Theorem fzsuc2 13609

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12898	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
2		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11157	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		npcan 11465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
5	2, 3, 4	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6	5	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑀))
7		uncom 4120	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = ({𝑀} ∪ ∅)
8		un0 4358	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀} ∪ ∅) = {𝑀}
9	7, 8	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ {𝑀}) = {𝑀}
10		zre 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 12146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12		peano2zm 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		fzn 13567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
14	12, 13	mpdan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
15	11, 14	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
16	5	sneqd 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 − 1) + 1)} = {𝑀})
17	15, 16	uneq12d 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (∅ ∪ {𝑀}))
18		fzsn 13593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
19	9, 17, 18	3eqtr4a 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑀))
20	6, 19	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
21		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
22	21	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)))
23		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
24	21	sneqd 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → {(𝑁 + 1)} = {((𝑀 − 1) + 1)})
25	23, 24	uneq12d 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)}))
26	22, 25	eqeq12d 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑀 − 1) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀...((𝑀 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 − 1)) ∪ {((𝑀 − 1) + 1)})))
27	20, 26	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
28	27	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
29	5	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	29	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
31	30	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		fzsuc 13598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
34	28, 33	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
35	1, 34	sylan2 604	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   − cmin 11440  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535

This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  13625  fzennn  14003  fsumm1  15801  fprodm1  16020  prmreclem4  16978  ppiprm  27280  ppinprm  27281  chtprm  27282  chtnprm  27283  poimirlem3  38161  poimirlem4  38162  lcmfunnnd  42668  mapfzcons  43338