Theorem dvmptco 25859

Description: Function-builder for derivative, chain rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptco.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑌)
dvmptco.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptco.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptco.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptco.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptco.dc	⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐷))
dvmptco.e	⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
dvmptco.f	⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvmptco	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝑥,𝑦,𝜑   𝑦,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem dvmptco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptco.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptco.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptco.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶):𝑌⟶ℂ)
5		dvmptco.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑌)
6	5	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶𝑌)
7		dvmptco.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐷))
8	7	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) = dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐷))
9		dvmptco.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐷 ∈ 𝑊)
10	9	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ 𝑊)
11		dmmptg 6235	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ 𝑊 → dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐷) = 𝑌)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐷) = 𝑌)
13	8, 12	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) = 𝑌)
14		dvmptco.da	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
15	14	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
16		dvmptco.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
17	16	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dmmptg 6235	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
20	15, 19	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
21	1, 2, 4, 6, 13, 20	dvcof 25835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∘f · (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))))
22		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
23		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶))
24		dvmptco.e	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
25	5, 22, 23, 24	fmptco 7123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸))
26	25	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸)))
27		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ V
28	27	dmex 7899	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ V
29	20, 28	eqeltrrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	1, 3, 9, 7	dvmptcl 25846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℂ)
31	7, 30	fmpt3d 7111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)):𝑌⟶ℂ)
32		fco 6735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)):𝑌⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶𝑌) → ((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ)
33	31, 6, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ)
34		dvmptco.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐹)
35	5, 22, 7, 34	fmptco 7123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹))
36	35	feq1d 6696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹):𝑋⟶ℂ))
37	33, 36	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
38	37	fvmptelcdm 7108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
39	29, 38, 16, 35, 14	offval2 7687	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 D (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∘f · (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))
40	21, 26, 39	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665  ℂcc 11110  ℝcr 11111   · cmul 11117   D cdv 25747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751

This theorem is referenced by:  dvrecg  25860  dvexp3  25865  dvsincos  25868  dvlipcn  25882  lhop2  25903  itgsubstlem  25938  dvtaylp  26260  taylthlem2  26264  taylthlem2OLD  26265  pige3ALT  26409  advlogexp  26544  logtayl  26549  dvcxp1  26629  dvcxp2  26630  dvcncxp1  26632  loglesqrt  26648  dvatan  26822  lgamgulmlem2  26917  logdivsum  27421  log2sumbnd  27432  itgexpif  34147  dvtan  37051  dvasin  37085  areacirclem1  37089  lcmineqlem8  41417  lcmineqlem12  41421  dvrelogpow2b  41449  aks4d1p1p6  41454  expgrowthi  43665  expgrowth  43667  binomcxplemdvbinom  43685  dvsinexp  45196  dvxpaek  45225  fourierdlem28  45420  fourierdlem39  45431  fourierdlem56  45447  fourierdlem60  45451  fourierdlem61  45452  etransclem46  45565