Theorem norm3lem 28562

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
norm3lem	⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		norm3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
4	1, 2, 3	norm3difi 28560	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
5	1, 3	hvsubcli 28434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
6	5	normcli 28544	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	hvsubcli 28434	. . . . 5 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
8	7	normcli 28544	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
9		norm3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 11608	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 10915	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	hvsubcli 28434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
13	12	normcli 28544	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 10373	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 10373	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 10484	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 583	. 2 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 10372	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 11497	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 10372	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 11427	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 11463	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11095	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2852	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	syl6breq 4915	1 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℝcr 10252   + caddc 10256   · cmul 10258   < clt 10392   ≤ cle 10393   / cdiv 11010  2c2 11407   ℋchba 28332  norm_ℎcno 28336   −_ℎ cmv 28338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-hfvadd 28413  ax-hvcom 28414  ax-hvass 28415  ax-hv0cl 28416  ax-hvaddid 28417  ax-hfvmul 28418  ax-hvmulid 28419  ax-hvmulass 28420  ax-hvdistr2 28422  ax-hvmul0 28423  ax-hfi 28492  ax-his1 28495  ax-his2 28496  ax-his3 28497  ax-his4 28498

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-hnorm 28381  df-hvsub 28384

This theorem is referenced by:  norm3lemt  28565