Theorem ppi1 27293

Description: The prime-counting function π at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppi1	⊢ (π‘1) = 0

Proof of Theorem ppi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12623	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ppival2 27257	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ))
4		1lt2 12412	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
5		2z 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		fzn 13567	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
7	5, 1, 6	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
8	4, 7	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
9	8	ineq1i 4177	. . . . 5 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
10		0in 4361	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
11	9, 10	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = ∅
12	11	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = (♯‘∅)
13		hash0 14402	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtri 2792	. 2 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = 0
15	3, 14	eqtri 2792	1 ⊢ (π‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242  2c2 12294  ℤcz 12590  ...cfz 13534  ♯chash 14365  ℙcprime 16728  πcppi 27223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-prm 16729  df-ppi 27229

This theorem is referenced by:  ppi2  27299  ppieq0  27305  bposlem5  27417  ppi1sum  48271