Theorem fz10 13603

Description: There are no integers between 1 and 0. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fz10	⊢ (1...0) = ∅

Proof of Theorem fz10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11764	. 2 ⊢ 0 < 1
2		1z 12652	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		0z 12630	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fzn 13598	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 < 1 ↔ (1...0) = ∅))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ (1...0) = ∅)
6	1, 5	mpbi 233	1 ⊢ (1...0) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271  ℤcz 12619  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by:  fzennn  14036  hasheq0  14431  arisum  15953  fprodfac  16066  prmo0  17134  mulgnn0gsum  19209  imasdsf1olem  24605  ehl0base  25650  ehl0  25651  logfac  26846  birthdaylem2  27197  harmonicbnd3  27252  fsumharmonic  27256  gausslemma2dlem4  27613  lgsquadlem2  27625  logdivbnd  27800  pntrlog2bndlem4  27824  dfpth2  30201  ballotlemfval0  35015  subfac0  35764  bcprod  36325  poimirlem5  38382  poimirlem13  38390  poimirlem22  38399  poimirlem28  38405  lcm1un  42887  sumcubes  43196  fzsplit1nn0  43607  rp-isfinite6  44366  stgr0  48884