Theorem hashfzp1 14387

Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzp1	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14323	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		eluzelre 12829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 12140	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4		eluzelz 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		peano2z 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
6	5	ancri 550	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7		fzn 13513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
9	3, 8	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
10	9	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
11	4	zcnd 12663	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	subidd 11555	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
13	1, 10, 12	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵))
14		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
15	14	fvoveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
16		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
17	15, 16	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐵)))
18	13, 17	imbitrrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
19		uzp1 12859	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
20		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
21	20	eqcoms 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
22		ax-1 6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
23	21, 22	jaoi 855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
24	19, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))))
25	24	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)))
26		hashfz 14383	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
28		eluzel2 12823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		1cnd 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
31	11, 29, 30	nppcan2d 11593	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
32	31	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
33	27, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
34	33	ex 413	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
35	18, 34	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   − cmin 11440  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  2lgslem1  26886  sticksstones12a  40961