Theorem ppiublem2 27348

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16734	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		6nn 12331	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		zmodfz 13928	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
5	2, 3, 4	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6		6m1e5 12372	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
7	6	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (0...(6 − 1)) = (0...5)
8	5, 7	eleqtrdi 2873	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9		6re 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	leidi 11749	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≤ 6
11		noel 4292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
12	11	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13		5lt6 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 < 6
14	3	nnzi 12619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		5nn 12328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	nnzi 12619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℤ
17		fzn 13569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
18	14, 16, 17	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
19	13, 18	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6...5) = ∅
20	12, 19	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
22	10, 21	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23		5nn0 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24		df-6 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (5 + 1)
25	15	elexi 3477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ V
26	25	prid2 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ {1, 5}
27	26	3mix3i 1354	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 27347	. . . . . . . 8 ⊢ (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29		4nn0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		df-5 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
31		z4even 16431	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 4
32	31	3mix1i 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 27347	. . . . . . 7 ⊢ (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34		3nn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		df-4 12306	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
36		3z 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		iddvds 16328	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∥ 3
39	38	3mix2i 1353	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 27347	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41		2nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		df-3 12305	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
43		z2even 16429	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
44	43	3mix1i 1352	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 27347	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
47		df-2 12304	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48		1ex 11204	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
49	48	prid1 4729	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, 5}
50	49	3mix3i 1354	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 27347	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53		1e0p1 12759	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
54		z0even 16426	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
55	54	3mix1i 1352	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 27347	. . 3 ⊢ (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
57	56	simpri 490	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
58	8, 57	mpd 16	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  {cpr 4592   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  ℤcz 12592  ...cfz 13536   mod cmo 13904   ∥ cdvds 16311  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  ppiub  27349