MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsuc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsuc2 13500
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2
StepHypRef Expression
1 uzp1 12805 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))))
2 zcn 12505 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11110 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4 npcan 11411 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
65oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7 uncom 4114 . . . . . . . 8 (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8 un0 4351 . . . . . . . 8 ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
97, 8eqtri 2765 . . . . . . 7 (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10 zre 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110ltm1d 12088 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12 peano2zm 12547 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 fzn 13458 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1412, 13mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1511, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
165sneqd 4599 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
1715, 16uneq12d 4125 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18 fzsn 13484 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
199, 17, 183eqtr4a 2803 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
206, 19eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
2221oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2421sneqd 4599 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
2523, 24uneq12d 4125 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
2622, 25eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
2720, 26syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
2827imp 408 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
295fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
3029eleq2d 2824 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
3130biimpa 478 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
32 fzsuc 13489 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3331, 32syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3428, 33jaodan 957 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
351, 34sylan2 594 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cmin 11386  cz 12500  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  13516  fzennn  13874  fsumm1  15637  fprodm1  15851  prmreclem4  16792  ppiprm  26503  ppinprm  26504  chtprm  26505  chtnprm  26506  poimirlem3  36084  poimirlem4  36085  lcmfunnnd  40472  mapfzcons  41042
  Copyright terms: Public domain W3C validator