MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzm1 12803
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6983 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2852 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 12734 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 246 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 854 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 474 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 4184 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
9 eluzelz 12068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 11900 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
1211ltm1d 11373 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 4933 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 12063 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 1zzd 11826 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
1810, 17zsubcld 11905 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19 fzn 12739 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2016, 18, 19syl2an2r 672 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2115, 20mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2221eleq2d 2852 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
238, 22mtbiri 319 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2423pm2.21d 119 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25 eluzfz2 12731 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2625ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27 eleq1 2854 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2827adantl 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2926, 28mpbird 249 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3029ex 405 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3124, 30jaod 845 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
327, 31impbid 204 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
33 elfzp1 12773 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3433adantl 474 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
359adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3635zcnd 11901 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
37 npcan1 10866 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3938oveq2d 6992 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4039eleq2d 2852 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
4138eqeq2d 2789 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4241orbi2d 899 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
4334, 40, 423bitr3d 301 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
44 uzm1 12090 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
4532, 43, 44mpjaodan 941 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  c0 4179   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474  cmin 10670  cz 11793  cuz 12058  ...cfz 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709
This theorem is referenced by:  bcpasc  13496  phibndlem  15963  lgsdir2lem2  25604  submateqlem2  30712  poimirlem14  34344  poimirlem23  34353  poimirlem25  34355  poimirlem27  34357  acongeq  38973  jm2.26lem3  38991
  Copyright terms: Public domain W3C validator