MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzm1 13522
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 13453 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 254 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 867 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 4291 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
9 eluzelz 12774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 12608 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
1211ltm1d 12088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 12769 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 1zzd 12535 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
1810, 17zsubcld 12613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19 fzn 13458 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2016, 18, 19syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2115, 20mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2221eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
238, 22mtbiri 327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2423pm2.21d 121 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25 eluzfz2 13450 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2625ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2827adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2926, 28mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3029ex 414 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3124, 30jaod 858 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
327, 31impbid 211 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
33 elfzp1 13492 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3433adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
359adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3635zcnd 12609 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
37 npcan1 11581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3938oveq2d 7374 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4039eleq2d 2824 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
4138eqeq2d 2748 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4241orbi2d 915 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
4334, 40, 423bitr3d 309 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
44 uzm1 12802 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
4532, 43, 44mpjaodan 958 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4283   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cmin 11386  cz 12500  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  bcpasc  14222  phibndlem  16643  lgsdir2lem2  26677  submateqlem2  32392  poimirlem14  36095  poimirlem23  36104  poimirlem25  36106  poimirlem27  36108  acongeq  41310  jm2.26lem3  41328
  Copyright terms: Public domain W3C validator