Theorem norm3lem 31112

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
norm3lem	⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		norm3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
4	1, 2, 3	norm3difi 31110	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
5	1, 3	hvsubcli 30984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
6	5	normcli 31094	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	hvsubcli 30984	. . . . 5 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
8	7	normcli 31094	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
9		norm3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12392	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11701	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	hvsubcli 30984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
13	12	normcli 31094	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11149	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11149	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11262	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11148	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12280	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11148	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12222	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12251	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11886	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5136	1 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  2c2 12202   ℋchba 30882  norm_ℎcno 30886   −_ℎ cmv 30888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his2 31046  ax-his3 31047  ax-his4 31048

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-hnorm 30931  df-hvsub 30934

This theorem is referenced by:  norm3lemt  31115