Theorem cnmptk1 23601

Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmptk1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
cnmptk1.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
cnmptk1.b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
cnmptk1.c	⊢ (𝑧 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cnmptk1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑧,𝑍,𝑦   𝑧,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑧,𝐶   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem cnmptk1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptk1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		cnmptk1.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
5		cnmptk1.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		topontop 22833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
8		topontop 22833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝐿 ∈ Top)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Top)
10		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ↑ko 𝐾) = (𝐿 ↑ko 𝐾)
11	10	xkotopon 23520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) → (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)))
12	7, 9, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)))
13		cnmptk1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
14		cnf2 23169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)):𝑋⟶(𝐾 Cn 𝐿))
15	5, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)):𝑋⟶(𝐾 Cn 𝐿))
16	15	fvmptelcdm 7067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
17		cnf2 23169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍) ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):𝑌⟶𝑍)
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):𝑌⟶𝑍)
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)
20	19	fmpt 7064	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):𝑌⟶𝑍)
21	18, 20	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ 𝑍)
22		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
23		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))
24		cnmptk1.c	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
25	21, 22, 23, 24	fmptcof 7084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶))
26	25	mpteq2dva 5195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)))
27		cnmptk1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
28	7, 27	xkoco2cn 23578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ 𝑤)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
29		coeq2 5812	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ 𝑤) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))
30	5, 13, 12, 28, 29	cnmpt11 23583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∘ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
31	26, 30	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144   ↑_ko cxko 23481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-2o 8412  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-fi 9338  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cn 23147  df-cmp 23307  df-xko 23483

This theorem is referenced by:  cnmpt2k  23608