MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsplit 15792
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumsplit.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
isumsplit.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumsplit.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumsplit.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumsplit.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 12831 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 isumsplit.4 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 isumsplit.2 . . 3 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 eluzelz 12836 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
103, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
11 uzss 12849 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1312, 8, 13sstr4g 4022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
1413sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1514, 6syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1614, 7syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191, 2, 18iserex 15609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 15710 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴)
22 fzfid 13944 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
23 elfzuz 13503 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2423, 1eleqtrrdi 2838 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2524, 7sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2622, 25fsumcl 15685 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 ∈ β„‚)
2714, 18syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
288, 10, 27serf 14001 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹):π‘ŠβŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
305zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3130ltm1d 12150 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
32 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
33 fzn 13523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
345, 32, 33syl2anc2 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3635sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
38 sum0 15673 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0
3937, 38eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = 0)
4039oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
4113sselda 3977 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
421, 5, 18serf 14001 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4441, 43syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4544addlidd 11419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4640, 45eqtr2d 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
47 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
4847oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)))
4948sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴)
50 seqeq1 13975 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5150fveq1d 6887 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5249, 51oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
5352eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
5446, 53syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
55 addcl 11194 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
5655adantl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
57 addass 11199 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
59 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ π‘Š)
60 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ πœ‘)
6110zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
62 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
63 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6461, 62, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6660, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6766fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
688, 67eqtrid 2778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘Š = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
6959, 68eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
705adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
71 eluzp1m1 12852 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7270, 71sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
73 elfzuz 13503 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7473, 1eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7560, 74, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7656, 58, 69, 72, 75seqsplit 14006 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
7760, 24, 6syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7860, 24, 7syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7977, 72, 78fsumser 15682 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
8066seqeq1d 13978 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹))
8180fveq1d 6887 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—))
8279, 81oveq12d 7423 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8376, 82eqtr4d 2769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8483ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
85 uzp1 12867 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
863, 85syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8786adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8854, 84, 87mpjaod 857 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
898, 10, 21, 26, 17, 29, 88climaddc2 15586 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
901, 5, 6, 7, 89isumclim 15709 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  isum1p  15793  geolim2  15823  mertenslem2  15837  mertens  15838  effsumlt  16061  eirrlem  16154  rpnnen2lem8  16171  prmreclem6  16863  aaliou3lem7  26239  abelthlem7  26330  log2tlbnd  26832  subfaclim  34707  knoppndvlem6  35901  binomcxplemnn0  43689  stirlinglem12  45378
  Copyright terms: Public domain W3C validator