Theorem isumsplit 15933

Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsplit.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
isumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsplit.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	2, 1	eleqtrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 12896	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		isumsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7		isumsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		isumsplit.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
9		eluzelz 12901	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		uzss 12914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	3, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 8, 1	3sstr4g 3987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝑍)
14	13	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14, 6	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	14, 7	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		isumsplit.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	6, 7	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	1, 2, 18	iserex 15748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
20	17, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
21	8, 10, 15, 16, 20	isumclim2 15848	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
22		fzfid 14041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
23		elfzuz 13578	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23, 1	eleqtrrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25	24, 7	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	22, 25	fsumcl 15823	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
27	14, 18	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
28	8, 10, 27	serf 14098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
29	28	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
30	5	zred 12729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	30	ltm1d 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
32		peano2zm 12665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
33		fzn 13598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
34	5, 32, 33	syl2anc2 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
35	31, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
36	35	sumeq1d 15791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
38		sum0 15811	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
39	37, 38	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
40	39	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
41	13	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑗 ∈ 𝑍)
42	1, 5, 18	serf 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
44	41, 43	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
45	44	addlidd 11439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
46	40, 45	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
47		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
48	47	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
49	48	sumeq1d 15791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
50		seqeq1 14072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
51	50	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
52	49, 51	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
53	52	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
54	46, 53	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
55		addcl 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
57		addass 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
58	57	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
59		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑊)
60		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
61	10	zcnd 12730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
62		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		npcan 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
64	61, 62, 63	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	64	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
66	60, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
68	8, 67	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
69	59, 68	eleqtrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
70	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
71		eluzp1m1 12917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
72	70, 71	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
73		elfzuz 13578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
74	73, 1	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
75	60, 74, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	56, 58, 69, 72, 75	seqsplit 14103	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
77	60, 24, 6	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
78	60, 24, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
79	77, 72, 78	fsumser 15820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
80	66	seqeq1d 14075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
81	80	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
82	79, 81	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
83	76, 82	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
84	83	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
85		uzp1 12928	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
86	3, 85	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
87	86	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
88	54, 84, 87	mpjaod 874	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
89	8, 10, 21, 26, 17, 29, 88	climaddc2 15727	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))
90	1, 5, 6, 7, 89	isumclim 15847	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   − cmin 11469  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  seqcseq 14069   ⇝ cli 15575  Σcsu 15777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778

This theorem is used by:  isum1p  15934  geolim2  15964  mertenslem2  15978  mertens  15979  effsumlt  16205  eirrlem  16298  rpnnen2lem8  16315  prmreclem6  17019  aaliou3lem7  26592  abelthlem7  26681  log2tlbnd  27190  subfaclim  35775  knoppndvlem6  37222  binomcxplemnn0  45181  stirlinglem12  46921