HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3lem 31178
Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
norm3lem (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 norm3dif.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
3 norm3dif.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
41, 2, 3norm3difi 31176 . . 3 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
51, 3hvsubcli 31050 . . . . 5 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
65normcli 31160 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
73, 2hvsubcli 31050 . . . . 5 (𝐶 𝐵) ∈ ℋ
87normcli 31160 . . . 4 (norm‘(𝐶 𝐵)) ∈ ℝ
9 norm3lem.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
109rehalfcli 12513 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℝ
116, 8, 10, 10lt2addi 11823 . . 3 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
121, 2hvsubcli 31050 . . . . 5 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1312normcli 31160 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
146, 8readdcli 11274 . . . 4 ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ∈ ℝ
1510, 10readdcli 11274 . . . 4 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
1613, 14, 15lelttri 11386 . . 3 (((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ∧ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
174, 11, 16sylancr 587 . 2 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
1810recni 11273 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19182timesi 12402 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
209recni 11273 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
21 2cn 12339 . . . 4 2 ∈ ℂ
22 2ne0 12368 . . . 4 2 ≠ 0
2320, 21, 22divcan2i 12008 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
2419, 23eqtr3i 2765 . 2 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
2517, 24breqtrdi 5189 1 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  chba 30948  normcno 30952   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  norm3lemt  31181
  Copyright terms: Public domain W3C validator