Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt2ss 23137
 Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2ss.2 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
cncfmpt2ss.5 𝑆 ⊆ ℂ
cncfmpt2ss.6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆))
2 cncff 23115 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋𝑆)
43fvmptelrn 6649 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴𝑆)
5 cncfmpt2ss.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆))
6 cncff 23115 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn𝑆) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋𝑆)
87fvmptelrn 6649 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑆)
9 cncfmpt2ss.6 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
104, 8, 9syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
1110fmpttd 6651 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆)
12 cncfmpt2ss.5 . . 3 𝑆 ⊆ ℂ
13 cncfmpt2ss.1 . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
14 cncfmpt2ss.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
16 ssid 3842 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
17 cncfss 23121 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ))
1812, 16, 17mp2an 682 . . . . 5 (𝑋cn𝑆) ⊆ (𝑋cn→ℂ)
1918, 1sseldi 3819 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2018, 5sseldi 3819 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2113, 15, 19, 20cncfmpt2f 23136 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
22 cncffvrn 23120 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2312, 21, 22sylancr 581 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋𝑆))
2411, 23mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋cn𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4967  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  TopOpenctopn 16479  ℂfldccnfld 20153   Cn ccn 21447   ×t ctx 21783  –cn→ccncf 23098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-tx 21785  df-xms 22544  df-ms 22545  df-cncf 23100 This theorem is referenced by:  cmvth  24202  dvle  24218  dvfsumle  24232  dvfsumge  24233  dvfsumlem2  24238
 Copyright terms: Public domain W3C validator