MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt2ss 24956
Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2ss.2 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.5 𝑆 ⊆ ℂ
cncfmpt2ss.6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
2 cncff 24933 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
43fvmptelcdm 7133 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑆)
5 cncfmpt2ss.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
6 cncff 24933 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
87fvmptelcdm 7133 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑆)
9 cncfmpt2ss.6 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
104, 8, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
1110fmpttd 7135 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆)
12 cncfmpt2ss.5 . . 3 𝑆 ⊆ ℂ
13 cncfmpt2ss.1 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
14 cncfmpt2ss.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
16 ssid 4018 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
17 cncfss 24939 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ))
1812, 16, 17mp2an 692 . . . . 5 (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ)
1918, 1sselid 3993 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2018, 5sselid 3993 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2113, 15, 19, 20cncfmpt2f 24955 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
22 cncfcdm 24938 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2312, 21, 22sylancr 587 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2411, 23mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  cmvth  26044  cmvthOLD  26045  dvle  26061  dvfsumle  26075  dvfsumleOLD  26076  dvfsumge  26077  dvfsumlem2  26082  dvfsumlem2OLD  26083
  Copyright terms: Public domain W3C validator