Theorem ppi1 26313

Description: The prime-counting function π at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppi1	⊢ (π‘1) = 0

Proof of Theorem ppi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12350	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ppival2 26277	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (π‘1) = (♯‘((2...1) ∩ ℙ))
4		1lt2 12144	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
5		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		fzn 13272	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
7	5, 1, 6	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
8	4, 7	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
9	8	ineq1i 4142	. . . . 5 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
10		0in 4327	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
11	9, 10	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((2...1) ∩ ℙ) = ∅
12	11	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = (♯‘∅)
13		hash0 14082	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
14	12, 13	eqtri 2766	. 2 ⊢ (♯‘((2...1) ∩ ℙ)) = 0
15	3, 14	eqtri 2766	1 ⊢ (π‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  2c2 12028  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ♯chash 14044  ℙcprime 16376  πcppi 26243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-ppi 26249

This theorem is referenced by:  ppi2  26319  ppieq0  26325  bposlem5  26436