MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsplit 15819
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsplit.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
isumsplit.3 (𝜑𝑁𝑍)
isumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsplit.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2839 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 12858 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 isumsplit.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 isumsplit.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
9 eluzelz 12863 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 uzss 12876 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
1312, 8, 13sstr4g 4025 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑍)
1413sselda 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
1514, 6syldan 590 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1614, 7syldan 590 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
191, 2, 18iserex 15636 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 15737 . . 3 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑊 𝐴)
22 fzfid 13971 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
23 elfzuz 13530 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 1eleqtrrdi 2840 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
2524, 7sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2622, 25fsumcl 15712 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
2714, 18syldan 590 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
288, 10, 27serf 14028 . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
2928ffvelcdmda 7094 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
305zred 12697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3130ltm1d 12177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
32 peano2zm 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
33 fzn 13550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
345, 32, 33syl2anc2 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3635sumeq1d 15680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
38 sum0 15700 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
3937, 38eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
4039oveq1d 7435 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
4113sselda 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑗𝑍)
421, 5, 18serf 14028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 7094 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4441, 43syldan 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4544addlidd 11446 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
4640, 45eqtr2d 2769 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
47 oveq1 7427 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
4847oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
4948sumeq1d 15680 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
50 seqeq1 14002 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5150fveq1d 6899 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5249, 51oveq12d 7438 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
5352eqeq2d 2739 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
5446, 53syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
55 addcl 11221 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
57 addass 11226 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
59 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗𝑊)
60 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
6110zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
62 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
63 npcan 11500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6461, 62, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6660, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6766fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (ℤ𝑁) = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
688, 67eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
6959, 68eleqtrd 2831 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
705adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
71 eluzp1m1 12879 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
7270, 71sylan 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
73 elfzuz 13530 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
7473, 1eleqtrrdi 2840 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
7560, 74, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7656, 58, 69, 72, 75seqsplit 14033 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
7760, 24, 6syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7860, 24, 7syl2an 595 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7977, 72, 78fsumser 15709 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
8066seqeq1d 14005 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
8180fveq1d 6899 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
8279, 81oveq12d 7438 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
8376, 82eqtr4d 2771 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
8483ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
85 uzp1 12894 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
863, 85syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8786adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑊) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8854, 84, 87mpjaod 859 . . 3 ((𝜑𝑗𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
898, 10, 21, 26, 17, 29, 88climaddc2 15613 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
901, 5, 6, 7, 89isumclim 15736 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘𝑊 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cmin 11475  cz 12589  cuz 12853  ...cfz 13517  seqcseq 13999  cli 15461  Σcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  isum1p  15820  geolim2  15850  mertenslem2  15864  mertens  15865  effsumlt  16088  eirrlem  16181  rpnnen2lem8  16198  prmreclem6  16890  aaliou3lem7  26297  abelthlem7  26388  log2tlbnd  26890  subfaclim  34798  knoppndvlem6  35992  binomcxplemnn0  43786  stirlinglem12  45473
  Copyright terms: Public domain W3C validator