Theorem i1fposd 25587

Description: Deduction form of i1fposd 25587. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fposd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
i1fposd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem i1fposd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0
2		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
3		nffvmpt1 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
4	1, 2, 3	nfbr 5188	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
5	4, 3, 1	nfif 4553	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)
6		nfcv 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)
7		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥))
8	7	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) ↔ 0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥)))
9	8, 7	ifbieq1d 4547	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0) = if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
10	5, 6, 9	cbvmpt 5252	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fposd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)
13		i1ff 25555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
17	16	fvmpt2 7002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
18	11, 15, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
19	18	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐴))
20	19, 18	ifbieq1d 4547	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
21	20	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
22	10, 21	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
23		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0))
24	23	i1fpos 25586	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
25	12, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
26	22, 25	eqeltrrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℝcr 11108  0cc0 11109   ≤ cle 11250  ∫₁citg1 25494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499

This theorem is referenced by:  i1fibl  25687  itgitg1  25688