Theorem norm3lem 31441

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
norm3lem	⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		norm3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
4	1, 2, 3	norm3difi 31439	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
5	1, 3	hvsubcli 31313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
6	5	normcli 31423	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	hvsubcli 31313	. . . . 5 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
8	7	normcli 31423	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
9		norm3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12492	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11775	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	hvsubcli 31313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
13	12	normcli 31423	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11223	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11223	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11336	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 598	. 2 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11222	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12377	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11222	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12346	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11957	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2794	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5156	1 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  2c2 12294   ℋchba 31211  norm_ℎcno 31215   −_ℎ cmv 31217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-hfvadd 31292  ax-hvcom 31293  ax-hvass 31294  ax-hv0cl 31295  ax-hvaddid 31296  ax-hfvmul 31297  ax-hvmulid 31298  ax-hvmulass 31299  ax-hvdistr2 31301  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his2 31375  ax-his3 31376  ax-his4 31377

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-hnorm 31260  df-hvsub 31263

This theorem is referenced by:  norm3lemt  31444