MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzp1 14416
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 hash0 14352 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 eluzelre 12857 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ltp1d 12168 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4 eluzelz 12856 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 peano2z 12627 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
65ancri 549 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7 fzn 13543 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
84, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
93, 8mpbid 231 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
109fveq2d 6895 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
114zcnd 12691 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211subidd 11583 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
131, 10, 123eqtr4a 2794 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
14 oveq1 7421 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
1514fvoveq1d 7436 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
16 oveq2 7422 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1715, 16eqeq12d 2744 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
1813, 17imbitrrid 245 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
19 uzp1 12887 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
20 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2120eqcoms 2736 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
22 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2321, 22jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2419, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2524impcom 407 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
26 hashfz 14412 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
28 eluzel2 12851 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2928zcnd 12691 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30 1cnd 11233 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3111, 29, 30nppcan2d 11621 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3231adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3327, 32eqtrd 2768 . . 3 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3433ex 412 . 2 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
3518, 34pm2.61i 182 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  c0 4318   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   < clt 11272  cmin 11468  cz 12582  cuz 12846  ...cfz 13510  chash 14315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-hash 14316
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27320  sticksstones12a  41623
  Copyright terms: Public domain W3C validator