Theorem cncfmpt2ss 25036

Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt2ss.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2ss.2	⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
cncfmpt2ss.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
cncfmpt2ss.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
cncfmpt2ss.5	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
cncfmpt2ss.6	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt2ss	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt2ss.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
2		cncff 25013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶𝑆)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶𝑆)
4	3	fvmptelcdm 7098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		cncfmpt2ss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→𝑆))
6		cncff 25013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶𝑆)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶𝑆)
8	7	fvmptelcdm 7098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑆)
9		cncfmpt2ss.6	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
10	4, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
11	10	fmpttd 7100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋⟶𝑆)
12		cncfmpt2ss.5	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
13		cncfmpt2ss.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
14		cncfmpt2ss.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
16		ssid 3961	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
17		cncfss 25019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑆) ⊆ (𝑋–cn→ℂ))
18	12, 16, 17	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑋–cn→𝑆) ⊆ (𝑋–cn→ℂ)
19	18, 1	sselid 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
20	18, 5	sselid 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
21	13, 15, 19, 20	cncfmpt2f 25035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
22		cncfcdm 25018	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋⟶𝑆))
23	12, 21, 22	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)):𝑋⟶𝑆))
24	11, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  TopOpenctopn 17464  ℂ_fldccnfld 21482   Cn ccn 23342   ×_t ctx 23678  –cn→ccncf 24996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-rest 17465  df-topn 17466  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-tx 23680  df-xms 24438  df-ms 24439  df-cncf 24998

This theorem is referenced by:  cmvth  26111  dvle  26127  dvfsumle  26141  dvfsumge  26142  dvfsumlem2  26147