MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsplit 15876
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsplit.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumsplit.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsplit.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 12883 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 isumsplit.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 isumsplit.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
9 eluzelz 12888 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 uzss 12901 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
1312, 8, 13sstr4g 4037 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑍)
1413sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
1514, 6syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1614, 7syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
191, 2, 18iserex 15693 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 15794 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
22 fzfid 14014 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
23 elfzuz 13560 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 1eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
2524, 7sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2622, 25fsumcl 15769 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
2714, 18syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
288, 10, 27serf 14071 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
2928ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
305zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3130ltm1d 12200 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
32 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
33 fzn 13580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
345, 32, 33syl2anc2 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3531, 34mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3635sumeq1d 15736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
38 sum0 15757 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
3937, 38eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
4039oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
4113sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑗𝑍)
421, 5, 18serf 14071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4441, 43syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4544addlidd 11462 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
4640, 45eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
47 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
4948sumeq1d 15736 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
50 seqeq1 14045 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5150fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5249, 51oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
5352eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
5446, 53syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
55 addcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
57 addass 11242 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
59 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗𝑊)
60 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
6110zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
62 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
63 npcan 11517 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6461, 62, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6660, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6766fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (ℤ𝑁) = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
688, 67eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
6959, 68eleqtrd 2843 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
705adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
71 eluzp1m1 12904 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
7270, 71sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
73 elfzuz 13560 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
7473, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
7560, 74, 18syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7656, 58, 69, 72, 75seqsplit 14076 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
7760, 24, 6syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7860, 24, 7syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7977, 72, 78fsumser 15766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
8066seqeq1d 14048 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
8180fveq1d 6908 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
8279, 81oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
8376, 82eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
8483ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
85 uzp1 12919 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
863, 85syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8786adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8854, 84, 87mpjaod 861 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
898, 10, 21, 26, 17, 29, 88climaddc2 15672 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
901, 5, 6, 7, 89isumclim 15793 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  isum1p  15877  geolim2  15907  mertenslem2  15921  mertens  15922  effsumlt  16147  eirrlem  16240  rpnnen2lem8  16257  prmreclem6  16959  aaliou3lem7  26391  abelthlem7  26482  log2tlbnd  26988  subfaclim  35193  knoppndvlem6  36518  binomcxplemnn0  44368  stirlinglem12  46100
  Copyright terms: Public domain W3C validator