MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsplit 15732
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumsplit.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
isumsplit.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumsplit.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumsplit.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumsplit.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 12775 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 isumsplit.4 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 isumsplit.2 . . 3 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 eluzelz 12780 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
103, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
11 uzss 12793 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1312, 8, 13sstr4g 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
1413sselda 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1514, 6syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1614, 7syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191, 2, 18iserex 15548 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 15650 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴)
22 fzfid 13885 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
23 elfzuz 13444 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2423, 1eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2524, 7sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2622, 25fsumcl 15625 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 ∈ β„‚)
2714, 18syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
288, 10, 27serf 13943 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹):π‘ŠβŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7040 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
305zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3130ltm1d 12094 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
32 peano2zm 12553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
33 fzn 13464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
345, 32, 33syl2anc2 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3635sumeq1d 15593 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
38 sum0 15613 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0
3937, 38eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = 0)
4039oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
4113sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
421, 5, 18serf 13943 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4441, 43syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4544addid2d 11363 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4640, 45eqtr2d 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
47 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
4847oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)))
4948sumeq1d 15593 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴)
50 seqeq1 13916 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5150fveq1d 6849 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5249, 51oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
5352eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
5446, 53syl5ibrcom 247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
55 addcl 11140 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
5655adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
57 addass 11145 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
5857adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
59 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ π‘Š)
60 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ πœ‘)
6110zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
62 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
63 npcan 11417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6461, 62, 63sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6660, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6766fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
688, 67eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘Š = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
6959, 68eleqtrd 2840 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
705adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
71 eluzp1m1 12796 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7270, 71sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
73 elfzuz 13444 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7473, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7560, 74, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7656, 58, 69, 72, 75seqsplit 13948 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
7760, 24, 6syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7860, 24, 7syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7977, 72, 78fsumser 15622 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
8066seqeq1d 13919 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹))
8180fveq1d 6849 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—))
8279, 81oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8376, 82eqtr4d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8483ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
85 uzp1 12811 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
863, 85syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8786adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8854, 84, 87mpjaod 859 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
898, 10, 21, 26, 17, 29, 88climaddc2 15525 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
901, 5, 6, 7, 89isumclim 15649 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  isum1p  15733  geolim2  15763  mertenslem2  15777  mertens  15778  effsumlt  16000  eirrlem  16093  rpnnen2lem8  16110  prmreclem6  16800  aaliou3lem7  25725  abelthlem7  25813  log2tlbnd  26311  subfaclim  33822  knoppndvlem6  35009  binomcxplemnn0  42703  stirlinglem12  44400
  Copyright terms: Public domain W3C validator