Theorem ppi1 27089

Description: The prime-counting function π at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppi1	⊢ (π‘1) = 0

Proof of Theorem ppi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12616	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ppival2 27053	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ))
4		1lt2 12407	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
5		2z 12618	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		fzn 13543	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
7	5, 1, 6	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
8	4, 7	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
9	8	ineq1i 4204	. . . . 5 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
10		0in 4389	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
11	9, 10	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = ∅
12	11	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = (♯‘∅)
13		hash0 14352	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtri 2756	. 2 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = 0
15	3, 14	eqtri 2756	1 ⊢ (π‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   < clt 11272  2c2 12291  ℤcz 12582  ...cfz 13510  ♯chash 14315  ℙcprime 16635  πcppi 27019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-ppi 27025

This theorem is referenced by:  ppi2  27095  ppieq0  27101  bposlem5  27214