Theorem hashfzp1 14355

Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzp1	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14291	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		eluzelre 12763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 12073	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4		eluzelz 12762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		peano2z 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
6	5	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7		fzn 13457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
9	3, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
10	9	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
11	4	zcnd 12598	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	subidd 11481	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
13	1, 10, 12	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵))
14		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
15	14	fvoveq1d 7380	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
16		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
17	15, 16	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵)))
18	13, 17	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
19		uzp1 12789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
20		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
21	20	eqcoms 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
22		ax-1 6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
23	21, 22	jaoi 858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
24	19, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
25	24	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)))
26		hashfz 14351	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
28		eluzel2 12757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		1cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
31	11, 29, 30	nppcan2d 11519	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
33	27, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
34	33	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
35	18, 34	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752  ...cfz 13424  ♯chash 14254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27345  sticksstones12a  42588