Theorem hashfzp1 14356

Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzp1	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14292	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		eluzelre 12764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 12074	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4		eluzelz 12763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		peano2z 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
6	5	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7		fzn 13458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
9	3, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
10	9	fveq2d 6837	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
11	4	zcnd 12599	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	subidd 11482	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
13	1, 10, 12	3eqtr4a 2796	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵))
14		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
15	14	fvoveq1d 7380	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
16		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
17	15, 16	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵)))
18	13, 17	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
19		uzp1 12790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
20		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
21	20	eqcoms 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
22		ax-1 6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
23	21, 22	jaoi 858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
24	19, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
25	24	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)))
26		hashfz 14352	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
28		eluzel2 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		1cnd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
31	11, 29, 30	nppcan2d 11520	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
33	27, 32	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
34	33	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
35	18, 34	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4284   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   − cmin 11366  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27363  sticksstones12a  42446