Theorem fzm1 13535

Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
2	1	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3		elfz1eq 13463	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
4	2, 3	biimtrrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5		olc 869	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
6	4, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8		noel 4292	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅
9		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zred 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	ltm1d 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13		breq2 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
15	12, 14	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16		eluzel2 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		1zzd 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
18	10, 17	zsubcld 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19		fzn 13468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
20	16, 18, 19	syl2an2r 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
21	15, 20	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
22	21	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
23	8, 22	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
24	23	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25		eluzfz2 13460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
26	25	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
29	26, 28	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
31	24, 30	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
32	7, 31	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
33		elfzp1 13502	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
35	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		npcan1 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
40	39	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
41	38	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
42	41	orbi2d 916	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
43	34, 40, 42	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
44		uzm1 12797	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
45	32, 43, 44	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  bcpasc  14256  phibndlem  16709  lgsdir2lem2  27308  submateqlem2  33990  poimirlem14  37889  poimirlem23  37898  poimirlem25  37900  poimirlem27  37902  acongeq  43344  jm2.26lem3  43362