Theorem i1fposd 25216

Description: Deduction form of i1fposd 25216. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fposd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
i1fposd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem i1fposd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0
2		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
3		nffvmpt1 6899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
4	1, 2, 3	nfbr 5194	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
5	4, 3, 1	nfif 4557	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)
6		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)
7		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥))
8	7	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) ↔ 0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥)))
9	8, 7	ifbieq1d 4551	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0) = if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
10	5, 6, 9	cbvmpt 5258	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fposd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)
13		i1ff 25184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
17	16	fvmpt2 7006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
18	11, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
19	18	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐴))
20	19, 18	ifbieq1d 4551	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
21	20	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
22	10, 21	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
23		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0))
24	23	i1fpos 25215	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
25	12, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
26	22, 25	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245  ∫₁citg1 25123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128

This theorem is referenced by:  i1fibl  25316  itgitg1  25317