MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 27049
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 16619 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 12308 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 13865 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 585 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 6m1e5 12350 . . . 4 (6 − 1) = 5
76oveq2i 7423 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
85, 7eleqtrdi 2842 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9 6re 12309 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
109leidi 11755 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
11 noel 4330 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13 5lt6 12400 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
143nnzi 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
15 5nn 12305 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
1615nnzi 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
17 fzn 13524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
1814, 16, 17mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
1913, 18mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2012, 19eleq2s 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2210, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23 5nn0 12499 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
24 df-6 12286 . . . . . . . . 9 6 = (5 + 1)
2515elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
2625prid2 4767 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
27263mix3i 1334 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
2822, 23, 24, 27ppiublem1 27048 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29 4nn0 12498 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
30 df-5 12285 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
31 z4even 16322 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
32313mix1i 1332 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
3328, 29, 30, 32ppiublem1 27048 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34 3nn0 12497 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
35 df-4 12284 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
36 3z 12602 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
37 iddvds 16220 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
39383mix2i 1333 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4033, 34, 35, 39ppiublem1 27048 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41 2nn0 12496 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42 df-3 12283 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
43 z2even 16320 . . . . . . 7 2 ∥ 2
44433mix1i 1332 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
4540, 41, 42, 44ppiublem1 27048 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46 1nn0 12495 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
47 df-2 12282 . . . . 5 2 = (1 + 1)
48 1ex 11217 . . . . . . 7 1 ∈ V
4948prid1 4766 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
50493mix3i 1334 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
5145, 46, 47, 50ppiublem1 27048 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52 0nn0 12494 . . . 4 0 ∈ ℕ0
53 1e0p1 12726 . . . 4 1 = (0 + 1)
54 z0even 16317 . . . . 5 2 ∥ 0
55543mix1i 1332 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
5651, 52, 53, 55ppiublem1 27048 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5756simpri 485 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
588, 57mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  c0 4322  {cpr 4630   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  6c6 12278  cz 12565  ...cfz 13491   mod cmo 13841  cdvds 16204  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  ppiub  27050
  Copyright terms: Public domain W3C validator