MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt2ss 24361
Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2ss.2 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.5 𝑆 ⊆ ℂ
cncfmpt2ss.6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
2 cncff 24338 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
43fvmptelcdm 7097 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑆)
5 cncfmpt2ss.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
6 cncff 24338 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
87fvmptelcdm 7097 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑆)
9 cncfmpt2ss.6 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
104, 8, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
1110fmpttd 7099 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆)
12 cncfmpt2ss.5 . . 3 𝑆 ⊆ ℂ
13 cncfmpt2ss.1 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
14 cncfmpt2ss.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
16 ssid 4000 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
17 cncfss 24344 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ))
1812, 16, 17mp2an 690 . . . . 5 (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ)
1918, 1sselid 3976 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2018, 5sselid 3976 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2113, 15, 19, 20cncfmpt2f 24360 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
22 cncfcdm 24343 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2312, 21, 22sylancr 587 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2411, 23mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  cmpt 5224  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  TopOpenctopn 17349  fldccnfld 20878   Cn ccn 22657   ×t ctx 22993  cnccncf 24321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-topn 17351  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-tx 22995  df-xms 23755  df-ms 23756  df-cncf 24323
This theorem is referenced by:  cmvth  25437  dvle  25453  dvfsumle  25467  dvfsumge  25468  dvfsumlem2  25473
  Copyright terms: Public domain W3C validator