Theorem i1fposd 25615

Description: Deduction form of i1fposd 25615. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fposd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
i1fposd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem i1fposd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0
2		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
3		nffvmpt1 6872	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
4	1, 2, 3	nfbr 5157	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
5	4, 3, 1	nfif 4522	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)
6		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)
7		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥))
8	7	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) ↔ 0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥)))
9	8, 7	ifbieq1d 4516	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0) = if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
10	5, 6, 9	cbvmpt 5212	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fposd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)
13		i1ff 25584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
17	16	fvmpt2 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
18	11, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
19	18	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐴))
20	19, 18	ifbieq1d 4516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
21	20	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
22	10, 21	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0))
24	23	i1fpos 25614	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
25	12, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
26	22, 25	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11216  ∫₁citg1 25523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528

This theorem is referenced by:  i1fibl  25716  itgitg1  25717