MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsplit 15818
Description: Split off the first 𝑁 terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isumsplit.2 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
isumsplit.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
isumsplit.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
isumsplit.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
isumsplit.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumsplit (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isumsplit.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 12857 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 isumsplit.4 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7 isumsplit.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 isumsplit.2 . . 3 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
9 eluzelz 12862 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
103, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
11 uzss 12875 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1312, 8, 13sstr4g 4018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
1413sselda 3972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1514, 6syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1614, 7syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
17 isumsplit.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
186, 7eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191, 2, 18iserex 15635 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 15736 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴)
22 fzfid 13970 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
23 elfzuz 13529 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2423, 1eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2524, 7sylan2 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2622, 25fsumcl 15711 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 ∈ β„‚)
2714, 18syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
288, 10, 27serf 14027 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝐹):π‘ŠβŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7089 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
305zred 12696 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3130ltm1d 12176 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
32 peano2zm 12635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
33 fzn 13549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
345, 32, 33syl2anc2 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3635sumeq1d 15679 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴)
38 sum0 15699 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0
3937, 38eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 = 0)
4039oveq1d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
4113sselda 3972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
421, 5, 18serf 14027 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4441, 43syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4544addlidd 11445 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (0 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4640, 45eqtr2d 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
47 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
4847oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)))
4948sumeq1d 15679 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴)
50 seqeq1 14001 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
5150fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5249, 51oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
5352eqeq2d 2736 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
5446, 53syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
55 addcl 11220 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
5655adantl 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
57 addass 11225 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
5857adantl 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) + π‘₯) = (π‘˜ + (π‘š + π‘₯)))
59 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ π‘Š)
60 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ πœ‘)
6110zcnd 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
62 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
63 npcan 11499 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6461, 62, 63sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6660, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6766fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
688, 67eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘Š = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
6959, 68eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
705adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
71 eluzp1m1 12878 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7270, 71sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
73 elfzuz 13529 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7473, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7560, 74, 18syl2an 594 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7656, 58, 69, 72, 75seqsplit 14032 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
7760, 24, 6syl2an 594 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7860, 24, 7syl2an 594 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7977, 72, 78fsumser 15708 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
8066seqeq1d 14004 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ seq𝑁( + , 𝐹) = seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹))
8180fveq1d 6894 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—))
8279, 81oveq12d 7434 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (seq((𝑁 βˆ’ 1) + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8376, 82eqtr4d 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
8483ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
85 uzp1 12893 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
863, 85syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8786adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8854, 84, 87mpjaod 858 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ π‘Š) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + (seq𝑁( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
898, 10, 21, 26, 17, 29, 88climaddc2 15612 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
901, 5, 6, 7, 89isumclim 15735 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))𝐴 + Ξ£π‘˜ ∈ π‘Š 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  isum1p  15819  geolim2  15849  mertenslem2  15863  mertens  15864  effsumlt  16087  eirrlem  16180  rpnnen2lem8  16197  prmreclem6  16889  aaliou3lem7  26302  abelthlem7  26393  log2tlbnd  26895  subfaclim  34855  knoppndvlem6  36049  binomcxplemnn0  43851  stirlinglem12  45536
  Copyright terms: Public domain W3C validator