MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt2ss 24657
Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfmpt2ss.2 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
cncfmpt2ss.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
cncfmpt2ss.5 𝑆 βŠ† β„‚
cncfmpt2ss.6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
2 cncff 24634 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘†)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆπ‘†)
43fvmptelcdm 7114 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 cncfmpt2ss.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
6 cncff 24634 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cn→𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘†)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆπ‘†)
87fvmptelcdm 7114 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
9 cncfmpt2ss.6 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ 𝑆)
104, 8, 9syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ 𝑆)
1110fmpttd 7116 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)):π‘‹βŸΆπ‘†)
12 cncfmpt2ss.5 . . 3 𝑆 βŠ† β„‚
13 cncfmpt2ss.1 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
14 cncfmpt2ss.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
16 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
17 cncfss 24640 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋–cn→𝑆) βŠ† (𝑋–cnβ†’β„‚))
1812, 16, 17mp2an 689 . . . . 5 (𝑋–cn→𝑆) βŠ† (𝑋–cnβ†’β„‚)
1918, 1sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2018, 5sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2113, 15, 19, 20cncfmpt2f 24656 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
22 cncfcdm 24639 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cn→𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)):π‘‹βŸΆπ‘†))
2312, 21, 22sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cn→𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)):π‘‹βŸΆπ‘†))
2411, 23mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐡)) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21145   Cn ccn 22949   Γ—t ctx 23285  β€“cnβ†’ccncf 24617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-xms 24047  df-ms 24048  df-cncf 24619
This theorem is referenced by:  cmvth  25744  dvle  25760  dvfsumle  25774  dvfsumge  25775  dvfsumlem2  25780  gg-cmvth  35467  gg-dvfsumle  35469  gg-dvfsumlem2  35470
  Copyright terms: Public domain W3C validator