Theorem ppiublem2 26695

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16608	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		6nn 12297	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		zmodfz 13854	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6		6m1e5 12339	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
7	6	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (0...(6 − 1)) = (0...5)
8	5, 7	eleqtrdi 2843	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9		6re 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	leidi 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≤ 6
11		noel 4329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13		5lt6 12389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 < 6
14	3	nnzi 12582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		5nn 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	nnzi 12582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℤ
17		fzn 13513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
18	14, 16, 17	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
19	13, 18	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6...5) = ∅
20	12, 19	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
22	10, 21	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23		5nn0 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24		df-6 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (5 + 1)
25	15	elexi 3493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ V
26	25	prid2 4766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ {1, 5}
27	26	3mix3i 1335	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 26694	. . . . . . . 8 ⊢ (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29		4nn0 12487	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		df-5 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
31		z4even 16311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 4
32	31	3mix1i 1333	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 26694	. . . . . . 7 ⊢ (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34		3nn0 12486	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		df-4 12273	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
36		3z 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		iddvds 16209	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∥ 3
39	38	3mix2i 1334	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 26694	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41		2nn0 12485	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		df-3 12272	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
43		z2even 16309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
44	43	3mix1i 1333	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 26694	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46		1nn0 12484	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
47		df-2 12271	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48		1ex 11206	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
49	48	prid1 4765	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, 5}
50	49	3mix3i 1335	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 26694	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52		0nn0 12483	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53		1e0p1 12715	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
54		z0even 16306	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
55	54	3mix1i 1333	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 26694	. . 3 ⊢ (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
57	56	simpri 486	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
58	8, 57	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  ℤcz 12554  ...cfz 13480   mod cmo 13830   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605

This theorem is referenced by:  ppiub  26696