MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 27154
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 16645 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 12331 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 13890 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 584 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 6m1e5 12373 . . . 4 (6 − 1) = 5
76oveq2i 7427 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
85, 7eleqtrdi 2835 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9 6re 12332 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
109leidi 11778 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
11 noel 4326 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13 5lt6 12423 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
143nnzi 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
15 5nn 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
1615nnzi 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
17 fzn 13549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
1814, 16, 17mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
1913, 18mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2012, 19eleq2s 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2210, 21pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23 5nn0 12522 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
24 df-6 12309 . . . . . . . . 9 6 = (5 + 1)
2515elexi 3483 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
2625prid2 4763 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
27263mix3i 1332 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
2822, 23, 24, 27ppiublem1 27153 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29 4nn0 12521 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
30 df-5 12308 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
31 z4even 16348 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
32313mix1i 1330 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
3328, 29, 30, 32ppiublem1 27153 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34 3nn0 12520 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
35 df-4 12307 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
36 3z 12625 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
37 iddvds 16246 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
39383mix2i 1331 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4033, 34, 35, 39ppiublem1 27153 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41 2nn0 12519 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42 df-3 12306 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
43 z2even 16346 . . . . . . 7 2 ∥ 2
44433mix1i 1330 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
4540, 41, 42, 44ppiublem1 27153 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46 1nn0 12518 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
47 df-2 12305 . . . . 5 2 = (1 + 1)
48 1ex 11240 . . . . . . 7 1 ∈ V
4948prid1 4762 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
50493mix3i 1332 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
5145, 46, 47, 50ppiublem1 27153 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52 0nn0 12517 . . . 4 0 ∈ ℕ0
53 1e0p1 12749 . . . 4 1 = (0 + 1)
54 z0even 16343 . . . . 5 2 ∥ 0
55543mix1i 1330 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
5651, 52, 53, 55ppiublem1 27153 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5756simpri 484 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
588, 57mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4318  {cpr 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  cz 12588  ...cfz 13516   mod cmo 13866  cdvds 16230  cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  ppiub  27155
  Copyright terms: Public domain W3C validator