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Theorem sge0iunmptlemre 46370
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemre.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmptlemre.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmptlemre.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemre.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.re ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
sge0iunmptlemre.sxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.ssxr (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
sge0iunmptlemre.f (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0iunmptlemre.iue (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemre (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre
Dummy variables 𝑏 𝑝 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iunmptlemre.sxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2 sge0iunmptlemre.ssxr . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
3 elpwinss 44988 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
43resmptd 6059 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → ((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦) = (𝑘𝑦𝐶))
54fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)))
7 elinel2 4211 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
93sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
10 eliun 4999 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
119, 10sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1211adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
13 nfv 1911 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
14 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
15 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
1615nfpw 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝒫 𝑥𝐴 𝐵
17 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Fin
1816, 17nfin 4231 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
1914, 18nfel 2917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)
2013, 19nfan 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
21 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑘𝑦
2220, 21nfan 1896 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦)
23 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐶 ∈ (0[,)+∞)
24 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
25 sge0iunmptlemre.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
2726fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2824, 25, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
2928eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
30253expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3130, 26fmptd 7133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
32313adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
33 sge0iunmptlemre.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
34333adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐵𝑊)
35 sge0iunmptlemre.re . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
36353adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3734, 32, 36sge0rern 46343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑘𝐵𝐶))
3832, 37fge0iccico 46325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,)+∞))
3938, 24ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
4029, 39eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
41403exp 1118 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
4322, 23, 42rexlimd 3263 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
4412, 43mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
458, 44sge0fsummpt 46345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦𝐶)) = Σ𝑘𝑦 𝐶)
46 sseqin2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4746biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦) = 𝑦)
4847eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
49 iunin1 5076 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 𝑥𝐴 (𝐵𝑦) = ( 𝑥𝐴 𝐵𝑦))
5148, 50eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
523, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 = 𝑥𝐴 (𝐵𝑦))
5352sumeq1d 15732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶)
55 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → 𝜑)
5633adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
57 sge0iunmptlemre.dj . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5857adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
59 rge0ssre 13492 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
60 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
6159, 60sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
6261, 40sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
63623adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
6556, 58, 63, 64fsumiunss 45530 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6655, 8, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6754, 66eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
686, 45, 673eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
6956, 58, 64disjinfi 45134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin)
70 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin)
71 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
73 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7470, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Fin → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
7574ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ Fin)
76 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
77 elrabi 3689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑤𝐴)
7877ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
79 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
81 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤𝐴
82 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑘
83 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8482, 83nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
8513, 81, 84nf3an 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
8685, 23nfim 1893 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
87 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑤𝐴))
88 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
8988eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘𝐵𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9087, 893anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
9190imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
9286, 91, 40chvarfv 2237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9376, 78, 80, 92syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9493adantllr 719 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9575, 94fsumge0cl 45528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9669, 95sge0fsummpt 46345 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
97 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦)
99 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑦) ⊆ 𝑦) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
10070, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
101100ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (𝐵𝑦) ∈ Fin)
102 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝜑)
103 rabid 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
104103biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → (𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑦) ≠ ∅))
105104simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} → 𝑥𝐴)
106105ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑥𝐴)
107 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) → 𝑘𝐵)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝑘𝐵)
109102, 106, 108, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
110109adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
111101, 110sge0fsummpt 46345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
112111mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶))
113 nfrab1 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
114 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}
115 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶
11683, 14nfin 4231 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)
117 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
118116, 117nfsum 15723 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
11988ineq1d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑦) = (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦))
120119sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
121113, 114, 115, 118, 120cbvmptf 5256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶))
123112, 122eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶) = (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
124123fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
125124eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)))
126120, 115, 118cbvsum 15727 . . . . . . . . . 10 Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)𝐶)
12896, 125, 1273eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
12955, 8, 128syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶)
130129eqcomd 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝑦)𝐶 = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
13168, 130eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
132 sge0iunmptlemre.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
13377ssriv 3998 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
134133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
135132, 134ssexd 5329 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ∈ V)
136 vex 3481 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
137136inex2 5323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ∈ V)
139 icossicc 13472 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
140 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝜑)
141 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑤𝐴)
14279adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
143140, 141, 142, 92syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
144139, 143sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
145 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
146144, 145fmptd 7133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝑤 / 𝑥𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
147138, 146sge0cl 46336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
14877, 147sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑤^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
150 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑥Σ^
151116, 117nfmpt 5254 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
152150, 151nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
153119mpteq1d 5242 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))
154153fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
155113, 114, 149, 152, 154cbvmptf 5256 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
156148, 155fmptd 7133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅}⟶(0[,]+∞))
157135, 156sge0xrcl 46340 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
158157adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
159 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
160147, 159fmptd 7133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
161132, 160sge0xrcl 46340 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
162161adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ*)
16355, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
164155fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
165164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
166132, 147, 134sge0lessmpt 46354 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
167165, 166eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
168167adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
169149, 152, 154cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
170169eqcomi 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))
171170fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶))))
172171a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))))
173136inex2 5323 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ∈ V
174173a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ∈ V)
175107, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐵𝑦)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
176 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)
177175, 176fmptd 7133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶):(𝐵𝑦)⟶(0[,]+∞))
178174, 177sge0cl 46336 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
17933, 31sge0cl 46336 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
180 inss1 4244 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑦) ⊆ 𝐵)
18233, 30, 181sge0lessmpt 46354 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
18313, 132, 178, 179, 182sge0lempt 46365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
184172, 183eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
185184adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑤𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
186158, 162, 163, 168, 185xrletrd 13200 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝑦) ≠ ∅} ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝑦) ↦ 𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
187131, 186eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
188187ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
189 sge0iunmptlemre.iue . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
190 sge0iunmptlemre.f . . . 4 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
191189, 190, 2sge0lefi 46353 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
192188, 191mpbird 257 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
193 elpwinss 44988 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
194193resmptd 6059 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
195194fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
196195adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
197 elinel2 4211 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
198197adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
199 0xr 11305 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
200199a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ∈ ℝ*)
201 pnfxr 11312 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
202201a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → +∞ ∈ ℝ*)
203 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
204193sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
205204adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
206203, 205, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵𝑊)
207203, 205, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
208206, 207sge0xrcl 46340 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
209206, 207sge0ge0 46339 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
210203, 205, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
211 ltpnf 13159 . . . . . . . . 9 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
212210, 211syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) < +∞)
213200, 202, 208, 209, 212elicod 13433 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
214198, 213sge0fsummpt 46345 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
215196, 214eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)))
216 nfv 1911 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
217189adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
218190fvmptelcdm 7132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
219218adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
220198, 210fsumrecl 15766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
221220rexrd 11308 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
222 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
223 iunss1 5010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
224193, 223syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
225224adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
226217, 225ssexd 5329 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
227226adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
228 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝜑)
229225sselda 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
230228, 229, 218syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
231230adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
232 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → 𝑝 ∈ ℝ+)
233193adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
23457adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
235 disjss1 5120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥𝑦 𝐵))
236233, 234, 235sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Disj 𝑥𝑦 𝐵)
2372033adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝜑)
2382053adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑥𝐴)
239 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
240237, 238, 239, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
241198, 206, 236, 240, 210sge0iunmptlemfi 46368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
242214, 220eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
243241, 242eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
244243adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
245222, 227, 231, 232, 244sge0ltfirpmpt 46363 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
246 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑏((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+)
247 nfre1 3282 . . . . . . . 8 𝑏𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)
248223sspwd 4617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐴 → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
249193, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
250249adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ⊆ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
251 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
252251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝑦 𝐵)
253250, 252sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 𝐵)
254 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
255254adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
256253, 255elind 4209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
257256ad4ant24 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
2582573adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin))
259221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
2602593adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
261 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin))
262226adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝑦 𝐵 ∈ V)
263230adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 𝑥𝑦 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
264243adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
265251elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
266265adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑏 𝑥𝑦 𝐵)
267261, 262, 263, 264, 266sge0ssrempt 46360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
268267rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
269268adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ*)
270 rpxr 13041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ*)
271270ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ*)
272269, 271xaddcld 13339 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
2732723adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ∈ ℝ*)
274 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
275241, 214eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
276275adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
2772763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)))
278267adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ)
279 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ)
280279ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑝 ∈ ℝ)
281 rexadd 13270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
282278, 280, 281syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
2832823adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) = ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝))
284277, 283breq12d 5160 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → (Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝) ↔ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)))
285274, 284mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
286260, 273, 285xrltled 13188 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
287 rspe 3246 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
288258, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
2892883exp 1118 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))))
290246, 247, 289rexlimd 3263 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝑦 𝐵 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 𝑥𝑦 𝐵𝐶)) < ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) + 𝑝) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝)))
291245, 290mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝑥𝐴 𝐵 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ ((Σ^‘(𝑘𝑏𝐶)) +𝑒 𝑝))
292216, 217, 219, 221, 291sge0gerpmpt 46357 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
293215, 292eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
294293ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
295 eqid 2734 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
296179, 295fmptd 7133 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
297132, 296, 1sge0lefi 46353 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) ↾ 𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))))
298294, 297mpbird 257 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
2991, 2, 192, 298xrletrid 13193 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  csb 3907  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  +crp 13031   +𝑒 cxad 13149  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  Σcsu 15718  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  46373
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