MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzp1 14471
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 hash0 14407 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 eluzelre 12890 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ltp1d 12199 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4 eluzelz 12889 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 peano2z 12660 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
65ancri 549 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7 fzn 13581 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
84, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
93, 8mpbid 232 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
109fveq2d 6909 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (♯‘∅))
114zcnd 12725 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211subidd 11609 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
131, 10, 123eqtr4a 2802 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
14 oveq1 7439 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
1514fvoveq1d 7454 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
16 oveq2 7440 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1715, 16eqeq12d 2752 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (♯‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
1813, 17imbitrrid 246 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
19 uzp1 12920 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
20 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2120eqcoms 2744 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
22 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2321, 22jaoi 857 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2419, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2524impcom 407 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
26 hashfz 14467 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
28 eluzel2 12884 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2928zcnd 12725 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30 1cnd 11257 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3111, 29, 30nppcan2d 11647 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3231adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3327, 32eqtrd 2776 . . 3 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3433ex 412 . 2 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
3518, 34pm2.61i 182 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  chash 14370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27439  sticksstones12a  42159
  Copyright terms: Public domain W3C validator