Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptk1 21893
 Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmptk1.l (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
cnmptk1.a (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ^ko 𝐾)))
cnmptk1.b (𝜑 → (𝑧𝑍𝐵) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
cnmptk1.c (𝑧 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cnmptk1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐶)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ^ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑧,𝑍,𝑦   𝑧,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑧,𝐶   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem cnmptk1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
21adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 cnmptk1.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
43adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
5 cnmptk1.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 topontop 21125 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Top)
8 topontop 21125 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝐿 ∈ Top)
93, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Top)
10 eqid 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ^ko 𝐾) = (𝐿 ^ko 𝐾)
1110xkotopon 21812 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) → (𝐿 ^ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)))
127, 9, 11syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 ^ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)))
13 cnmptk1.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ^ko 𝐾)))
14 cnf2 21461 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐿 ^ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ^ko 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)):𝑋⟶(𝐾 Cn 𝐿))
155, 12, 13, 14syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)):𝑋⟶(𝐾 Cn 𝐿))
16 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴))
1716fmpt 6644 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋 (𝑦𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐴)):𝑋⟶(𝐾 Cn 𝐿))
1815, 17sylibr 226 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝑦𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
1918r19.21bi 3113 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑦𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
20 cnf2 21461 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍) ∧ (𝑦𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑦𝑌𝐴):𝑌𝑍)
212, 4, 19, 20syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑦𝑌𝐴):𝑌𝑍)
22 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑦𝑌𝐴) = (𝑦𝑌𝐴)
2322fmpt 6644 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 𝐴𝑍 ↔ (𝑦𝑌𝐴):𝑌𝑍)
2421, 23sylibr 226 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑌 𝐴𝑍)
25 eqidd 2778 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑦𝑌𝐴) = (𝑦𝑌𝐴))
26 eqidd 2778 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑧𝑍𝐵) = (𝑧𝑍𝐵))
27 cnmptk1.c . . . 4 (𝑧 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
2824, 25, 26, 27fmptcof 6662 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑧𝑍𝐵) ∘ (𝑦𝑌𝐴)) = (𝑦𝑌𝐶))
2928mpteq2dva 4979 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑧𝑍𝐵) ∘ (𝑦𝑌𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐶)))
30 cnmptk1.b . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑍𝐵) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
317, 30xkoco2cn 21870 . . 3 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ ((𝑧𝑍𝐵) ∘ 𝑤)) ∈ ((𝐿 ^ko 𝐾) Cn (𝑀 ^ko 𝐾)))
32 coeq2 5526 . . 3 (𝑤 = (𝑦𝑌𝐴) → ((𝑧𝑍𝐵) ∘ 𝑤) = ((𝑧𝑍𝐵) ∘ (𝑦𝑌𝐴)))
335, 13, 12, 31, 32cnmpt11 21875 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑧𝑍𝐵) ∘ (𝑦𝑌𝐴))) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ^ko 𝐾)))
3429, 33eqeltrrd 2859 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝐶)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ^ko 𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   ↦ cmpt 4965   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Topctop 21105  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436   ^ko cxko 21773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-fin 8245  df-fi 8605  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cmp 21599  df-xko 21775 This theorem is referenced by:  cnmpt2k  21900
 Copyright terms: Public domain W3C validator