MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptk1 23055
Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmptk1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmptk1.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
cnmptk1.b (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
cnmptk1.c (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmptk1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑧,𝑍,𝑦   𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   𝑧,𝐢   𝑦,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝐿(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)

Proof of Theorem cnmptk1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 cnmptk1.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
43adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
5 cnmptk1.j . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 topontop 22285 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
8 topontop 22285 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ Top)
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ↑ko 𝐾) = (𝐿 ↑ko 𝐾)
1110xkotopon 22974 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
127, 9, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
13 cnmptk1.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
14 cnf2 22623 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
155, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
1615fvmptelcdm 7065 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
17 cnf2 22623 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆπ‘)
182, 4, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆπ‘)
19 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
2019fmpt 7062 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆπ‘)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍)
22 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
23 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
24 cnmptk1.c . . . 4 (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2521, 22, 23, 24fmptcof 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢))
2625mpteq2dva 5209 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)))
27 cnmptk1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
287, 27xkoco2cn 23032 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ 𝑀)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
29 coeq2 5818 . . 3 (𝑀 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ 𝑀) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)))
305, 13, 12, 28, 29cnmpt11 23037 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
3126, 30eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)) ∈ (𝐽 Cn (𝑀 ↑ko 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   ↑ko cxko 22935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cmp 22761  df-xko 22937
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  23062
  Copyright terms: Public domain W3C validator