MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptcl 24483
Description: Closure lemma for dvmptcmul 24488 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptcl ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcl
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvfg 24431 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))⟶ℂ)
4 dvmptadd.da . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
54dmeqd 5767 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
6 dvmptadd.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
76ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
8 dmmptg 6089 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
105, 9eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
1110feq2d 6493 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ))
123, 11mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ)
134feq1d 6492 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ))
1412, 13mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
1514fvmptelrn 6869 1 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {cpr 4559  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvmptcmul  24488  dvmptdivc  24489  dvmptneg  24490  dvmptsub  24491  dvmptcj  24492  dvmptre  24493  dvmptim  24494  dvmptco  24496  dvrecg  24497  dvmptdiv  24498  dvivth  24534  ulmdvlem1  24915  pserdvlem2  24943
  Copyright terms: Public domain W3C validator