Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptco 24671
 Description: Function-builder for derivative, chain rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptco.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.t (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑌)
dvmptco.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptco.c ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptco.d ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷𝑊)
dvmptco.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptco.dc (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = (𝑦𝑌𝐷))
dvmptco.e (𝑦 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
dvmptco.f (𝑦 = 𝐴𝐷 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvmptco (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝑥,𝑦,𝜑   𝑦,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem dvmptco
StepHypRef Expression
1 dvmptco.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptco.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvmptco.c . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
43fmpttd 6870 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑌𝐶):𝑌⟶ℂ)
5 dvmptco.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑌)
65fmpttd 6870 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑌)
7 dvmptco.dc . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = (𝑦𝑌𝐷))
87dmeqd 5745 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = dom (𝑦𝑌𝐷))
9 dvmptco.d . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷𝑊)
109ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 𝐷𝑊)
11 dmmptg 6071 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 𝐷𝑊 → dom (𝑦𝑌𝐷) = 𝑌)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑦𝑌𝐷) = 𝑌)
138, 12eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) = 𝑌)
14 dvmptco.da . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
1514dmeqd 5745 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
16 dvmptco.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
1716ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
18 dmmptg 6071 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
2015, 19eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
211, 2, 4, 6, 13, 20dvcof 24647 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∘f · (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))))
22 eqidd 2759 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
23 eqidd 2759 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌𝐶) = (𝑦𝑌𝐶))
24 dvmptco.e . . . 4 (𝑦 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
255, 22, 23, 24fmptco 6882 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐸))
2625oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦𝑌𝐶) ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)))
27 ovex 7183 . . . . 5 (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∈ V
2827dmex 7621 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ∈ V
2920, 28eqeltrrdi 2861 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
301, 3, 9, 7dvmptcl 24658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ ℂ)
317, 30fmpt3d 6871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)):𝑌⟶ℂ)
32 fco 6516 . . . . . 6 (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)):𝑌⟶ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑌) → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ)
3331, 6, 32syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ)
34 dvmptco.f . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝐷 = 𝐹)
355, 22, 7, 34fmptco 6882 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐹))
3635feq1d 6483 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐹):𝑋⟶ℂ))
3733, 36mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐹):𝑋⟶ℂ)
3837fvmptelrn 6868 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
3929, 38, 16, 35, 14offval2 7424 . 2 (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦𝑌𝐶)) ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∘f · (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
4021, 26, 393eqtr3d 2801 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐸)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  {cpr 4524   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524   ∘ ccom 5528  ⟶wf 6331  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  ℂcc 10573  ℝcr 10574   · cmul 10580   D cdv 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566 This theorem is referenced by:  dvrecg  24672  dvexp3  24677  dvsincos  24680  dvlipcn  24693  lhop2  24714  itgsubstlem  24747  dvtaylp  25064  taylthlem2  25068  pige3ALT  25211  advlogexp  25345  logtayl  25350  dvcxp1  25428  dvcxp2  25429  dvcncxp1  25431  loglesqrt  25446  dvatan  25620  lgamgulmlem2  25714  logdivsum  26216  log2sumbnd  26227  itgexpif  32105  dvtan  35387  dvasin  35421  areacirclem1  35425  lcmineqlem8  39603  lcmineqlem12  39607  dvrelogpow2b  39634  aks4d1p1p6  39639  expgrowthi  41410  expgrowth  41412  binomcxplemdvbinom  41430  dvsinexp  42919  dvxpaek  42948  fourierdlem28  43143  fourierdlem39  43154  fourierdlem56  43170  fourierdlem60  43174  fourierdlem61  43175  etransclem46  43288
 Copyright terms: Public domain W3C validator