Theorem ppi1 27128

Description: The prime-counting function π at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppi1	⊢ (π‘1) = 0

Proof of Theorem ppi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12519	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ppival2 27092	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ))
4		1lt2 12309	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
5		2z 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		fzn 13454	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
7	5, 1, 6	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
8	4, 7	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
9	8	ineq1i 4166	. . . . 5 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
10		0in 4347	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
11	9, 10	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = ∅
12	11	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = (♯‘∅)
13		hash0 14288	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtri 2757	. 2 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = 0
15	3, 14	eqtri 2757	1 ⊢ (π‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164  2c2 12198  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ♯chash 14251  ℙcprime 16596  πcppi 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-prm 16597  df-ppi 27064

This theorem is referenced by:  ppi2  27134  ppieq0  27140  bposlem5  27253