Theorem isumsplit 15775

Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsplit.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
isumsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumsplit.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumsplit	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumsplit

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsplit.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	2, 1	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 12768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		isumsplit.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7		isumsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		isumsplit.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
9		eluzelz 12773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		uzss 12786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	3, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 8, 1	3sstr4g 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝑍)
14	13	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14, 6	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	14, 7	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		isumsplit.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	6, 7	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
19	1, 2, 18	iserex 15592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
20	17, 19	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
21	8, 10, 15, 16, 20	isumclim2 15693	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴)
22		fzfid 13908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
23		elfzuz 13448	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25	24, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	22, 25	fsumcl 15668	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
27	14, 18	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
28	8, 10, 27	serf 13965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹):𝑊⟶ℂ)
29	28	ffvelcdmda 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
30	5	zred 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31	30	ltm1d 12086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
32		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
33		fzn 13468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
34	5, 32, 33	syl2anc2 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
35	31, 34	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
36	35	sumeq1d 15635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴)
38		sum0 15656	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
39	37, 38	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 = 0)
40	39	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
41	13	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑗 ∈ 𝑍)
42	1, 5, 18	serf 13965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
44	41, 43	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
45	44	addlidd 11346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
46	40, 45	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
47		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) = (𝑀 − 1))
48	47	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
49	48	sumeq1d 15635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴)
50		seqeq1 13939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
51	50	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
52	49, 51	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
53	52	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
54	46, 53	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
55		addcl 11120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
57		addass 11125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑚) + 𝑥) = (𝑘 + (𝑚 + 𝑥)))
59		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑊)
60		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝜑)
61	10	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
62		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		npcan 11401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
64	61, 62, 63	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	64	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
66	60, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
68	8, 67	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑊 = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
69	59, 68	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
70	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
71		eluzp1m1 12789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
72	70, 71	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
73		elfzuz 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
74	73, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
75	60, 74, 18	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	56, 58, 69, 72, 75	seqsplit 13970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
77	60, 24, 6	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
78	60, 24, 7	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
79	77, 72, 78	fsumser 15665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
80	66	seqeq1d 13942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹))
81	80	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
82	79, 81	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
83	76, 82	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
84	83	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗))))
85		uzp1 12800	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
86	3, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
87	86	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
88	54, 84, 87	mpjaod 861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑗)))
89	8, 10, 21, 26, 17, 29, 88	climaddc2 15571	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))
90	1, 5, 6, 7, 89	isumclim 15692	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  isum1p  15776  geolim2  15806  mertenslem2  15820  mertens  15821  effsumlt  16048  eirrlem  16141  rpnnen2lem8  16158  prmreclem6  16861  aaliou3lem7  26325  abelthlem7  26416  log2tlbnd  26923  subfaclim  35401  knoppndvlem6  36736  binomcxplemnn0  44699  stirlinglem12  46437