MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsuc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsuc2 13555
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2
StepHypRef Expression
1 uzp1 12859 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))))
2 zcn 12559 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4 npcan 11465 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
65oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7 uncom 4152 . . . . . . . 8 (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8 un0 4389 . . . . . . . 8 ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
97, 8eqtri 2760 . . . . . . 7 (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10 zre 12558 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110ltm1d 12142 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12 peano2zm 12601 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 fzn 13513 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1412, 13mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
1511, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
165sneqd 4639 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
1715, 16uneq12d 4163 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18 fzsn 13539 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
199, 17, 183eqtr4a 2798 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
206, 19eqtr4d 2775 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
2221oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2421sneqd 4639 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
2523, 24uneq12d 4163 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
2622, 25eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
2720, 26syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
2827imp 407 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
295fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
3029eleq2d 2819 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
3130biimpa 477 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
32 fzsuc 13544 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3331, 32syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3428, 33jaodan 956 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
351, 34sylan2 593 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3945  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cmin 11440  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  13571  fzennn  13929  fsumm1  15693  fprodm1  15907  prmreclem4  16848  ppiprm  26644  ppinprm  26645  chtprm  26646  chtnprm  26647  poimirlem3  36479  poimirlem4  36480  lcmfunnnd  40865  mapfzcons  41439
  Copyright terms: Public domain W3C validator