Theorem fzsuc2 13599

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12901	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
2		zcn 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11204	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		npcan 11507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
5	2, 3, 4	sylancl 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6	5	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7		uncom 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8		un0 4394	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
9	7, 8	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10		zre 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 12184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12		peano2zm 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		fzn 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
14	12, 13	mpdan 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
15	11, 14	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
16	5	sneqd 4644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
17	15, 16	uneq12d 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18		fzsn 13583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
19	9, 17, 18	3eqtr4a 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
20	6, 19	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21		oveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
22	21	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
24	21	sneqd 4644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
25	23, 24	uneq12d 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
26	22, 25	eqeq12d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
27	20, 26	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
28	27	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
29	5	fveq2d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	29	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
31	30	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		fzsuc 13588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
34	28, 33	jaodan 955	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
35	1, 34	sylan2 591	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947  ∅c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   − cmin 11482  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  13615  fzennn  13973  fsumm1  15737  fprodm1  15951  prmreclem4  16895  ppiprm  27103  ppinprm  27104  chtprm  27105  chtnprm  27106  poimirlem3  37129  poimirlem4  37130  lcmfunnnd  41515  mapfzcons  42167