 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
61 | 59, 60 | sstri 3935 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℂ |
62 | 61, 40 | sselid 3924 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) |
63 | 62 | 3adant1r 1176 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) |
64 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
65 | 56, 58, 63, 64 | fsumiunss 43087 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
66 | 55, 8, 65 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
67 | 54, 66 | eqtrd 2780 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
68 | 6, 45, 67 | 3eqtrd 2784 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
69 | 56, 58, 64 | disjinfi 42701 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin) |
70 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin) |
71 | | inss2 4169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(⦋𝑤 /
𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦 |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ Fin →
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) |
73 | | ssfi 8938 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
74 | 70, 72, 73 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ Fin →
(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
75 | 74 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
76 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
77 | | elrabi 3620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → 𝑤 ∈ 𝐴) |
78 | 77 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
79 | | elinel1 4134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
80 | 79 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
81 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐴 |
82 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥𝑘 |
83 | | nfcsb1v 3862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
84 | 82, 83 | nfel 2923 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 |
85 | 13, 81, 84 | nf3an 1908 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
86 | 85, 23 | nfim 1903 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
87 | | eleq1w 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴)) |
88 | | csbeq1a 3851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
89 | 88 | eleq2d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)) |
90 | 87, 89 | 3anbi23d 1438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))) |
91 | 90 | imbi1d 342 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)))) |
92 | 86, 91, 40 | chvarfv 2237 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
93 | 76, 78, 80, 92 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
94 | 93 | adantllr 716 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
95 | 75, 94 | fsumge0cl 43085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
96 | 69, 95 | sge0fsummpt 43899 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
97 | | inss2 4169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦 |
98 | 97 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) |
99 | | ssfi 8938 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
100 | 70, 98, 99 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
101 | 100 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ Fin) |
102 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
103 | | rabid 3309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)) |
104 | 103 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)) |
105 | 104 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} → 𝑥 ∈ 𝐴) |
106 | 105 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
107 | | elinel1 4134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
108 | 107 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
109 | 102, 106,
108, 40 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
110 | 109 | adantllr 716 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
111 | 101, 110 | sge0fsummpt 43899 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
112 | 111 | mpteq2dva 5179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) |
113 | | nfrab1 3316 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} |
114 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑤{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} |
115 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑤Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
116 | 83, 14 | nfin 4156 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) |
117 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥𝐶 |
118 | 116, 117 | nfsum 15400 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
119 | 88 | ineq1d 4151 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) |
120 | 119 | sumeq1d 15411 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
121 | 113, 114,
115, 118, 120 | cbvmptf 5188 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) |
123 | 112, 122 | eqtr2d 2781 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
124 | 123 | fveq2d 6775 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
125 | 124 | eqcomd 2746 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶))) |
126 | 120, 114,
113, 115, 118 | cbvsum 15405 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Σ𝑥 ∈
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
128 | 96, 125, 127 | 3eqtr4d 2790 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
129 | 55, 8, 128 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶) |
130 | 129 | eqcomd 2746 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)𝐶 =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
131 | 68, 130 | eqtrd 2780 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
132 | | sge0iunmptlemre.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
133 | 77 | ssriv 3930 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 |
134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) |
135 | 132, 134 | ssexd 5252 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ∈ V) |
136 | | vex 3435 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑦 ∈ V |
137 | 136 | inex2 5246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⦋𝑤 /
𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V |
138 | 137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V) |
139 | | icossicc 13167 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) |
140 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝜑) |
141 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
142 | 79 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) |
143 | 140, 141,
142, 92 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) |
144 | 139, 143 | sselid 3924 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
145 | | eqid 2740 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
146 | 144, 145 | fmptd 6985 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶):(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦)⟶(0[,]+∞)) |
147 | 138, 146 | sge0cl 43890 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
148 | 77, 147 | sylan2 593 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅}) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
149 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑤(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
150 | | nfcv 2909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥Σ^ |
151 | 116, 117 | nfmpt 5186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
152 | 150, 151 | nffv 6781 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
153 | 119 | mpteq1d 5174 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) |
154 | 153 | fveq2d 6775 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑤 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
155 | 113, 114,
149, 152, 154 | cbvmptf 5188 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
156 | 148, 155 | fmptd 6985 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))):{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠
∅}⟶(0[,]+∞)) |
157 | 135, 156 | sge0xrcl 43894 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
158 | 157 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
159 | | eqid 2740 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
160 | 147, 159 | fmptd 6985 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
161 | 132, 160 | sge0xrcl 43894 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
162 | 161 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
163 | 55, 2 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈
ℝ*) |
164 | 155 | fveq2i 6774 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
165 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
166 | 132, 147,
134 | sge0lessmpt 43908 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
167 | 165, 166 | eqbrtrd 5101 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
168 | 167 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
169 | 149, 152,
154 | cbvmpt 5190 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
170 | 169 | eqcomi 2749 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))) |
171 | 170 | fveq2i 6774 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) |
172 | 171 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶))))) |
173 | 136 | inex2 5246 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V |
174 | 173 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V) |
175 | 107, 30 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
176 | | eqid 2740 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶) |
177 | 175, 176 | fmptd 6985 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶):(𝐵 ∩ 𝑦)⟶(0[,]+∞)) |
178 | 174, 177 | sge0cl 43890 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
179 | 33, 31 | sge0cl 43890 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞)) |
180 | | inss1 4168 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 |
181 | 180 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵) |
182 | 33, 30, 181 | sge0lessmpt 43908 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
183 | 13, 132, 178, 179, 182 | sge0lempt 43919 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
184 | 172, 183 | eqbrtrd 5101 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
185 | 184 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑤 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
186 | 158, 162,
163, 168, 185 | xrletrd 12895 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅} ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
187 | 131, 186 | eqbrtrd 5101 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
188 | 187 | ralrimiva 3110 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
189 | | sge0iunmptlemre.iue |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
190 | | sge0iunmptlemre.f |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶):∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞)) |
191 | 189, 190,
2 | sge0lefi 43907 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))) |
192 | 188, 191 | mpbird 256 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
193 | | elpwinss 42567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
194 | 193 | resmptd 5947 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
195 | 194 | fveq2d 6775 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
196 | 195 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
197 | | elinel2 4135 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
198 | 197 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
199 | | 0xr 11023 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ* |
200 | 199 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ∈
ℝ*) |
201 | | pnfxr 11030 |
. . . . . . . . 9
⊢ +∞
∈ ℝ* |
202 | 201 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → +∞ ∈
ℝ*) |
203 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑) |
204 | 193 | sselda 3926 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
205 | 204 | adantll 711 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
206 | 203, 205,
33 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
207 | 203, 205,
31 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) |
208 | 206, 207 | sge0xrcl 43894 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
209 | 206, 207 | sge0ge0 43893 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
210 | 203, 205,
35 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
211 | | ltpnf 12855 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) < +∞) |
212 | 210, 211 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) < +∞) |
213 | 200, 202,
208, 209, 212 | elicod 13128 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞)) |
214 | 198, 213 | sge0fsummpt 43899 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
215 | 196, 214 | eqtrd 2780 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
216 | | nfv 1921 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
217 | 189 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
218 | 190 | fvmptelrn 6984 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
219 | 218 | adantlr 712 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
220 | 198, 210 | fsumrecl 15444 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
221 | 220 | rexrd 11026 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
222 | | nfv 1921 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) |
223 | | iunss1 4944 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
224 | 193, 223 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
225 | 224 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
226 | 217, 225 | ssexd 5252 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
227 | 226 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
228 | | simpll 764 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝜑) |
229 | 225 | sselda 3926 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
230 | 228, 229,
218 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
231 | 230 | adantlr 712 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
232 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑝 ∈
ℝ+) |
233 | 193 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
234 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
235 | | disjss1 5050 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)) |
236 | 233, 234,
235 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
237 | 203 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑) |
238 | 205 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
239 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵) |
240 | 237, 238,
239, 25 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
241 | 198, 206,
236, 240, 210 | sge0iunmptlemfi 43922 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |
242 | 214, 220 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ) |
243 | 241, 242 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
244 | 243 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
245 | 222, 227,
231, 232, 244 | sge0ltfirpmpt 43917 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
246 | | nfv 1921 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) |
247 | | nfre1 3237 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) |
248 | 223 | sspwd 4554 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
249 | 193, 248 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
250 | 249 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
251 | | elinel1 4134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
252 | 251 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
253 | 250, 252 | sseldd 3927 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
254 | | elinel2 4135 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin) |
255 | 254 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin) |
256 | 253, 255 | elind 4133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
257 | 256 | ad4ant24 751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
258 | 257 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)) |
259 | 221 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
260 | 259 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
261 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) |
262 | 226 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ V) |
263 | 230 | adantlr 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) |
264 | 243 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
265 | 251 | elpwid 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
266 | 265 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
267 | 261, 262,
263, 264, 266 | sge0ssrempt 43914 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
268 | 267 | rexrd 11026 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
269 | 268 | adantlr 712 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈
ℝ*) |
270 | | rpxr 12738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 ∈ ℝ+
→ 𝑝 ∈
ℝ*) |
271 | 270 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ*) |
272 | 269, 271 | xaddcld 13034 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈
ℝ*) |
273 | 272 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈
ℝ*) |
274 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
275 | 241, 214 | eqtr2d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
276 | 275 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
277 | 276 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶))) |
278 | 267 | adantlr 712 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) |
279 | | rpre 12737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑝 ∈ ℝ+
→ 𝑝 ∈
ℝ) |
280 | 279 | ad2antlr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ) |
281 | | rexadd 12965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
282 | 278, 280,
281 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
283 | 282 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) =
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) |
284 | 277, 283 | breq12d 5092 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → (Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝) ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝))) |
285 | 274, 284 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
286 | 260, 273,
285 | xrltled 12883 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
287 | | rspe 3235 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
288 | 258, 286,
287 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
289 | 288 | 3exp 1118 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩ Fin) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)))) |
290 | 246, 247,
289 | rexlimd 3248 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
(∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) <
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝))) |
291 | 245, 290 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) →
∃𝑏 ∈ (𝒫
∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑏 ↦ 𝐶)) +𝑒 𝑝)) |
292 | 216, 217,
219, 221, 291 | sge0gerpmpt 43911 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
293 | 215, 292 | eqbrtrd 5101 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
294 | 293 | ralrimiva 3110 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
295 | | eqid 2740 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) |
296 | 179, 295 | fmptd 6985 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
297 | 132, 296,
1 | sge0lefi 43907 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))) |
298 | 294, 297 | mpbird 256 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ≤
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))) |
299 | 1, 2, 192, 298 | xrletrid 12888 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑘 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) |