MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 27091
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 16619 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 12305 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 13864 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 585 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 6m1e5 12347 . . . 4 (6 − 1) = 5
76oveq2i 7416 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
85, 7eleqtrdi 2837 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9 6re 12306 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
109leidi 11752 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
11 noel 4325 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13 5lt6 12397 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
143nnzi 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
15 5nn 12302 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
1615nnzi 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
17 fzn 13523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
1814, 16, 17mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
1913, 18mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2012, 19eleq2s 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2210, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23 5nn0 12496 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
24 df-6 12283 . . . . . . . . 9 6 = (5 + 1)
2515elexi 3488 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
2625prid2 4762 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
27263mix3i 1332 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
2822, 23, 24, 27ppiublem1 27090 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29 4nn0 12495 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
30 df-5 12282 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
31 z4even 16322 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
32313mix1i 1330 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
3328, 29, 30, 32ppiublem1 27090 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34 3nn0 12494 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
35 df-4 12281 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
36 3z 12599 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
37 iddvds 16220 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
39383mix2i 1331 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4033, 34, 35, 39ppiublem1 27090 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42 df-3 12280 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
43 z2even 16320 . . . . . . 7 2 ∥ 2
44433mix1i 1330 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
4540, 41, 42, 44ppiublem1 27090 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46 1nn0 12492 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
47 df-2 12279 . . . . 5 2 = (1 + 1)
48 1ex 11214 . . . . . . 7 1 ∈ V
4948prid1 4761 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
50493mix3i 1332 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
5145, 46, 47, 50ppiublem1 27090 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52 0nn0 12491 . . . 4 0 ∈ ℕ0
53 1e0p1 12723 . . . 4 1 = (0 + 1)
54 z0even 16317 . . . . 5 2 ∥ 0
55543mix1i 1330 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
5651, 52, 53, 55ppiublem1 27090 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5756simpri 485 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
588, 57mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4317  {cpr 4625   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  cz 12562  ...cfz 13490   mod cmo 13840  cdvds 16204  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  ppiub  27092
  Copyright terms: Public domain W3C validator