Theorem ppiublem2 27130

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16604	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		6nn 12235	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		zmodfz 13815	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6		6m1e5 12272	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
7	6	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (0...(6 − 1)) = (0...5)
8	5, 7	eleqtrdi 2838	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9		6re 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	leidi 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≤ 6
11		noel 4291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
12	11	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13		5lt6 12322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 < 6
14	3	nnzi 12517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		5nn 12232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
16	15	nnzi 12517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℤ
17		fzn 13461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
18	14, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
19	13, 18	mpbi 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6...5) = ∅
20	12, 19	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
22	10, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23		5nn0 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24		df-6 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (5 + 1)
25	15	elexi 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ V
26	25	prid2 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ {1, 5}
27	26	3mix3i 1336	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 27129	. . . . . . . 8 ⊢ (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29		4nn0 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		df-5 12212	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
31		z4even 16301	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 4
32	31	3mix1i 1334	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 27129	. . . . . . 7 ⊢ (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34		3nn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		df-4 12211	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
36		3z 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		iddvds 16198	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∥ 3
39	38	3mix2i 1335	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 27129	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41		2nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		df-3 12210	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
43		z2even 16299	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
44	43	3mix1i 1334	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 27129	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46		1nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
47		df-2 12209	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48		1ex 11130	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
49	48	prid1 4716	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, 5}
50	49	3mix3i 1336	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 27129	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52		0nn0 12417	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53		1e0p1 12651	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
54		z0even 16296	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
55	54	3mix1i 1334	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 27129	. . 3 ⊢ (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
57	56	simpri 485	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
58	8, 57	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  {cpr 4581   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  ℤcz 12489  ...cfz 13428   mod cmo 13791   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  ppiub  27131