Theorem ppiublem2 26256

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16308	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		6nn 11992	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		zmodfz 13541	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6		6m1e5 12034	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
7	6	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (0...(6 − 1)) = (0...5)
8	5, 7	eleqtrdi 2849	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9		6re 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	leidi 11439	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≤ 6
11		noel 4261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13		5lt6 12084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 < 6
14	3	nnzi 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		5nn 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	nnzi 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℤ
17		fzn 13201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
18	14, 16, 17	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
19	13, 18	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6...5) = ∅
20	12, 19	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
22	10, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23		5nn0 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24		df-6 11970	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (5 + 1)
25	15	elexi 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ V
26	25	prid2 4696	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ {1, 5}
27	26	3mix3i 1333	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 26255	. . . . . . . 8 ⊢ (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29		4nn0 12182	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		df-5 11969	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
31		z4even 16009	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 4
32	31	3mix1i 1331	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 26255	. . . . . . 7 ⊢ (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34		3nn0 12181	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		df-4 11968	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
36		3z 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		iddvds 15907	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∥ 3
39	38	3mix2i 1332	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 26255	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41		2nn0 12180	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		df-3 11967	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
43		z2even 16007	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
44	43	3mix1i 1331	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 26255	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
47		df-2 11966	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48		1ex 10902	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
49	48	prid1 4695	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, 5}
50	49	3mix3i 1333	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 26255	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53		1e0p1 12408	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
54		z0even 16004	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
55	54	3mix1i 1331	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 26255	. . 3 ⊢ (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
57	56	simpri 485	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
58	8, 57	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  {cpr 4560   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  ℤcz 12249  ...cfz 13168   mod cmo 13517   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  ppiub  26257