MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 25218
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 15670 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 472 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 11363 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 12899 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 580 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 df-6 11338 . . . . . 6 6 = (5 + 1)
76oveq1i 6851 . . . . 5 (6 − 1) = ((5 + 1) − 1)
8 5cn 11361 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
9 ax-1cn 10246 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
108, 9pncan3oi 10550 . . . . 5 ((5 + 1) − 1) = 5
117, 10eqtri 2786 . . . 4 (6 − 1) = 5
1211oveq2i 6852 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
135, 12syl6eleq 2853 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
14 6re 11364 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1514leidi 10815 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
16 noel 4082 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1716pm2.21i 117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
18 5lt6 11458 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
193nnzi 11647 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
20 5nn 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
2120nnzi 11647 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
22 fzn 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
2319, 21, 22mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
2418, 23mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2517, 24eleq2s 2861 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2715, 26pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
28 5nn0 11559 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2920elexi 3365 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
3029prid2 4452 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
31303mix3i 1434 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
3227, 28, 6, 31ppiublem1 25217 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
33 4nn0 11558 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
34 df-5 11337 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
35 2z 11655 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
36 dvdsmul1 15289 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 2))
3735, 35, 36mp2an 683 . . . . . . . . . 10 2 ∥ (2 · 2)
38 2t2e4 11441 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3937, 38breqtri 4833 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
40393mix1i 1432 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
4132, 33, 34, 40ppiublem1 25217 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
42 3nn0 11557 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
43 df-4 11336 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
44 3z 11656 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
45 iddvds 15281 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
47463mix2i 1433 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4841, 42, 43, 47ppiublem1 25217 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
49 2nn0 11556 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
50 df-3 11335 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
51 iddvds 15281 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
5235, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∥ 2
53523mix1i 1432 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
5448, 49, 50, 53ppiublem1 25217 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
55 1nn0 11555 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
56 df-2 11334 . . . . 5 2 = (1 + 1)
57 1ex 10288 . . . . . . 7 1 ∈ V
5857prid1 4451 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
59583mix3i 1434 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
6054, 55, 56, 59ppiublem1 25217 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
61 0nn0 11554 . . . 4 0 ∈ ℕ0
62 1e0p1 11782 . . . 4 1 = (0 + 1)
63 dvds0 15283 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
6435, 63ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ 0
65643mix1i 1432 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
6660, 61, 62, 65ppiublem1 25217 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
6766simpri 479 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
6813, 67mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4078  {cpr 4335   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  cn 11273  2c2 11326  3c3 11327  4c4 11328  5c5 11329  6c6 11330  cz 11623  ...cfz 12532   mod cmo 12875  cdvds 15266  cprime 15666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-dvds 15267  df-prm 15667
This theorem is referenced by:  ppiub  25219
  Copyright terms: Public domain W3C validator