Theorem fzsuc2 13170

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12475	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
2		zcn 12181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10787	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		npcan 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
5	2, 3, 4	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6	5	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7		uncom 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8		un0 4305	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
9	7, 8	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10		zre 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12		peano2zm 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		fzn 13128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
14	12, 13	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
15	11, 14	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
16	5	sneqd 4553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
17	15, 16	uneq12d 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18		fzsn 13154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
19	9, 17, 18	3eqtr4a 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
20	6, 19	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
22	21	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
24	21	sneqd 4553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
25	23, 24	uneq12d 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
26	22, 25	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
27	20, 26	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
28	27	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
29	5	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	29	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
31	30	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		fzsuc 13159	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
34	28, 33	jaodan 958	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
35	1, 34	sylan2 596	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864  ∅c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   − cmin 11062  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  13186  fzennn  13541  fsumm1  15315  fprodm1  15529  prmreclem4  16472  ppiprm  26033  ppinprm  26034  chtprm  26035  chtnprm  26036  poimirlem3  35517  poimirlem4  35518  lcmfunnnd  39754  mapfzcons  40241