Theorem norm3lem 31121

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
norm3lem	⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		norm3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
4	1, 2, 3	norm3difi 31119	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
5	1, 3	hvsubcli 30993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
6	5	normcli 31103	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	hvsubcli 30993	. . . . 5 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
8	7	normcli 31103	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
9		norm3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12365	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11674	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	hvsubcli 30993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
13	12	normcli 31103	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11122	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11122	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11235	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11121	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12253	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11121	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12195	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12224	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11859	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5127	1 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   / cdiv 11769  2c2 12175   ℋchba 30891  norm_ℎcno 30895   −_ℎ cmv 30897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-hnorm 30940  df-hvsub 30943

This theorem is referenced by:  norm3lemt  31124