Theorem i1fposd 25823

Description: Deduction form of i1fposd 25823. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fposd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
i1fposd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem i1fposd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0
2		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
3		nffvmpt1 6882	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
4	1, 2, 3	nfbr 5151	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
5	4, 3, 1	nfif 4514	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)
6		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)
7		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥))
8	7	breq2d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) ↔ 0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥)))
9	8, 7	ifbieq1d 4508	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0) = if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
10	5, 6, 9	cbvmpt 5206	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
11		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fposd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)
13		i1ff 25792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
17	16	fvmpt2 6991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
18	11, 15, 17	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
19	18	breq2d 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐴))
20	19, 18	ifbieq1d 4508	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
21	20	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
22	10, 21	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0))
24	23	i1fpos 25822	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
25	12, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
26	22, 25	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  0cc0 11088   ≤ cle 11232  ∫₁citg1 25731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-rest 17463  df-topgen 17484  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-bases 23060  df-cmp 23501  df-ovol 25580  df-vol 25581  df-mbf 25735  df-itg1 25736

This theorem is referenced by:  i1fibl  25924  itgitg1  25925